UBND HUYỆN EA KAR ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 07[.]
Trang 1UBND HUYỆN EA KAR
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022-2023 Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 07/01/2023
(Đề này gồm 01 trang)
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Cho x = √3+√5−¿√3−√5−√2(1−√2)
Tính giá trị của biểu thức: A = 2023 x
2
−4048 x+2026
x2−2 x+1 2) Cho đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) Tìm a, b biết (d) đi qua điểm M(1 ; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân (O là gốc tọa độ)
Bài 2 (4,0 điểm).
1) Chứng minh rằng ∀ a ∈ Z thì A = a3 – 6a2 – 7a + 12 luôn chia hết cho 6
2) Giải phương trình: x2+x−4√3 x +1+6=0
Bài 3 (4,0 điểm).
1) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng
2) Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: S = x2 – x + 2 x9 + 614
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
Chứng minh rằng:
a) tanB tanC.
AD HD
b)
1
HB HC HC HA HA HB
AB AC BC BA CA CB
Bài 5 (5,0 điểm)
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC Kẻ đường cao AH của ∆ABC
Biết BC = 20cm, AH HC = 34.
a) Tính độ dài cạnh AB và AC
b) Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O), AB, AC lần lượt tại M, D, E
Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại K Chứng minh ba điểm A, M, K thẳng hàng c) Chứng minh bốn điểm B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn
-Hết -Họ và tên thí sinh:……….Số báo
danh………
Giám thị 1:……… Giám thị 2:
………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 - 2023 ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
1
(4,0đ)
1
1) Ta có: x = √3+√5−¿√3−√5−√2(1−√2)
= √6 +2√5
√6−2√5
= √(√5+1)2
√(√5−1)2
= √5+ 1√2 −√5−1
√2 −√2+2
= √2−√2+2
= 2
Ta lại có : A = 2023 x
2
−4048 x+2026
x2−2 x+1 =
2022 x2−4044 x+2022+ x2−4 x +4
(x−1)2 = 2022 + (x−2)2
(x−1)2
Thay x = 2 vào A, ta được A = 2022.
0,5
0,5
0,5
0,5
2 2) Vì (d) đi qua điểm M(1; 2) nên ta có: a + b = 2 (1)
(d) cắt trục Ox tại A(−a b; 0) Khi đó: OA = |−b
a | = |b a|
(d) cắt trục Oy tại B(0; b) Khi đó: OB = |b|
Vì ∆OAB vuông tại O nên nó là tam giác cân khi OA = OB > 0 hay:
|b a| = |b| > 0 {|b ≠ 0 a|=1(2)
Từ (1) và (2) suy ra: (a; b) = (1; 1) hoặc (a; b) = (-1; 3)
0,25 0,25
0,25 0,25
0,5 0,5
2
(4,0đ)
1
Ta có: A = a3 – 6a2 – 7a + 12 = a3 – a – 6a2 – 6a + 12 = a(a – 1)(a + 1) – 6( a2 + a – 2)
Do a(a – 1)(a + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a + 1)⋮ 6
mà 6( a2 + a – 2) ⋮ 6 ∀ a ∈ Z Nên A ⋮ 6 ∀ a ∈ Z
0,5 0,25 0,5
0,5 0,25
2 ĐKXĐ: x ≥−1
3
x2+x−4√3 x +1+6=0 (x2−2 x+1)+ (3x + 1 −¿4√3 x +1 + 4) = 0 (x−1)2 + (√3 x+1−2)2= 0
{ √3 x +1−2=0 x−1=0
0,25
0,5 0,25 0,5
Trang 4x=1 (thỏa mãn) Vậy S = {1}
0,25 0,25
3
(4,0đ)
1
Gọi a, b, c là 3 số nguyên tố cần tìm
