Ebook toán cao cấp (dùng cho đào tạo bác sĩ đa khoa) phần 2 TS hoàng minh hằng (chủ biên)

Áp dụng được các phương pháp tính tích phân bất định: phương pháp đổi biến uà phương pháp tích phân từng phân để tính được tích phân.. Tích phân bất định sùa ham fx xác định trên khoảng

Chương III TÍCH PHÂN

Bài 1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1 Trình bày được định nghĩa tích phân bất định, các tính chất của tích phân bất định

2 Áp dụng được các phương pháp tính tích phân bất định: phương pháp đổi biến uà phương pháp tích phân từng phân để tính được tích phân

3 Tính được tích phân của phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác uà hàm uô tỷ

1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Trong chương trước chúng ta đã biết rằng, nếu một ham sé f(x) kha vi trong khoảng (a h) thì có đạo hàm trong (a, b) và có thể tính được đạo hàm f(x) của nó Bây giờ ta xét bài toán ngược lại nếu cho trước một hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b), hỏi có tổn tại hay không một hàm số F() khả vi trong khoảng (a, b)

2) G(x) = 3 “3° +x la nguyén ham cua g(x) = 4x*-x+1ltrén R

3) H(x) = ~$ cos 2x la nguyén ham cua h(x) = sin2x trén R

Tích phân bất định sùa ham f(x) xác định trên khoảng (a, b) là họ tất cả các

nguyên hàm của nó trên (a, b) và được ký hiệu là Jfœdx

Jf(dx = F(x) +C,

trong dé: F(x) là mét nguyén ham cua f(x) hay F'(x) = f(x);

122

C là một hằng số tuỳ ý

Ký hiệu [ : dấu tích phân;

X : biến lấy tích phân;

f&) : hàm số đưới đấu tích phân;

f(x)dx : biểu thức dưới dấu tích phân

1.5 Định lý về sự tồn tại của nguyên hàm

Mọi hàm số f(x) liên tục trên la, b} đều có nguyên hàm hay tích phân bất định

5) Je%dx =e*+C

a*

6) Ja*dx =1 + (0<a#zl]l)

na 7) Jcosxdx =sinx+C

Ví dụ 1: J@x° 8x” + x+ 8)dx = 2 |xỗdx — 8 [x°dx + [xdx +3 fdx

2 1,6 -x? +*_43x4¢

Muốn tính tích phân bất định của một hàm số f(x), ta so sánh tích phân cần

tính với các tích phân cơ bản để thực biện các phép biến đổi thích hợp, sau đó đưa tích phân cần tính đó về dang tich phan cơ bản rồi áp dụng công thức

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

2.1 Phương pháp đổi biến số

Trong nhiều trường hợp, khi tính Jf(dx nếu để biến tích phân là x thì không thấy ngay được tích phân cần tính đó gắn với dạng tích phân cơ bản nào, nhưng

nếu thực hiện một số phép đổi biến thích hợp ta có thể đưa nó về dạng tích phân

9.12 Đối biến số dang 2: t =¥ (x)

Ta có thể thực hiện phép đối biến t = #{x) thi dt = ’ (x)dx va khi đó tích phân cần tính trở thành:

Tương tự ta cũng chứng minh được tích phân:

[udv “= UV— [vdu

Quy tắc lấy tích phân từng phần này chuyển việc lấy tích phân của biểu thức udv = uv' dx về tích phân của vdu = vưdx mà ở đó tích phân của vdu dễ tìm hơn Những dạng tích phân sau đây thường dùng quy tắc lấy tích phân từng phần:

fx* In™ xdx, Jx* sin bxdx, Jx* cos bxdx, [xe *dx, "

x2e*= _ +bx+c)+ c| = e* (ax? + bx +c) +e*(2ax +b)

=e* | ax? +(2a+b)x+(b+ ©) |

Dùng cách cân bằng hệ số, suy ra:

a=1;b=-2;c=2

Vay T= fx? e*dx = e*(x2~2x+92)+Œ,

127

3 TICH PHAN CAC PHAN THUC HUU TY

8.1 Tích phân phân thức đơn giản

a2 kel 2a2 (t?+a2» a? r 2a? (t2 +a2)*

Áp dụng công thức tích phân từng phần với:

u=t=du=dt; dv= al (¢? +a2 yk] =v=(t2+a2y'k

Công thức tính I, (3.1.4) được gọi là công thức truy hôi Sồ dĩ gọi là công thức truy hồi vì áp đụng công thức này tính ly, ta lại đưa về tính I,.¡ (thấp hơn 1 bậc), tinh I,_, qua I,-», Do dé sau Œ — 1) lần hên tếp dùng công thức (3.1.4) sẽ đi tới

tích phân quen thuộc l¡ sau:

I, = f aot 5 = aretgt +c (3.1.5)

t +a a a

Để trở về biến x, trong kết quả ta thay t=x+ 2

Như vậy, ta đã tính được tích phân của các phân thức đơn giản

t _ 2a?(t? + a“) 2a3

3.2.1 Phân thức thực sự uà phần thức đơn giản

Xét phân thức hữu ty:

Nếu là phân thức không thực sự thì bằng cách chia tử cho mẫu bao giờ

Việc lấy tích phân phân thức hữu tỷ sẽ được quy về việc lấy tích phân bến

dạng phân thức đơn giản đã xét ở trên nhờ định lý sau

3.2.2 Dinh ly

Moi da thitc bac n, véi hé s6 thuc Q(x) = ap + ax + + a,x", a, # 0 đều có thể

phân tích thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai không

có nghiệm thực, trong đó có thể có những thừa số trùng nhau:

(x? tlxts) (x2+/x+s)9! x°+ix+s trong dé: A,Ai P.,_¡,Q/_¡ là các hằng số được xác định theo phương pháp hệ số bất định mà chúng ta sẽ giới thiệu qua các vi dụ dưới đây

3.2.8 Một số uí dụ uề tích phân các phân thức bữu tỷ

Ví dụ 1: Tính1= pete TY c2 1 x

x2+1 Giỏi: Ta có:

1 1 1

Nghiệm của hệ phương trình trên là: A =-—1,B=0,C= 3° D= 3) E= 3°

Ta da phan tich ham dưới dấu tích phân thành tổng của các phần thức đơn giản

Vì phân tích trên là đồng nhất thức, phân thức đó đúng với mọi giá tri cha x,

nên để tính hệ số A chẳng hạn, ta nhân cả hai vế với x — 1, được:

1

+————+C

2(x+1)ˆ

Giải: Để tính tích phân trên ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định dé

phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành các phân thức đơn giản

136

Ta có thể biểu diễn

Xx -3x =4 (x“+1)(x 4) (x2 +1)(x— Q(x +2) x74] X+ X—- 3

rồi dùng các cách đã giới thiệu dé tinh A, B, C, D Tuy nhién, cé thể dùng cách

thêm bớt vào tử số để đi đến kết quả nhanh hơn:

4 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC

Giả sử cần tính tích phân l = [R@in x,cosx)dx, trong đó Ríu, v) là một biểu thức hữu tỷ đối với u, v (u = sinx; v = cosx)

4.1 Phương pháp chung để tính tích phân [R(sinx,cos x)dx

=—Ì—3 — ;rotg iva, +C =arctg iva g~ +C

Trong một số trường hợp đặc biệt, nếu áp dụng phương pháp chung nói trên có

thể đưa đến tích phân của các hàm hữu tỷ phức tạp Trong khi đó ta có thể đi đến

kết quả nhanh hơn bằng các phép biến đổi thích hợp

4.2 Một số trường hợp đặc biệt

4.2.1 Một số trường hợp đặc biệt của R(sinx, cosx)

Trường hợp 1: Nếu Rinx, cosx) là hàm chắn đối với sinx và cosx,

tức là R(Csinx, —cosx) = R(sinx, cosx) thi dat t = tgx hoặc t.= cotgx Trường hợp 2: Nếu R(sinx, cosx) là ham lẻ đối với cosx,

tức là R(sinx, —-cosx) = -R(sinx, cosx) thi đặt t = sinx

Trường hợp 3: Nếu R(sinx, cosx) là hàm lẻ đối với sinx,

tức là R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx

Ví dụ 1: Tính 1= Í— ox =—

g§n“ x + 2sI1n X cOS X — CO8“ X

Giđi: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chấn đối với sinx, cosx nên ta đặt

Trường hợp 3: m, n chăn và đều dương thì có thể dùng các công thức sau để

biến đổi hàm dưới đấu tích phân:

sin” x = sũ — cos 2x), cos” x = 2q + cos 2x), sin xcOSx = sein 2x

Vi du: TinhI = |sin? xcos’ x dx

1) cos(ax) cos(bx) = sleos(a + b)x + cos(a — b)x]

