S6 chuyên đề 4 chủ đề 2 chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

CHUYÊN ĐỀ 4:ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU PHẦN I.. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.. Ước chung của hai hay nhiề

ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 4:

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU

PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Ước và Bội của một số nguyên

Với a b Z,  và b0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b Ta còn nói a là bội

của b và b là ước của a

2 Nhận xét

- Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a b q: 

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0 Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào

- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên

3 Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó

Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c)

4 Ước chung lớn nhất

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó

5 Các tính chất

- ¦CLN( ,1) 1;a  BCNN a ,1 a

- Nếu a b  ¦CLN( , )a b b BCNN a b;  ,  a

- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau  ( , ) 1; ,a b  a b a b

- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))

- Nếu

¦CLN( , )a b d; a dm ¦CLN( , ) 1;m n

b dn









Ví dụ

10 2.5

15 3.5









- Nếu BCNN a b ,  c; c am ¦CLN( , ) 1;m n

c bn









Ví dụ 10,15 30; 30 10.3 ¦CLN(2,3) 1

30 15.2





- ab ¦CLN(a,b).BCNN a,b 

PHẦN II BÀI TẬP:

Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số:

I Phương pháp giải

Bài toán: Tìm ¦CLNa a1, 2, ,a n

Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦CLNa a1, 2, ,a n d

1

















n

a d

a d

d

a d

II.Bài toán

Bài 1: Cho n N * Chứng minh rằng

a) ¦CLNn3,2n5 1

b) ¦CLN 3 n3, 4n9 1

Lời giải:

a) Gọi ¦CLN(n3, 2n5)d d( N*)

2 6 2 5

  n  n  d

 n  n d

 d d 

Vậy n3;2n51

b) Gọi

* 4(3 7) 7 12 28

12 28 12 27

  n  n  d

12 28 12 27

 d d 

Vậy ¦CLN 3 n3, 4n9  1

Bài 2: Cho ,a b

là số tự nhiên lẻ, b N Chứng minh rằng ¦CLN( , a ab 128) 1

Lời giải:

Đặt d¦CLN( ,a ab128) 128



 









a d

ab d và d lẻ 128 d và d lẻ

 2 d7 và d lẻ  2d và d lẻ d 1.

Vậy ( ,a ab128) 1

Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 17n21 6( n N thì ¦CLN( ,2) 1;¦CLN( ,3) 1 *) n  m 

Lời giải:

+) Theo đầu bài ta có: 17n21 6  17n21 2  17n21 chẵn  n lẻ  n2 ( , 2) 1n 

+) Vì 17n21 6  17n21 3  n3 ( ,3) 1n 

(nếu n3 17n23 17n21 3  lo¹i n  ) 3

Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b Chứng tỏ rằng 11 a2b và 18 a5b hoặc là số nguyên tố

cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19

Lời giải

Gọi d (11a2 ,18b a5 )b

5(11 2 ) 2(18 5 )

19

 a d

Đặt

19











d

a dk k N d k

- Nếu 19k  k 19q 19a dk d  .19.q a dq  a d 

2

5

b d

b d









Bài 5: Chứng minh rằng: ¦CLN( , ) 1a b  và a, b khác tính chẵn lẻ thì

*

¦CLN(a mb a n, m b n) 1 m n, N và a m b n 0.

Lời giải :

a)

2

2



Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ



 







m n

a d

b d

Giả sử d  1 d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p

m

n

a p a p

b p

b p









Vậy d  1 d  1 đpcm.

Bài 6: Tìm ƯCLN của 2n1 và 3n1 với n N

Lời giải:

d n n  dN

Khi đó ta có :







 n  n d d

d

Do đó ¦C 2 n1,3n1

là ước của d, hay là ước của 1

Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp

Vậy ¦C 2 n1,3n1¦ 1   1;1

Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n24 và 3n4.

Lời giải:

¦CLN 9n24,3n4  d dN

Khi đó ta có:



¦ 12 1; 2; 3; 4; 6; 12

d

Do 3n4d,

mà 3n4 không chia hết cho 3, nên d3;6;13

(loại)

Do đó d1;2;4

- Để d 2 thì n phải chẵn

- Để d 4 thì n phải chia hết cho 4

- Để d 1 thì n là số lẻ

Vậy n4k2k N 

thì ¦CLN 9 n24,3n4 2

4

n k k N

thì ¦CLN9n24,3n4 4

thì ¦CLN9n24,3n4  1

Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n5 và 14n3

Lời giải:

Khi đó ta có:

3 14 3







 n  n d  d d 

Vậy ¦CLN21 ,14n n 3 1

Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 18n2 và 30n3

Lời giải:

Khi đó ta có:

5 18 2







Vậy ¦CLN18n2,30n3 1

Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 24n7 và 18n5

Lời giải:

Khi đó ta có:







Vậy ¦CLN24n7,18n5  1

Bài 11: Biết ¦ LNC a b ,  95 Tìm ¦CLNa b a b ,  .

