Ham so lien tuc (7)

Hàm số liên tục trên một khoảng.a Định nghĩa.. - Hàm số fx xác định trên khoảng a;b được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy.. Đồ thị của một hàm s

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BA BỂ

TỔ TOÁN – TIN

TIẾT: 66

HÀM SỐ LIÊN TỤC

O

y

x

O

y

x

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1.

f x







 

1

lim





1

lim



Ví dụ 2 Cho hàm số

1 1

x f x x f x f

 

   f x  liªn tôc t¹i x 1

1 1

x f x x f x

 

  f x  gi¸n ®o¹n t¹i x 1

Bài giải

1





1



KIỂM TRA BÀI CŨ

2 Hàm số liên tục trên một khoảng.

a) Định nghĩa.

- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy.

Chú ý. Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó

b) Một số định lý về hàm số liên tục.

Định lí 1. Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó.

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục tại x0 khi đó:

         

g x

Tóm tắt định lí

x a f x f a x b f x f b

- Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu

nó liên tục trên khoảng (a;b) và

Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau.

2

a y  x  x 

a) TXĐ D R

Vậy hàm số liên tục trên D=.

Định lí 2. Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng.

2

)

1

x

 





b) TXĐ D R \ 1 

Vậy hàm số liên tục trên D={1}.

c y  x 

2

D   k k  

Bài giải

Vậy hàm số liên tục trên \ ,

2

D    k k 

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.

f x







 

1, + Khi x  ta cã f x 

  1,

Khi x ta cã f x

 

 Khi  ta cã a 2

 

1

lim



1

lim



Ví dụ 2 Cho hàm số

1 1

x f x x f x f

 

   f x  liªn tôc t¹i x 1

1 1

x f x x f x

 

  f x  gi¸n ®o¹n t¹i x 1

Vậy + Nếu a=-1 thì f(x) liên tục trên toàn trục số.

  ,1  1, .

Bài giải

2

ax  nªn hµm sè liªn tôc

x   x hµm sè còng liªn tôc

1





1





  1

+ Nếu a≠-1 thì f(x) liên tục trên

Định lí 3. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó.

O

y

x

a

b

m M

1) x x1, 2 a b; :  x  a b; cã  f x 1 f x  f x 2

Đặt: m = f(x 1 ) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [a;b].

M = f(x 2 ) là giá trị lớn nhất của f(x) trên [a;b].

2) Mọi L thoả mãn m ≤ L ≤ M,  c  a b f c; :   L

min max

min max

/ ;

;

f x lt a b



 

 Tóm tắt định lí

L

Hệ quả. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b) sao cho f(c) = 0.

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) <

0

/ ;

f x lt a b

f a f b









f(b)

f(a)

x

y

O

a

b A

B

Tóm tắt hệ quả

thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b).

Ví dụ Chứng minh rằng phương trình

f(x) = x 5 + x - 1 = 0

có nghiệm trong khoảng (-1;1)

Giải

TXĐ của hàm số f(x) D = 

f(-1) = -3, F(-1).f(1) = -3 < 0.

Vậy phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (-1;1)

f(1) = 1

Bài tập 1 Cho phương trình:

f(x) = 2x3 – 3x – 2 = 0

Trong các khoảng sau, khoảng nào phương trình trên có nghiệm

A) (-2;-1) B) (-1;0) C) (0;1) D) (1;2)

Bài tập 2 Cho phương trình:

Trong các khoảng sau, khoảng nào phương trình trên có nghiệm A) (-1;0) B) (-3;-2) C) (0;1) D) (2;3)

 

3 2 2

f x



Chú ý. Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục tại x0 khi đó:

         

g x

Định lí 2. Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng.

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0thì phương trình f(x) = 0

có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b).

Giải Hàm số xác định trên R

 

1

lim

x f x

 

2 1

1 lim

1

x

x x









1

lim

1

x

x





1

x x

  2

 1

Mà

2

1

x f x f

2

1

x f x f

Vậy:

b) Vớ dụ

 

2

0

1

1 1

1

1

nếu 1) Cho hàm số

nếu ( là hằng số) Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại

x

x

x

 





 



y

a = 2

x y

a ≠ 2