HSG TOÁN 7 đề đáp án yên ĐỊNH 2021

Chứng minh M10... Chứng minh M10... Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau... Gọi D và E lần lượt là giao điểm của MC với AB và B

THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI PHÒNG GD -ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi này gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2021-2022 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: Tính

a Thực hiện phép tính:

7

7 2

2 5 512

A

  × +   

 ÷  ÷  ÷

     

=

b Cho

và 2x3− =5 11 Tính B x y z= − + +2021

c Cho biểu thức

M

x y z x y t y z t x z t

+ + + + + + + + với x , y, z , t là các số tự nhiên

khác 0 Chứng minh M10 <1025

Bài 2:

a Tìm x , biết: 2.3 3.4 4.52 + 2 + 2 + ×××+x x( 2 1) = 20132015

P

 

= − ÷ − ÷ + ÷

   

c Tìm số tự nhiên n để phân số

n n

−

− có giá trị lớn nhất

Bài 3:

a Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau

( 1)

1 2

n n

Bài 4:

Cho ABC∆ có góc A nhỏ hơn 90° Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn

thẳng AM sao cho AM ⊥AB và AM =AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B

vẽ đoạn thẳng AN sao cho AN vuông góc với AC và AN =AC.

b Chứng minh: BN ⊥CM .

Bài 5:

Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a100+b100=a101+b101=a102+b102 Hãy tính giá trị của biểu thức P a= 2014+b2015.

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

(Đề thi có 01 trang)

THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO

NĂM HỌC: 2021-2022 Môn: Toán 7 Bài 1: Tính

a Thực hiện phép tính:

7

7 2

2 5 512

A

  × +   

 ÷  ÷  ÷

     

=

b Cho

và 2x3− =5 11 Tính B x y z= − + +2021

c Cho biểu thức

M

x y z x y t y z t x z t

+ + + + + + + + với x , y, z , t là các số tự nhiên

khác 0 Chứng minh M10 <1025

Lời giải

a Ta có:

7

7 2

2 5 512

A

  × +   

 ÷  ÷  ÷

     

=

+

7

7 2 9

× +

=

+

6 12 7

6 3

7 2 2

3 2 2

=

7 3 6 7

2 25 4

+

=

7

2 2 3

2 29

+

= 2 2967

2 29

2

=

b Ta có: 2x3− =5 11⇒2x3=16 3

8

x

⇒ = ⇒ =x 2 Khi đó:

2

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x+ = y− = z+ = x+ − +y + +z

− +

50 2 18

x y z− + +

⇒ = ⇒ − + +x y z 50 36= ⇒ − + = −x y z 14⇒ − + +x y z 2021 2007=

Vậy x y z− + +2021 2007= .

c Với x , y, z , t là các số tự nhiên Ta có:

y z t < z t

y z t x z t z t z t z t

+

Từ ( )1

và ( )2

suy ra

1 1 2

M

x y z x y t y z t x z t

10 210

M

⇒ < ⇒M10 <1024, mà 1024 1025< Vậy M10 <1025.

Bài 2:

a Tìm x , biết: 2.3 3.4 4.52 + 2 + 2 + ×××+x x( 2 1) = 20132015

P

 

= − ÷ − ÷ + ÷

   

c Tìm số tự nhiên n để phân số

n n

−

− có giá trị lớn nhất

Lời giải

a Ta có 2.3 3.4 4.52 + 2 + 2 + ×××+ x x( 2 1) = 20132015

+

( )

2

+

2

+

2

+

1

1 2015

x

+

1

x

+

1 2015

x

+

1 2015

x

⇒ + = ⇒ =x 2014.

Vậy x=2014

P

= − ÷ − ÷ + ÷

   

x z y x z y

THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI

Mà x y z− − =0

x z y

y x z

z y x

− =





⇒ − = −

 + =

y z x xyz P

x y z xyz

⇒ = × × = = −

Vậy P= −1.

c Gọi

n C n

−

=

− Ta có: 14 16 (14 21) 5 7 2( 3) 5 5

n C

−

Do đó: C lớn nhất ⇔2C lớn nhất

5

⇔

− lớn nhất⇔2n−3 là số dương nhỏ nhất.

Mà n là số tự nhiên ⇒2n−3 là số tự nhiên nhỏ nhất ⇒2n− =3 1⇒2n=4⇒ =n 2.

Vậy với n=2 thì phân số

n n

−

− có giá trị lớn nhất

Bài 3:

a Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau

( 1)

1 2

n n

Lời giải

a Gọi số chính phương phải tìm là k2 =aabb (k∈N∗; a , b∈¥ ; 0< ≤a 9; b≤9).

