Chủ đề 9: Số nguyên tố - hợp số (Toán lớp 6)

Hãy tham khảo tư liệu Chủ đề 9: Số nguyên tố - hợp số (Toán lớp 6) để giúp các em rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì kiểm tra sắp tới đạt điểm tốt hơn.

CH  Đ  9: S  NGUYÊN T  ­ H P S Ủ Ề Ố Ố Ợ Ố

A/ KI N TH C C N NH Ế Ứ Ầ Ớ

1. D nh nghĩa: ị

* S  nguyên t  là s  t  nhiên l n h n 1, ch  có hai ố ố ố ự ớ ơ ỉ ước là 1 và chính nó

* H p s  là s  t  nhiên l n h n 1, có nhi u h n hai ợ ố ố ự ớ ơ ề ơ ước

2. Tính ch t:ấ

* N u s  nguyên t  p chia h t cho s  nguyên t  q thì p = q.ế ố ố ế ố ố

* N u tích abc chia h t cho s  nguyên t  p thì ít nh t m t th a s  c a tích abc chiaế ế ố ố ấ ộ ừ ố ủ  

h t cho s  nguyên t  p.ế ố ố

* N u a và b không chia h t cho s  nguyên t  p thì tích ab không chia h t cho sế ế ố ố ế ố  nguyên t  p .ố

3. Cách nh n bi t m t s  nguyên t :ậ ế ộ ố ố

a) Chia s  đó l n lố ầ ượt cho các s  nguyên t  đã bi t t  nh  đ n l n.ố ố ế ừ ỏ ế ớ

­ N u có m t phép chia h t thì s  đó không ph i là s  nguyên t ế ộ ế ố ả ố ố

­ N u chia cho đ n lúc s  thế ế ố ương nh  h n s  chia mà các phép chia v n còn s  dỏ ơ ố ẫ ố ư  thì s  đó là s  nguyên t ố ố ố

b) M t s  có 2 ộ ố ướ ố ớc s  l n h n 1 thì s  đó không ph i là s  nguyên t ơ ố ả ố ố

4. Phân tích m t s  ra th a s  nguyên t :ộ ố ừ ố ố

* Phân tích m t s  t  nhiên l n h n 1 ra th a s  nguyên t  là vi t s  đó dộ ố ự ớ ơ ừ ố ố ế ố ướ ạ  i d ng

m t tích các th a s  nguyên t ộ ừ ố ố

­ D ng phân tích ra th a s  nguyên t  c a m i s  nguyên t  là chính s  đó.ạ ừ ố ố ủ ỗ ố ố ố

­ M i h p s  đ u phân tích đọ ợ ố ề ược ra th a s  nguyên t ừ ố ố

.

￭i , , ￭ nh￭ng s￭ nguy￭n t￭.

, , , N v￭ , , , 1

A a b c

V a b c l

α β γ

=

5. S  các ố ướ ốc s  và t ng các ổ ướ ố ủc s  c a m t s :ộ ố

+1 1 1

￭ s￭

￭i , , ￭ nh￭ng s￭ nguy￭n t￭.

, , , N v￭ , , , 1

1 S￭ c￭c ￭￭c s￭ c￭a A l￭: ( +1)( +1) ( +1).

2 T￭ng c￭c ￭￭c s￭ c￭a A l￭:

Gi A a b c

V a b c l

α β γ

α β+ γ+

=

B/ CÁC D NG TOÁN.Ạ

D NG 1. NH N BI T S  NGUYÊN T , H P SẠ Ậ Ế Ố Ố Ợ Ố

­ Căn c  vào đ nh nghĩa s  nguyên t  và h p s ứ ị ố ố ợ ố

­ Căn c  vào các d u hi u chia h t.  ứ ấ ệ ế

­ Có th  dùng b ng nguyên t    cu i SGK đ  xác đ nh m t s  (nh  h n ể ả ố ở ố ể ị ộ ố ỏ ơ   1000) là số  nguyên t  hay không ố