Lời giải:

Gọi a b a b ,    d d N *

 

a b d

b d d

a b d















và

2

















a b d

a d

a b d hoặc d ¦ 2  hoặc d ¦ a  

mà a b,  95,

nên d 95 hoặc d 2

Vậy a b a b ,   2

hoặc d 95.

Bài 12: Cho ,m n là hai số tự nhiên Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n , B là tập hợp các

ước số chung của 11m5n và 9 m4n Chứng minh rằng A B

Lời giải:

11

d m n m n  dN

Khi đó ta có:







m n d

 m n  m n d  n d

(1)

Tương tự ta có:







m n d

 m n  m n  m d (2)

Từ (1) và (2) ta có : d¦C( , )m n  d¦( )A

và B¦ d ¦ A Vậy A B

Bài 13: Tìm ƯC của 2n 1 và 3n 1 với n N

Lời giải:

d n n  dN

Khi đó ta có :







Do đó ¦C 2 n1,3n1

là ước của d, hay là ước của 1

Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp

Vậy ¦C 2 n1,3n1 ¦ 1 (1,1)

Bài 14: Cho hai số 3n 1 và 5n 4là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm ¦CLN 3 n1, 5n4

Lời giải:

Gọi ¦CLN 3 n1,5n4 d

Khi đó









Mà d 1 nên d 7

Bài 15: Tìm ¦CLN 2 n1,9 n 4 với n N

Lời giải:

Gọi d¦CLN 2 n 1,9 n 4

,  dN*

Khi đó ta có :







d

Mà là các số dương nên ta có : d 1 hoặc d 17

Vậy ¦CLN 2 n1, 9n4  hoặc 171

Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

I Phương pháp giải

Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦CLNa b  ,  1

Phương pháp giải: Giả sử d¦CLNa b, 

Cách 1: Chỉ ra d 1

Cách 2:

+) Giả sử d 1(d 2) (phương pháp phản chứng)

+) Gọi p là ước nguyên tố của d

+) Chỉ ra rằng p1 (vô lý)

+) Kết luận d 1

II Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng hai số n1 và 3n4n N 

là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

d n n  dN , nên ta có:



Vậy hai số n1 và 3n4 là hai số nguyên tố cùng nhau với n N 

Bài 2: Chứng minh rằng 2n1 và 2n3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

d n n  dN

Khi đó ta có: 2 1 2 3 2 1 2 ¦ 2  1;2















Mà ta lại có 2n 1 d

mà 2n1 là số lẻ nên d 2 (loại), do đó d 1 Vậy hai số 2n1 và 2n3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 3: Chứng minh rằng 14n3 và 21n4n N 

là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

d n n  dN

Khi đó ta có:

3 14 3







Vậy hai số 14n3 và 21n4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 4: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên Chứng minh rằng m và mn4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Giả sử m và ( mn4) cùng chia hết cho số tự nhiên d, khi đó ta có:



 d d

, do m d và m lẻ  d 2 hoặc d 4 (loại) Vậy d 1

Khi đó m và mn4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 5: Cho ¦CLNa b  Chứng tỏ rằng 8 3,  1 a và 5b1 là nguyên tố cùng nhau.

Lời giải :

¦CLN 8a3, 5b1  d dN



và  









 a b  a b d  a d

Vì ¦CLNa b  nên ,  1 d 1 hoặc d 7.

Bài 6: Chứng minh rằng 2n  và 61 n  là hai số nguyên tố cùng nhau5

Lời giải:

¦CLN 2 1,6 5 ,

d n n  dN

Khi đó ta có :







6n 5 6n 3 d 2 d d ¦(2)= 1;2 

Do 2n 1 d, mà 2n 1 lại là số lẻ nên d 2 loại, do đó d 1

Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n N thì các số 7n 10 và 5n 7 ngyên tố cùng nhau

Lời giải:

¦CLN 7 10, 5 7 ,

d n n  dN Khi dó ta có :

Do đó d 1

Vậy hai số 7n 10 và 5n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi n N thì các số 2n 3 và 4n 8 ngyên tố cùng nhau

Lời giải:

¦CLN 2 3, 4 8 ,

d n n  dN

Khi đó ta có:







 n  n d d d

Vì 2n 3 d , mà 2n 3 là số lẻ nên d 2 (loại)