Theo bài ra, ta có: abc = 5(a + b + c) Suy ra : abc ⋮ 5
Giả sử a = 5 Khi đó: 5bc = 5(5 + b + c)
bc = 5 + b + c
bc – b – c + 1 = 6 (b – 1)( c – 1) = 6
b, c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có :
{b−1=1 c−1=6 {b=2 c=7 (thỏa mãn) Hoặc {b−1=2 c−1=3 {b=3 c=4 ( không thỏa mãn) Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2; 5; 7
0,25 0,25 0,25 0,5
0,5
0,25
2
Ta có: S = x2 – x + 2 x9 + 614
= (x−3
2)
2
+ 2 x+ 9
2 x + 13 Với x > 0, Áp dụng BĐT Cosi ta có: 2 x+ 9
2 x ≥ 2√2 x 9
2 x = 6
Mà (x−3
2)
2
≥0 với mọi x Vậy S = (x−3
2)
2
+ 2 x+ 9
2 x + 13≥ 0 + 6 + 13 = 19 Dấu “=” xảy ra khi {x−3
2=0
2 x= 9
2 x
x = 32 (thỏa mãn)
Vậy GTNN của S là 19 khi x = 32
0,5 0,5
0,5
0,5
4
(3,0đ) a
H
D
F
E A
a) Xét ABD có: tanB =
AD
BD; ACD có: tanC =
AD CD
0,5
0,5
0,5
Trang 5suy ra: tanB.tanC =
2 AD BD.CD (1)
^
DBH =^ DAC(cùng phụ ^ ACB)
nên DBH DAC (g.g)
DH.AD = BD.CD
Kết hợp với (1) được tanB.tanC =
2
DH.ADDH.
b
b) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC
Dễ thấy CHE CAF(g.g)
CA CF
2
HB HC HB CE
Tương tự ta cũng có:
CHA
ABC
S
HC HA
BC BA S
;
HAB
ABC
HA HB S
CA CB S
Do đó:
1
0,5 0,5 0,25 0,25
5
(5,0đ) a
a) Vì ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC nên ∆
ABC vuông tại A
Xét ∆ABC và ∆HAC, có:
^
BAC=^ AHC (= 900)
^
C chung
Do đó: ∆ABC ∆HAC (g – g)
AB
HA =HC AC AC AB =HA HC = 34
Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông ABC, ta có:
0,25
0,5
0,5
Trang 6BC2 = AB22 + AC2
Do đó: AB2
9 = AC2
16 = AB2+AC2
9+16 = BC2
25 = 202
25 = 16 Suy ra: AB = 12cm; AC = 16cm
0,5 0,25
b
Gọi F là tâm của đường tròn đường kính AH
Ta có: ^DAE = 900 nên DE là đường kính của đường tròn (F)
Suy ra: D, F, E thẳng hàng
Vì (O) và (F) cắt nhau tại A và M nên OF là đường trung trực của
AM (tính chất đường nối tâm) → OF AM (1)
Gọi N là giao điểm của OA và DE
Ta có: OA = OC (¿BC
2 ) ∆OAC cân tại O OAC^ = OCA^ Mặt khác: FA = FE (= AH2 ) ∆FAE cân tại F ^FAE = ^FEA
Mà ^FAE + OCA^ = 900 ( vì ∆HAC vuông tại H)
Nên: OAC^ + ^FEA = 900 ^ANE = 900
Suy ra: KN OA
Xét ∆KAO có AH và KN là hai đường cao cắt nhau tại F F là trực
tâm của ∆KAO
OF KA (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A, M, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit)
0,5
0,5
0,5
c
Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng DE
và BC
Ta có: AF// OI (BC¿
IF// OA ( DE)
Do đó: FAOI là hình bình hành IF= OA; FA = IO
Xét ∆IFE và ∆COI, ta có:
IF = CO (= OA)
^
IFE = COI^ (= 900)
FE = OI (= FA)
Do đó: ∆IFE = ∆COI (c- g – c) IE = CI
Mà IE = ID (I thuộc đường trung trực của DE)
IB = IC (I thuộc đường trung trực của BC)
Do đó: IB = IC = ID = IE
Vậy bốn điểm B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn (I)
0,5
0,5
0,5
Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.