Bài 1. Các s  sau là s  nguyên t  hay h p s  ?ố ố ố ợ ố

312 ; 213 ; 435 ; 417 ; 3311 ; 67

Gi iả

Các s  312, 213, 435 và 417 là h p s  vì chúng l n h n 3 và chia h t cho 3.ố ợ ố ớ ơ ế

S  3311 là h p s  vì s  này l n h n 11 và chia h t cho 11.ố ợ ố ố ớ ơ ế

S  67 là s  nguyên t  vì nó l n h n 1, ch  có hai ố ố ố ớ ơ ỉ ước là 1 và chính nó

Bài 2. G i p là t p các s  nguyên t  Đi n kí hi uọ ậ ố ố ề ệ  ∈ ,  ∉  ho cặ   ⊂  vào ch  tr ng cho đúngỗ ố   :

83 … P,        91 … P,         15 … n,      P … n

Đáp số

83 ∈ P,        91 ∉ P,         15 ∈ n,      P ⊂ n Bài 3. Dùng b ng s  nguyên t    cu i SGK, tìm các s  nguyên t  trong các s  sau :ả ố ố ở ố ố ố ố

117 ; 131 ; 313 ; 469 ; 647

Đáp số

Các s  nguyên t  là :ố ố    131 ; 313 ; 647

Bài 4. T ng (hi u) sau là s  nguyên t  hay h p s  ?ổ ệ ố ố ợ ố

a) 3.4.5 + 6.7 ;        b) 7.9.11.13 – 2 3.4.7;

c) 5.7 + 11.13.17 ;        d) 16354 + 67541

Gi iả

a) M i s  h ng c a t ng đ u chia h t cho 3. T ng chia h t cho 3 và l n h n 3 nênỗ ố ạ ủ ổ ề ế ổ ế ớ ơ  

là h p s ợ ố

b) M i s  h ng c a hi u đ u chia h t cho 7. Hi u chia h t cho 7 và l n h n 7 nênỗ ố ạ ủ ệ ề ế ệ ế ớ ơ  

là h p s ợ ố

c) M i s  h ng c a t ng đ u là s  l  nên t ng là s  ch n. T ng chia h t cho 2 vàỗ ố ạ ủ ổ ề ố ẻ ổ ố ẵ ổ ế  

l n h n 2 nên là h p s ớ ơ ợ ố

d) T ng t n cùng b ng 5 nên chia h t cho 5. T ng này l i l n h n 5 nên là h p s ổ ậ ằ ế ổ ạ ớ ơ ợ ố Bài 5. Đi n d u “x ” vào ô thích h p :ề ấ ợ

a) Có hai s  t  nhiên liên ti p đ u là s  nguyên tố ự ế ề ố ố … …

b) Có ba s  l  liên ti p đ u là s  nguyên tố ẻ ế ề ố ố … …

c) M i s  nguyên t  đ u là s  lọ ố ố ề ố ẻ … …

d) M i s  nguyên t  đ u có ch  s  t n cùng làọ ố ố ề ữ ố ậ  

m t trong các ch  s  1, 3, 7, 9.ộ ữ ố …

Tr  l iả ờ

a) Đúng, ví d  2 và 3.ụ

b) Đúng, ví d  3, 5 và 7.ụ

c) Sai, ví d  2 là s  nguyên t  ch n.ụ ố ố ẵ

B  sung thêm đi u ki n đ  câu sau tr  thành câu đúng :ổ ề ệ ể ở

M i s  nguyên t  l n h n 2 đ u là s  l ọ ố ố ớ ơ ề ố ẻ d) Sai, ví d  5 là s  nguyên t  t n cùng là 5.ụ ố ố ậ

B  sung : M i s  nguyên t  l n h n 5 đ u t n cùng b i m t trong các ch  sổ ọ ố ố ớ ơ ề ậ ở ộ ữ ố 

1, 3, 7, 9

D NG 2. VI T S  NGUYÊN T  HO C H P S  T  NH NG S  CHO TRẠ Ế Ố Ố Ặ Ợ Ố Ừ Ữ Ố ƯỚC 

­ Dùng các d u hi u chia h t ấ ệ ế

­ Dùng b ng s  nguyên t  nh  h n 1000 ả ố ố ỏ ơ

Bài 7. Thay ch  s  vào d u * đ  đ c h p s  :ữ ố ấ ể ượ ợ ố          ;      

