kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy

kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy

KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY

I Bất đẳng thức Cauchy

, , 0

x y z

  ta có :

2

x y

xy

  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y

3

3

x y z

xyz

   .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z

+ Chú ý:trong thực tế ta thường dùng dưới dạng x y 2 xy ;x y z  33 xyz

II Các kĩ thuật sử dụng

1.Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Sử dụng dạng :

2

x y

xy

  hoặc x y 2 xy

3

x y z

xyz

   hoặcx y z  33 xyz

Ví dụ 1: Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng

a b b c c a        8abc

Giải

Ta có a b 2 ab Đẳng thức xảy ra khi a b

2

b c  bc Đẳng thức xảy ra khi b c

2

c a  ca Đẳng thức xảy ra khi c a Suy ra:a b b c c a        8 ab bc ca 8abc

Đẳng thức xảy ra khi a b c  hay tan giác đó đều

Ví dụ 2: Chox Tìm GTNN của hàm số 0 y x 1

x

  Giải

Ta có   thì x 0 x 1 2 x.1 2

   Đẳng thức xảy ra khi 1 2

1

x

     vì x 1 x0 Vậy Minx0y khi 12 x

Ví dụ 3: Tìm GTNN của hàm số 1 2

3x 3 x

Giải

x

 thì 3 ,3x 1 2 x đều dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có

3x 3 x 2 3 3x x 2 3 6 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1

2

x  x      x x x

Vậy Miny6 3 khi 1

2

Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số y 2x 12

x

  với x0 Giải

3 3

     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3

2

1

x

Vậy Minx0y khi 3 x1

Ví dụ 5: Cho o b a  Chứng minh rằng aa b b1  3

 Giải

Ta có  1     1  3   1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b b  a b b1  



2

1

1 1

a b b



Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ 5 bạn có suy nghĩ gì và có rút ra một kinh nghiệm nào không?

+ Lưu ý : kĩ thuật này áp dung trong các trường hợp:

1 Chứng minh BĐT dạng 

2 Trong bài toán tìm GTNN

3 Tách thành các số hạng sao cho sau khi sử dung BĐT thì các biểu thức khử nhau chỉ còn lại hằng số

BÀI TẬP



x  y z x y z

 

2 Chứng minh rằng

2 2

2 2 1

a

 Đẳng thức xảy ra khi nào?

3 Cho , ,a b c và 0 a b c  1.Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 8

        

      .

4 Cho , ,a b c và 0 a b c abc   Chứng minh rằng a b c  3 3

5 cho ,x y thỏa mãn 3y x  2 log 34 Tìm GTNN của T 4x y  13.42y 1

6 Tìm GTNN của hàm số sin2 os2

4 x 4c x

7 Cho ,a b và 0 a b 1 Chứng minh rằng 1 1 1 1 9

      

    .

8 Chứng minh rằng        3

3

1a 1b 1  c 1 abc a b c, ,  Đẳng thức xảy ra khi nào?.0

9 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 2a b c a    2b c a b    2c 8 a b b c c a       

10 Cho , ,a b c và 0 a b c  1.Chứng minh rằng 1a 1b 1 c 8 1a 1b 1 c

11 Chứng minh rằng      2

1a 1  b 1 ab a b, 0

12 Cho , ,x y z thỏa mãn 0 xyz  và n là số nguyên dương Chứng minh1

3

      

2 Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Sử dụng dạng

2

x y

; 3

3

x y z

Ví dụ 1:Cho , ,x y z  Chứng minh rằng xy0  yz  zx  x y z

Giải

Ta có

xy yz  zx        x y z

Đẳng thức xảy ra khi x y z

Ví dụ 2 Cho , ,a b c Chứng mnh rằng 0 13abc  31a 1b 1 c  *

Giải

Ta có  

           

3

1

abc

      3

3

Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1

1 a 1 b 1 c  a b c

     

3

3 3

1

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Do đó

           

3

1

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Vậy 13 abc 31a 1b 1c

Ví dụ 3: Tìm GTLN của hàm số 2 3

y x  x với 0 3

2

x

  Giải

3

y x  x x x  x      

( Chú ý : ta có

3 3

   ) Đẳng thức xảy ra khi x x  3 2x x 1

Vậy 3

0;

2

1

Maxy

 

 

 

 khi x1

Ví dụ 4: Tìm GTLN của hàm số y2x2 với 0x3  x 2

Giải

y x  x x x  x       

Đẳng thức xảy ra khi 4 2 4

3

x x   x x

Vậy

  0;2

32 Max

3

3

x

( Tại sao ta lại phân tích 2  1  

2 4 2

2

Tóm lược: Thường sử dụng kĩ thuật này trong

Chứng minh bất đẳng thức dạng  Tìm GTLN

BÀI TẬP

1 Chứng minh rằng c a c   c b c   ab   a c 0,b c 0

2 Cho , ,a b c và 0 a b c  1 Chứng minh rằng 16abc a b 

3.Cho , ,a b c o và a b c  1 Chứng minh rằng: abc a b b c c a         7298

4 Cho a, b, c là 3 số thực dương chứng minh rằng :

i)

           

3 2

ii)            

3 2

3 Kỹ thuật ghép đối xứng:

Để ý : 2 x y z         x y y z z x

     

2 2 2

, , 0

Ví dụ 1: Trong ABC chứng minh rằng  p a p b p c        18abc

Giải Trong tam giác thì p a p b p c ,  ,   nên ta có :0

 p a p b      p a p b  2  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p a p b2c     a b

Suy ra  p a p b p c        18abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  hay tam giác ABC đều.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng a b c 2 2 2 9 a b c, , 0  *

a b b c c a

Giải

Ta có  * 2a b c 1 1 1 9

a b b c c a

a b b c c a 1 1 1 9

a b b c c a

                Phần chứng minh còn lại dành cho bạn

Ví dụ 3: Chứng minh rằng bc ca ab a b c a b c, , 0

a  b  c     

Giải

Ta có bc ca 2c

a  b  Đẳng thức xảy ra khi a b

2

ca ab

a

b  c  Đẳng thức xảy ra khi b c

2

ab bc

b

c  a  Đẳng thức xảy ra khi c a Suy ra 2 bc ca ab 2a b c

      

bc ca ab

a b c

      Đẳng thức xảy ra khi a b c 

BÀI TẬP

1 Chứng minh rằng a b c 1 1 1 a b c, , 0

2 Chứng minh rằng

2 2 2

a b c

b c a   c b a  

3 Chứng minh rằng 12 12 12 a b c a b c, , 0

 

4 Kỹ thuật đổi biến:

Ví dụ mở đầu : Chứng minh rằng a b b c c a 6 a b c, , 0

Giải

Ta có a b b c c a a b b c c a a c c b b a 2 2 2 6

                       

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  Nhận xét: trong Ví dụ trên ta sử dụng tính chất a b a b

   bây giờ ngược lại nếu trong bất đẳng thức cần chứng minh có dạng c

a b thì liệu chúng ta có còn sử dụng được tính chất nêu trên nữa không?

Ví dụ 1: Chứng minh rằng 3 , , 0

2

a b c

Giải

Để vận dụng được tính chất nêu trên thì ta phải gói gọn mẫu thành 1 biểu thức (1 chữ cái) còn tử là tổng hoặc hiệu của những biểu thức tính theo mẫu Để làm việc này ta chỉ cần đặt như sau

Đặt

b c x

a b z

 

  

  

và bây giờ ta tính , ,a b c theo , , x y z Dễ thấy x y z  2a b c   Khi đó a x y z 2   b c x y z 2  x y z x 2

Tương tự ta tính được

2

z x y

,

2

x y z

Như vậy bất đẳng thức đã cho có thể viết lại 3

                  

y z z x x y 6

       Bất đẳng thức này vừa được chứng minh xong !

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

a b c

Giải

Đặt

2 , 0

, 0

2 , 0

2

y z a

z x

c



 



            

Bất đẳng thức đã cho được viết lại :

  2  2 2

x y z

y2 z2 z2 x2 x2 y2 2yz 2zx 2xy 4x y z

            Đến đây không khó để chứng minh

2

x y z

z  x  y    và y2 z2 z2 x2 x2 y2 2yz 2zx 2xy

x  x  y  y  z  z  x  y  z Từ đó suy ra điều

phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi x    y z a b c

Ngoài cách phân tích như trên ta có thể chứng minh như sau:

 

 

 

2

2

4

4

x y z



 



Ví dụ 3: Chứng minh rằng a b c, ,  và 0 abc1 ta có 2  2  2 

2

Giải Trong Ví dụ này với cách đặt như 2 ví dụ trên có lẽ không còn phù hợp Tuy nhiên để ý số 3

2 ta có liên

hệ gì với bất đẳng thức ở Ví dụ 1 không ? Trong Ví dụ 1 bằng cách đặt a 1,b 1,c 1

   và quy đồng biến đổi rút gọn ta được :       32

   vì bất đẳng thức này đúng với mọi , ,x y z nên ta 0

có thể ràng buộc thêm xyz để phát biểu thành bài toán mới 1 2  2  2 

3 2

2

Vậy để giải quyết bài toán trong Ví dụ 3 đầu tiên ta đổi biến a 1,b 1,c 1

   trong đó , ,x y z Khi đó 0

chứng minh bất đẳng thức cuối đã có ở Ví dụ 1

BÀI TẬP

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3a 4b 5c

   với , ,a b c0

2 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có 4

3

3 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có

2

b c c a a b

 

4 Cho , ,a b c thỏa mãn điều kiện 0 abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

5 Cho tam giác ABC chứng minh rằng : a b c 3

6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4a 9b 16c

b c a c a b a b c

      trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

7 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: ab bc ca 4p

   trong đó p là nửa chu vi.

5 Kỹ thuật cân bằng hệ số:

Ví dụ 1: Cho , ,a b c thỏa mãn 0 a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1

P a b c

a b c

     

Giải

Ta có a 1 2,b 1 2, c 1 2

      Suy ra P6 Vậy Min P6

Trong cách giải trên ta đã mắc sai lầm ở chỗ đẳng thức xảy ra khi a b c   và do đó 1 a b c   3 mâu thuẫn với giả thiết a b c  1

Cách giải đúng là :

Ta có 9a 1 6

a

  Đẳng thức xảy ra khi 9 1 1

3

a

   1

9b 6

b

  Đẳng thức xảy ra khi 9 1 1

3

b

   1

9c 6

c

  Đẳng thức xảy ra khi 9 1 1

3

c

  

Suy ra 9a b c 1 1 1 18 a b c 1 1 1 18 8a b c 10

                 Đẳng thức

xảy ra khi 1

3

3

a b c   Đến đây ta có thắc mắc làm thế nào tìm ra số 9 và áp dụng như trên? Để trả lời câu hỏi này ta có nhận xét: Vai trò của , ,a b c trong bài toán là như nhau nên dự đoán Min P xảy ra khi 1

3

giờ ta tiếp tục tìm hệ số 9 bằng cách sử dụng ma 1 2 m

a

  trong đó m là số dương sao cho đẳng thức

xảy ra khi

1

9 1

3

ma

a

 

 

Ví dụ 2: Cho , ,a b c0 ,a b c   Chứng minh 4 13 a  4b 1 4c 1 3 5

Giải Phân tích ta sẽ sử dụng dạng:

2

x y

Như vậy 4 1 1 4 1 1 4 1

2

 

đề là m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b c    Do đó ta sẽ tìm m sao cho 1

4a 1 m và a1, dễ thấy m5 là giá trị cần tìm Ta giải bài toán như sau:

Ta có 4 1 1 4 1 5 1 4 1 5 2 3

2

Đẳng thức xảy ra khi a1

2 3

4 1

5

b

Đẳng thức xảy ra khi b1

2 3

4 1

5

c

Đẳng thức xảy ra khi c1

Suy ra 4 1 4 1 4 1 2 3 2 3 2 3 3 5

Đẳng thức xảy ra khi a b c  1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu xy yz zx   thì 5 3x23y2 z2 10

Giải Phân tích: 2 2

2

    Đẳng thức xảy ra khi xy

2 2 2

    Đẳng thức xảy ra khi x2 z2

2 2 2

    Đẳng thức xảy ra khi y2 z2 Bây giờ ta cần chọn , ,   thỏa mãn

3

2 1

 



 

  



 

Giải hệ này ta được 1; 2; 1

2

      Ta trình bày lại cách giải : Ta có: 2 2

2

x y  xy Đẳng thức xảy ra khi xy

2 1 2

2

x  z  xz Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 2

2

2 1 2

2

y  z  yz Đẳng thức xảy ra khi 2 1 2

2 2

3x 3y  z 2 xy xz yz   Đẳng thức xảy ra khi 10 x y 1;z2

Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 47

12

x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3x24y25z2

Giải Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép 3x2 m 2 3mx trong đó m Tương tự0

2

4y  n 2 4n y; 5z2 p 2 5pz n p,  0

Suy ra 3x24y25z2 2 3mx2 4n y2 5pzm n p   Đến đây ta cần tìm , ,m n p sao cho

3m  4n  5pvà để ý đẳng thức xảy ra khi

2 2 2

3 4 5 47 12

x y z

 



 

   

Như thế ta tìm , ,m n p bằng cách giải hệ:

2 2

2 2

25 25

12

x y z

x y z

    

Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!!

BÀI TẬP

1 Cho , ,x y z0 ,x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 P 2x y z 3 1 1 1

       

2 Tìm giá trị lớn nhất của y 2x 3 5 2 x

3 Cho , ,x y z0, xy yz zx   Chứng minh rằng 1 10x210y2 z2 4

4 Cho a1,b Chứng minh rằng 1 a b 1 b a 1 ab

5 Cho , ,a b c0, a b c   Chứng minh rằng 1 a b  b c  c a  6

6 Kỹ thuật ghép nhóm:

Trong phần này bạn phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản thường gặp và phải sử dụng được kỹ thuật cân bằng hệ số

Ví dụ 1: Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 a2 b2 c2 a b c

b  c  a    Giải

Ta có

2

2

a

b   Đẳng thức xảy ra khi a b 2

2

b

c   Đẳng thức xảy ra khi b c 2

2

c

a   Đẳng thức xảy ra khi c a Suy ra

2 2 2

b  c  a        b  c  a    Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 2: Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 3 3 3  

2 2 2 1

Giải

Ta có 3 1   2 2

a

 ( Hãy suy nghĩ vì sao có số

1

9 ? )

 

3

2

b



 

3

2

2

c



Đến đây không khó để chứng tỏ a2  b2 c2 ab bc ca  Do đó ta có điều cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 3: Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0        

2

a b c

Giải

3

3 3

a

3

a

mb n c a

dự đoán trong bài toán trên đẳng thức xảy ra khi a b c  nên    

3

1 2 1 4

m a

ma n a a

a a a

n

 

a



b



c



2 2 2

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

BÀI TẬP

1 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 a5 b5 c5 3 3 3

2 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 a3 b3 c3 2 2 2

3 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 a3 b3 c3 ab bc ca

4 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 a35 b53 c53 a3 b3 c3

5 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0

1 4

a b c

6 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0              

4

a b c

7 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 a23 b32 c32 a b c

c a b   

8 Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 2 2 2

2

b c c a a b

 

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKOVSKI Dạng 1:  2  2 2  2 2

 2  2 2 2  2 2 2

Ví dụ 1: Cho , ,a b c Chứng minh rằng 0 a b c 2 a2 b2 c2

b c c a a b

Giải

Ta có a c c a . b c b . c a c . b c

2 2 2

b c c a a b

a b c

b c c a a b

  Đẳng thức xảy ra khi a b c  Dạng 1 này có thể rìm thấy nhiều trong các sách tham khảo

Dạng 2: 2 2  2

a b



 

 với ,x y  còn a, b tùy ý Đẳng thức xảy ra khi 0 a b

Ví dụ 1: chứng minh rằng 2 2 2  2

a b c

 

  với , ,x y z0 Giải

Ta có 2 2 2  2 2  2

   Đẳng thức xảy ra khi

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có

2

b c c a a b

 

Giải

2

a b c

     Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng 1 1 1 9

x  y z x y z

  x y z, ,  0 Giải

1 1 1

 

    Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 4: Chứng minh rằng 3 , , 0

2

a b c

Giải

Ta có  

2

2

a b c

 

Mặt khác  2  

3

Ví dụ 5: Cho , ,a b c chứng minh rằng 0 1 1 1 1

Giải

1 1 1

 2 2 2 2

1 1 1

Công các bất đẳng thức lại ta được điều cần chứng minh

BÀI TẬP

1 Cho , ,a b c Chứng minh 0 a2 b2 c2 a b c

b  c  a   

2 Cho , ,a b c Chứng minh 0 a3 b3 c3 2 2 2

3 Cho , ,a b c Chứng minh 0 3 3 3 2 2 2

2

b c c a a b

 

4 Cho , ,a b c Chứng minh 0 1 1 1 1 1 1

Trên đây là những kỹ thuật thường gặp trong những bài toán đơn giản hy vọng rằng trong thời gian ngắn các em làm quen và áp dụng được vào các bài toán ( Chú ý một điều là đẳng thức xảy ra khi nào ? )

Chúc các em có một kỳ thi như ý !!!

Vì thời gian rất gấp nên tài liệu chắc chắn có nhiều chỗ không chính xác vì vậy các em lưu hành nội bộ không nên phổ biến rộng Có gì thắc mắc các em liên hệ qua YM : pkl_py