Khi đó d 1

Vậy hai số 2n 3 và 4n 8 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 9: Cho ¦CLNa b  Chứng minh rằng ,  1 ¦CLNa a b,    1

Lời giải:

d a b a  dN













a b d

a b a d b d

a d mà ad nên d¦Ca b,  hay d¦ 1  d 1

Bài 10: CMR: ¦CLN 12 n1,30n1  với mọi số tự nhiên n1

Lời giải:

Gọi ¦CLN 12 n1,30n1  , suy ra d *

dN khi đó ta có :

5 12 1







Vì 12n 1 là một số không chia hết cho 3 nên d 3 loại

Vậy d 1 , khi đó ¦CLN 12 n1,30n1 1

Bài 11: Cho a b, là hai số nguyên tố cùng nhau CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau :

Lời giải:

a) Giả sử a2 và ab cùng chia hết cho số nguyên tố d

Khi đó a d , do đó b d  ,a b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết

¦CLN a;b =1

Vậy a2 và ab là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Giả sử abvà ab cùng chia hết cho số nguyên tố d

Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d

Khi a d  b d  , hoặc b d  a d

a và b cùng chia hết cho d, trái với a b  ,  1

Vậy ab và ab nguyên tố cùng nhau

Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 1: Tìm n N để: 7 10 n và 5n7là hai số sau ngyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi d 7n10;5n7 d N *

Khi dó ta có:

 

5 7 10







Do đó d 1

Vậy với mọi n N hai số 7 10 n và 5n7 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2: Tìm n N để: 2n3 và 4n8là hai số sau ngyên tố cùng nhau

Lời giải :

Gọi d 2n3;4n8 d N *

Khi đó ta có:







 n  n d d  d

Vì 2n3d , mà 2n3 là một số lẻ nên d 2 (loại)

Khi đó d 1.

Vậy với mọi n N hai số 2n3 và 4n8 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 3: Tìm n N để: 18 3 n và 21n7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi UCLN18n3, 21n7  d d N *

Khi đó ta có:

7 18 3













¦ 21 1; 3; 7; 21

d

Do 21n7 7 , mà 21n7 không chia hết cho 3 nên d 1 hoặc d 7

Để hai số 18n3 và 21n7 là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay

18n3 7  18n 3 21 7  18n18 7  18 n1 7  n1 7  n 1 7k n7k1Vậy

n k với k là số tự nhiên thì 18n3 và 21n7 là hai số nguyên tố.

Bài 3: Tìm ¦CLN 7( n3,8n1) với (nN*) Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

d n n  dN

Khi đó ta có:







 n  n d d  d  hoặc1 d 31

Để d 1 thì d 31 hay 7n  313  7n 3 3131 7n 2831

7 n 4

  31 n 431

Hay n 431k n31k (4 k là số tự nhiên)

Vậy để 7n 3 và 8n 1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì   31n k (4 k là số tự nhiên)

Bài 4: Tìm n để 9n 24 và 3n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (nN).

Lời giải:

Gọi d¦CLN 9 n24,3n4

 1; 2; 3; 4; 6; 12

d

Nếu d     2; 4; 6; 12  9n24

chẵn và, 3n4 chẵn  d     2; 4; 6; 12

loại Nếu d  3 3n 4 3 Vô lý  d=3(loại)

Nếu d 1 9n24,3n4 là số lẻ  9n24 lẻ n lẻ và 3n 4 lẻ  nlẻ

Vậy n lẻ

Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n3 và 2n 3 nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,  d N*





 n  n d  d d

Để 4n3 và 2n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 3 hay

2n3 3  2 3n  n3 n3 (k k)

Vậy n3 (k k ) thì 4n 3 và 2n 3là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 6: Tìm số tự nhiên n để 7n 13 và 2n 4nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

b, Gọi ¦CLN 7 n13, 2n4  , d *

d N





Để 7n 13 và 2n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 2 hay

7n13 2  7 2n  n2 n chẵn

Vậy n chẵn thì 7n 13 và 2n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 7: Tìm số tự nhiên n để các số 18n 3 và 21n 7 nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi d¦CLN 18 n3, 21n7

7(18 3)











Nếu d  3 21n 7 3 (Vô lý)

Nếu d1;7 , để 2 số trên là nguyên tố thì

Vậy với n7k1k N  thì hai số trên nguyên tố cùng nhau

Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên nđể n15 và n72 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi d¦Cn15,n72 57 , do 15 ,57d n d d ,

Nên tồn tại n sao cho n15 57 k1 thì d  , với 1 k 1;2;3;

Vậy có vô số n

 HẾT