Gi iả

Trong b ng s  nguyên t  có 11, 13, 17, 19 là các s  nguyên t  V y các h p s  cóả ố ố ố ố ậ ợ ố  

d ng ạ      là s  10, 12, 14, 15, 16, 18.ố

Trong b ng có 31, 37 là s  nguyên t  ả ố ố

V y các h p s  có d ng ậ ợ ố ạ     là 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39

Cách khác: V i sớ ố     có th  ch n * là 0, 2, 4, 6, 8 (để ọ ể     chia h t cho 2) có thế ể 

ch n * = 5 (đọ ể   chia h t cho 5).ế

V i sớ ố       có th  ch n * là 0, 2, 4, 6, 8 (để ọ ể      chia h t cho 2), ho c ch n * là 3,ế ặ ọ  

9 (để   chia h t cho 3), ho c * = 5 (đế ặ ể    chia h t cho 5).ế

Bài 8. Thay ch  s  vào d u * đ  đ c s  nguyên t  :ữ ố ấ ể ượ ố ố             ;        

Đáp số : 53 ; 59 ; 97.

Bài 9

a) Tìm s  t  nhiên k đ  3. k là s  nguyên t ố ự ể ố ố

b) Tìm s  t  nhiên k đ  7. k là s  nguyên t ố ự ể ố ố

Gi iả

a) V i k = 0 thì 3. k = 0, không là s  nguyên t , không là h p s ớ ố ố ợ ố

V i k = 1 thì 3. k = 3, là s  nguyên t ớ ố ố

V i kớ   ≥  2 thì 3. k là h p s  (vì có 3 là ợ ố ước khác 1 và khác chính nó)

V y v i k = 1 thì 3. k là s  nguyên t ậ ớ ố ố b) Đáp s  : k = 1.ố

D NG 3: TÌM S  NGUYÊN T , H P S  TH A MÃN ĐI U KI N.Ạ Ố Ố Ợ Ố Ỏ Ề Ệ

Bài 1: Ta bi t r ng có 25 s  nguyên t  nh  h n 100. T ng c a 25 s  nguyên t  là s  ch nế ằ ố ố ỏ ơ ổ ủ ố ố ố ẵ   hay s  l ố ẻ

HD:

Trong 25 s  nguyên t  nh  h n 100 có ch a m t s  nguyên t  ch n duy nh t là 2,ố ố ỏ ơ ứ ộ ố ố ẵ ấ   còn 24 s  nguyên t  còn l i là s  l  Do đó t ng c a 25 s  nguyên t  là s  ch n.ố ố ạ ố ẻ ổ ủ ố ố ố ẵ

Bài 2:  T ng c a 3 s  nguyên t  b ng 1012. Tìm s  nguyên t  nh  nh t trong ba sổ ủ ố ố ằ ố ố ỏ ấ ố  nguyên t  đó.ố

HD:

Vì t ng c a 3 s  nguyên t  b ng 1012, nên trong 3 s  nguyên t  đó t n t i ít nh tổ ủ ố ố ằ ố ố ồ ạ ấ  

m t s  nguyên t  ch n. Mà s  nguyên t  ch n duy nh t là 2 và là s  nguyên t  nh  nh t.ộ ố ố ẵ ố ố ẵ ấ ố ố ỏ ấ  

V y s  nguyên t  nh  nh t trong 3 s  nguyên t  đó là 2.ậ ố ố ỏ ấ ố ố

Bài 3: T ng c a 2 s  nguyên t  có th  b ng 2003 hay không? Vì sao?ổ ủ ố ố ể ằ

HD:

Vì t ng c a 2 s  nguyên t  b ng 2003, nên trong 2 s  nguyên t  đó t n t i 1 sổ ủ ố ố ằ ố ố ồ ạ ố  nguyên t  ch n. Mà s  nguyên t  ch n duy nh t là 2. Do đó s  nguyên t  còn l i là 2001.ố ẵ ố ố ẵ ấ ố ố ạ  

Do 2001 chia h t cho 3 và 2001 > 3. ế

Suy ra 2001 không ph i là s  nguyên t ả ố ố

Bài  4: Tìm s  nguyên t  p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các s  nguyên t ố ố ố ố

HD:

Gi  s  p là s  nguyên t ả ử ố ố

­ N u p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đ u không ph i là s  nguyên t ế ề ả ố ố

­ N u p ế  3 thì s  nguyên t  p có 1 trong 3 d ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 v i k ố ố ạ ớ N*

+) N u p = 3k ế  p = 3   p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đ u là các s  nguyên t ề ố ố

+) N u p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ế  p + 2 M 3 và p + 2 > 3. Do đó 

p + 2 là h p s ợ ố

+) N u p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ế  p + 4 M 3 và p + 4 > 3. Do đó 

p + 4 là h p s ợ ố

V y v i p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các s  nguyên t ậ ớ ố ố

Bài 5: Tìm s  nguyên t , bi t r ng s  đó b ng t ng c a hai s  nguyên t  và b ng hi uố ố ế ằ ố ằ ổ ủ ố ố ằ ệ  

c a hai s  nguyên t ủ ố ố

HD:

￭ s￭ a, b, c, d, e l￭ c￭c s￭ nguy￭n t￭ v￭ d > e.

Theo b￭i ra: a = b + c = d - e (*).

T￭ (*) a > 2 a l￭ s￭ nguy￭n t￭ l￭.

b + c v￭ d - e l￭ s￭ l￭.

Do b, d l￭ c￭c s￭ nguy￭n t￭ b, d l￭ s￭ l￭ c, e

Gi

l￭ s￭ ch￭n.

c = e = 2 (do c, e l￭ c￭c s￭ nguy￭n t￭).

a = b + 2 = d - 2 d = b + 4.

V￭y ta c￭n t￭m s￭ nguy￭n t￭ b sao cho b + 2 v￭ b + 4 c￭ng l￭ c￭c s￭ nguy￭n t￭.

Bài 6: Tìm t t c  các s  nguyên t  x, y sao cho: xấ ả ố ố 2 – 6y2 = 1

HD:

2 2 2 2 2 2

2

6 2 ( 1)( 1) 2

￭ x - 1 + x + 1 = 2x x - 1 v￭ x + 1 c￭ c￭ng t￭nh ch￭n l￭.

x - 1 v￭ x + 1 l￭ hai s￭ ch￭n li￭n ti￭p

( 1)( 1) 8 6 8 3 4

M

Bài 7: Tìm s  nguyên t  p sao cho các s  sau cũng là s  nguyên t :ố ố ố ố ố

a) p + 2 và p + 10

b) p + 10 và p + 20

c) p + 10 và p + 14

d) p + 14 và p + 20

e) p + 2và p + 8

f) p + 2 và p + 14

g) p + 4 và p + 10

h) p + 8 và p + 10

D NG 4. CH NG MINH M T S  LÀ S  NGUYÊN T  HAY H P SẠ Ứ Ộ Ố Ố Ố Ợ Ố

­ Đ  ch ng minh m t s  là s  nguyên t , ta ch ng minh s  đó không có  ể ứ ộ ố ố ố ứ ố ướ c nào   khác 1 và khác chính nó.

­ Đ  ch ng minh m t s  là h p s , ta ch  ra r ng t n t i m t  ể ứ ộ ố ợ ố ỉ ằ ồ ạ ộ ướ ủ c c a nó khác 1 và   khác chính nó. Nói cách khác, ta ch ng minh s  đó có nhi u h n hai  ứ ố ề ơ ướ c.

Bài 1. Hãy ch ng minh r ng tích c a hai s  nguyên t  là m t h p s ứ ằ ủ ố ố ộ ợ ố

Gi iả

Tích c a hai s  nguyên t  gi ng nhau p.p có ba ủ ố ố ố ước là 1, p và p2. Tích c a hai sủ ố  nguyên t  khác nhau pố 1.p2 có b n ố ước là 1, p1, p2 và p1.p2.