Ta có: k2 =1000a+100a+10b b+ =1100a+11b=11 100( a b+ ) .

100a b

⇒ + chia hết cho 11 ⇒99a+ +(a b) chia hết cho 11⇒ +a b chia hết cho 11.

Mà 1≤ + ≤a b 18⇒ + =a b 11⇒k2 =11 99( a+11) =11 92 ( a+1)

9a 1

⇒ + là số chính phương ⇒ =a 7⇒ =b 4.

Vậy số tự nhiên phải tìm là 7744

b Ta có:

( 1) 2 2 ( 2 ) (2 2) ( 1) (2 1) ( 1) ( 2)

1

• Trường hợp 1: n−1 chia hết cho 2⇒ − =n 1 2x (x∈¥∗) ⇒ =n 2x+1⇒ + =n 2 2x+3

p x x

⇒ = + , mà p là số nguyên tố và x<2x+3⇒ =x 1

5 3

p n

=



⇒  =

 (thỏa mãn).

• Trường hợp 2: n+2 chia hết cho 2⇒ + =n 2 2y ( y∈¥ ) ∗ ⇒ =n 2y−2 ⇒ − =n 1 2y−3

p y y

⇒ = − , mà p là số nguyên tố ⇒ =y 1 hoặc 2y− =3 1.

+ Nếu y= ⇒ =1 n 0n− <1 0 ⇒ <p 0 (loại).

+ Nếu 2y− =3 1⇒2y=4⇒ =y 2

2 2

p n

=



⇒  =

 (thỏa mãn).

Vậy (n p; ) ( ) (∈{ 3;5 ; 2;2) }.

Bài 4:

Cho ABC∆ có góc A nhỏ hơn 90° Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn

thẳng AM sao cho AM ⊥ AB và AM =AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B

vẽ đoạn thẳng AN sao cho AN vuông góc với AC và AN =AC.

Lời giải

THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI

Xét AMC∆ và ABN∆ có: AM =AB (gt); AN =AC (gt); MAC BAN· =·

AMC ABN

⇒ ∆ = ∆ (cạnh-góc-cạnh).

b Gọi D và E lần lượt là giao điểm của MC với AB và BN

AMC ABN

∆ = ∆ ⇒·AMC=·ABN hay ·AMD EBD= · , mà ·ADM =·EDB (đối đỉnh)

·AMD ADM· EBD EDB· ·

ADM

∆ vuông tại A⇒·AMD ADM+· = °90 ⇒·EBD EDB+· = °90 ⇒DEB· = °90 .

Vậy BN ⊥CM .

AKM

∆ vuông tại K ⇒·AMK MAK+· = °90 .

· 90

MAB= °⇒BAH MAK· +· = °90 ⇒·AMK =BAH· .

Xét ∆AMK vuông tại K và ∆BAH vuông tại H có: AM = AB (gt); ·AMK =BAH·

AMK BAH

⇒ ∆ = ∆ (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒MK =AH ( )3

Chứng minh tương tự: ANG∆ = ∆CAH ⇒NG AH= ( )4

Từ ( )3 và ( )4 ⇒MK =NG.

Do MK⊥ AH ; NG⊥AH ⇒MK NG// ⇒IMK· =ING· (so le trong).

Xét ∆IMK vuông tại K và ING∆ vuông tại G có: MK =NG; ·IMK=ING·

IMK ING

⇒ ∆ = ∆ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề) ⇒IM =IN.

Vậy AH đi qua trung điểm của MN

Bài 5:

Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a100+b100=a101+b101=a102+b102 Hãy tính giá trị của biểu thức P a= 2014+b2015.

Ta có: a100+b100 =a101+b101⇒a100−a101=b101−b100⇒a100(1− =a) b100(b−1) ( )5 .

Lại có: a101+b101=a102+b102⇒a101−a102=b102 −b101⇒a101(1− =a) b101(b−1) ( )6

Từ ( )5

và ( )6 ⇒a101(1− =a) a a 100(1− =a) ab100(b−1) ⇒ab100(b− =1) b101(b−1)

100 1 101 1 0

ab b b b

⇒ − − − = ⇒b100(b−1) (a b− =) 0.

Mà b là các số thực dương

1 0 0

b

a b

− =



⇒  − = b a b1

=



⇒  = .

• Trường hợp 1: Nếu b=1⇒ − =b 1 0 ⇒a100(1− =a) 0 ⇒ − =1 a 0 (vì a>0) ⇒ =a 1.

• Trường hợp 2: Nếu a b= ⇒2a100=2a101⇒a100=a101 ⇒ =a 1 (vì a>0)

Do đó: a b= =1 Vậy P= + =1 1 2.

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =