Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là một số chính phương.. Chứng minh rằng nếu 2m n+ £ 0 thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho luôn có nghiệm.. Có hai người
Trang 1Tỉnh Điện Biên Câu 1 (5,0 điểm)
1 Cho biểu thức
9
A
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
310 6 3 3 1
-2 Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là một số chính phương
Câu 2 (3,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2x- 1+ 5 2- x=4x2- 12x+7
2 Giải hệ phương trình:
ïí
ïïî
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4- y4=3y2+ 1
2 Cho hai phương trình x2- 3mx+2n=0 và x2- 5nx+4m=0 với m n, là các số
thực Chứng minh rằng nếu 2m n+ £ 0 thì ít nhất một trong hai phương trình đã
cho luôn có nghiệm
Câu 4 (6,0 điểm) Cho đường tròn (O R; )
và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho
3
OA = R Từ A kẻ các tiếp tuyến AB AC,
với đường tròn ( )O
(B C, là hai tiếp
điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( )O
tại D, AD cắt ( )O
tại E Gọi M là giao điểm của BC và AO
1 Chứng minh AE AD. =AM AO.
2 Tia BE cắt AC tại F. Chứng minh F là trung điểm của AC
3 Tính diện tích DBDC theo R.
Câu 5 (2,0 điểm)
1 Cho a b c d, , , > 0
minh
1 81
abcd £
2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo
9
Học sinh giỏi
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (5,0 điểm)
1 Cho biểu thức
9
A
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
310 6 3 3 1
-Lời giải a) Rút gọn biểu thức A
: 1
A
3
A
x
A
x
=
ïí
ïïî
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
310 6 3 3 1
-Ta có: x2- 3mx+2n =0
Vậy x2- 5nx+4m=0
2 Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là một số chính phương
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp lần lượt là n n; +1;n+2;n+3
với n Î ¥, ta có :
( )2 ( )
( )2
là một số chính phương
Câu 2 (3,0 điểm)
Trang 42 Giải hệ phương trình:
ïí
ïïî
Lời giải
1. Giải phương trình: 2x- 1+ 5 2- x =4x2- 12x+7
ĐKXĐ:
2£ x£ 2
2
2
( ) ( ) ( )( )
ç
1 2 5 2
x x
é
ê = ê
Û ê
ê = ê
ë (TMĐK)
do
1 5;
2 2
x éê ùú
" Î ê úë û
2. Giải hệ phương trình:
ïí
ïïî
2
2 2
2
2023
2023 2023
2023
2
2 2
2
2023
2023 2023
2023
Trang 5Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( )x y =; { (1; 1 ; 1;1- ) (- ) }
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4- y4=3y2+ 1
2 Cho hai phương trình x2- 3mx+2n =0 và x2- 5nx+4m=0 với m n, là các số
thực Chứng minh rằng nếu 2m n+ £ 0 thì ít nhất một trong hai phương trình đã
cho luôn có nghiệm
Lời giải
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4- y4=3y2+ 1
( )1 Û x4=y4+3y2+1
(2)
Ta thấy: y4+2y2+ £1 y4+3y2+ <1 y4+4y2+4
( 2 )2 4 2 ( 2 )2
y + £ y + y + < y +
(3)
Từ (2) và (3) suy ra ( )2 ( )2
Mà x Î ¢ nên ( )2
thay vào (2) ta có
( ) ( 2 )2 4 2
1 Û y +1 =y +3y +1
(4) Giải phương trình (4) ta được y =0
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình (1) là ( ) (1;0 ; 1;0- )
2 Cho hai phương trình x2- 3mx+2n =0 và x2- 5nx+4m=0 với m n, là các số
thực Chứng minh rằng nếu 2m n+ £ 0 thì ít nhất một trong hai phương trình đã
cho luôn có nghiệm
Xét phương trình x2- 3mx+2n =0 ( )1
ta có:
2
x - nx+ m= (2) ta có: D =2 25n2- 16m
với m n, là các số thực và 2m n+ £ 0 Þ D + D ³1 2 0
0
éD ³
Từ (3) và (4) Þ x= - y
Thay x= -y vào phương trình (2) ta được:
2
Trang 6Câu 4 (6,0 điểm) Cho đường tròn (O R; )
và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho
3
OA = R Từ A kẻ các tiếp tuyến AB AC,
với đường tròn ( )O
(B C, là hai tiếp
điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( )O
tại D, AD cắt ( )O
tại E Gọi M là giao điểm của BC và AO
1 Chứng minh AE AD. =AM AO.
2 Tia BE cắt AC tại F. Chứng minh F là trung điểm của AC
3 Tính diện tích DBDC theo R.
Lời giải
F
E
D
M
B
C
1. Chứng minh AE AD. =AM AO.
Do AB AC;
là hai tiếp tuyến với đường tròn ( )O
nên chứng minh được AO ^BC Và
AB =AM AO (1)
Chứng minh: DAEB ∽DABD
Suy ra AB2=AE AD (2)
Từ (1) (2) suy ra AE AD. =AM AO.
2. Tia BE cắt AC tại F. Chứng minh F là trung điểm của AC
Chứng minh DFCE ∽DFBC (g.g)
(3) Chứng minh: ABF· =CAE·
Chứng minh DFBA∽DFAE
(4)
Từ (3) và (4) suy ra FC =FA Þ F là trung điểm của AC .
3 Tính diện tích DBDC theo R.
Trang 7Chứng minh DACB ∽DCBD (g.g)
2
CBD ACB
æ ö÷
Þ = çç ÷÷
çè ø
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
Và
8 3
R
2
Vậy
2
æ ö÷
÷
çè ø
Câu 5 (2,0 điểm)
1 Cho a b c d, , , > 0
minh
1 81
abcd £
2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc
Lời giải
1. Cho a b c d, , , > 0
1. 81
abcd £
Ta có
1
Áp dụng BĐT cauchy ta có:
2
4 2 2
3
R
Trang 8( )( )( ) ( )( )( ) ( )
3
3
3
1
bcd
Chứng minh tương tự:
( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
3
3
3
1
acd
abd
abc
³
³
³
Nhân vế với vế của (1), (2), (3), (4)
3 3 3 3
1 81
a b c d
abcd
abcd
³
Dấu “=” xảy ra khi
1 3
a= = = =b c d
2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc
Để đảm bảo thắng cuộc, ở nước đi cuối cùng của mình người bốc kẹo đầu tiên phải để lại trong hộp 11 viên kẹo, ở nước đi trước đó phải để lại trong hộp: 11+(20 11+ ) =42
viên kẹo Suy ra người bốc kẹo đầu tiên phải đảm bảo trong hộp lúc nào cũng còn 11 31k+ viên
kẹo
Ta có
2014 11
64 31
-=
dư 19 Như vậy người bốc kẹo đầu tiên ở lần thứ nhất của mình phải bốc 19 viên
Tiếp theo khi đối phương bốc x viên (11£ x£ 20)
thì người bốc kẹo đầu tiên phải bốc
31 x- viên kẹo Cuối cùng sẽ còn lại 11 viên kẹo cho đối phương.