V y tích c a hai s  nguyên t  là m t h p s ậ ủ ố ố ộ ợ ố

Bài 2: Cho p và p + 4 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng p + 8 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố

HD:

Vì p là s  nguyên t  và p > 3, nên s  nguyên t  p có 1 trong 2 d ng: 3k + 1, 3k + 2ố ố ố ố ạ  

v i k ớ N*

­ N u p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ế  p + 4 M 3 và p + 4 > 3. 

Do đó p + 4 là h p s  (Trái v i đ  bài p + 4 là s  nguyên t ).ợ ố ớ ề ố ố

­ N u p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ế  p + 8 M 3 và p + 8 > 3. 

Do đó p + 8 là h p s ợ ố

V y s  nguyên t  p có d ng: p = 3k + 1 thì p + 8 là h p s ậ ố ố ạ ợ ố

Bài 3: Ch ng minh r ng m i s  nguyên t  l n h n 2 đ u có d ng 4n + 1 ho c 4n – 1.ứ ằ ọ ố ố ớ ơ ề ạ ặ

HD:

M i s  t  nhiên n khi chia cho 4 có th  có 1 trong các s  d : 0; 1; 2; 3. Do đó m iỗ ố ự ể ố ư ọ  

s  t  nhiên n đ u có th  vi t đố ự ề ể ế ược dưới 1 trong 4 d ng:  4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3ạ

 v i k ớ N*

­ N u n = 4k ế nM4  n là h p s ợ ố

­ N u n = 4k + 2 ế nM2  n là h p s ợ ố

V y m i s  nguyên t  l n h n 2 đ u có d ng 4k + 1 ho c 4k – 1. Hay m i sậ ọ ố ố ớ ơ ề ạ ặ ọ ố  nguyên t  l n h n 2 đ u có d ng 4n + 1 ho c 4n – 1 v i n ố ớ ơ ề ạ ặ ớ N*

Bài 4: Cho p và p + 2 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng p + 1ố ố ứ ằ M6

HD:

Vì p là s  nguyên t  và p > 3, nên s  nguyên t  p có 1 trong 2 d ng: 3k + 1, 3k + 2ố ố ố ố ạ  

v i k ớ N*

­ N u p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ế  p + 2 M 3 và p + 2 > 3. 

=> p + 2 là h p s  ( Trái v i đ  bài p + 2 là s  nguyên t ).ợ ố ớ ề ố ố

­ N u p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)  (1). ế

Do p là s  nguyên t  và p > 3 ố ố p l  ẻ k l  ẻ k + 1 ch n ẵ k + 1M2  (2)

T  (1) và (2) ừ p + 1M6

Bài 5:

a) Cho p và p + 4 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: p + 8 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố b) Cho p và 2p + 1 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: 4p + 1 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố c) Cho p và 10p + 1 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: 5p + 1 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố d) Cho p và p + 8 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: p + 4 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố e) Cho p và 4p + 1 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: 2p + 1 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố f) Cho p và 5p + 1 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: 10p + 1 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố

g) Cho p và 8p + 1 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: 8p ­ 1 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố h) Cho p và 8p ­ 1 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: 8p + 1 là h p s ố ố ứ ằ ợ ố i) Cho p và 8p2 ­ 1 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: 8pố ố ứ ằ 2 + 1 là h p s ợ ố j) Cho p và 8p2 + 1 là các s  nguyên t  (p > 3). Ch ng minh r ng: 8pố ố ứ ằ 2 ­ 1 là h p s ợ ố Bài 6: Ch ng minh r ng:ứ ằ

a) N u p và q là hai s  nguyên t  l n h n 3 thì pế ố ố ớ ơ 2 – q2 M 24

b) N u a, a + k, a + 2k (a, k ế N*) là các s  nguyên t  l n h n 3 thì k ố ố ớ ơ M 6