2) sin(ax)sin(bx) = sleos(a ¬ b)x - cos(a + b)x|

3) sin(ax)cos(bx) = [sina +b)x + sin(a - b)x]

Vi du 1: Tính Í= [sin 2x cos 5x dx,

T= s [sine +5)x + sin(2 - 5)x] dx = | [sin Txdx — [sin 3xdx |

= 4 cos 7x +t cos3x+C _ 008 3X _ Co§ ÍX + 14 6 14

Vi du 2: Tinh I= Jcos X COS 5 cos~ dx,

I =1 Ỉ cos OX +c0s—~ cos~ dx = 1 [cos 3x cos x dx+ [cos x cos x dx

5 TICH PHAN MOT SO HAM VO TY

Khi tính tích phân các hàm vô tỷ ta thường dùng phép đổi biến thích hợp để

đưa tích phân đã cho về dạng tích phân hàm hữu tỷ, tức là "hữu tỷ hoá" tích phân

đã cho Ở đây ta chỉ xét một số dạng đơn giản

=4 In(t? +1)-8arctet+C=4 In(x +1)— 8arctg Ÿx+C

5.2 Dang [Re vax2 +bx+e) dx với a #0; a, b, c là hằng số

Xét tam thức bậc hai dưới dấu căn, ta có:

a) Nếu bể - 4ac > 0 thì:

Vax? +bx+e=Va Vu? —a? khi a > 0;

Vax? +bx+e=J—a Va? -v? khia<0O

Còn khi a < 0 thì tam thức bậc hai dưới căn luôn âm (biểu thức vô nghĩa) Như

vậy, ta đã đưa tích phân trên về một trong ba dạng tích phân sau:

[Ri (V2 +u2)đu, đặt u=atet;

[Ro(u, Ve? - v2 )du, dat u=asint;

[Ra(u,vu? a" )du, dat u=

T= [acest cos? ty -a[t-sm 9 sin? t) at =a fe dt — a [sin tat

5.3 Một số tích phân dạng vô tỷ có thể dùng phương pháp đổi biến theo các hàm hypecbol

Từ đạo hàm của các hàm hypecbol đã biết ở chương IT ta có:

Jshxdx = chx +: Íchxdx =sh::- Ở;

[Se = thx +6; J ax =~cothx+C

Trong một số trường hợp, có thể dùng phương pháp đổi biến số theo các hàm

hypecbol để tính các tích phân dạng vô tỷ

dx Gidi: Déi bién x = a sht => dx = achtdt

© ae?'_-2xel-a=0 © et=Š= xa

a

X x? +a" 1 2 3 Vie! > Onén t = In| — + ——_ | = In —4+ In] x + Vx’ +a |

Bài 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1 Trình bày được định nghĩa tích phân xác định bằng cách lập tổng S„

tính giới hạn uà ý nghĩa hình học của tích phân xác định

2 Áp dụng được các phương pháp tính tích phân xác định: công thức Neuton —Leibnitz, phương pháp đổi biến va phương pháp tích phân từng phan dé tinh tich phan

3 Tinh gan ding duge tich phan xde dinh bằng phương pháp hình thang

uà phương pháp Simpson

1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1.1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x), xác định và liên tục trên đoạn [a, b], ngoài ra giả sử ÍŒ) không âm trên {a, bị, Xét hình thang cong AablB là hình giới hạn bởi để thị của ham sé f(x) trén [a, b]; các đường thang x = a,x = b va truc hoanh Ox (hinh 3.1)

Các điểm chia x, (i = 0 1, , n) due chon tuỳ ý, tuân theo thứ tự tăng dần và

điểm đầu xụ trùng với a, điểm cuối x, trung véi b TY cdc diém chia x, (i= 1, n-1)

ta dựng các đường x = x,, như thế ta đã chia hình thang cong AabB thành n hình

thang cong nho P_,x;_)xP, (i = 1, n ) Mỗi hình thang cong nhỏ có đáy là

Ax; =X; -xX;_; G= 1, n) Trên mỗi đoạn [x:-;, x,] lấy một điểm tuỳ ý š; khi đó tung

độ y; ứng với hoành độ š, là y¡ = f(,)

Nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ [x;_¡, x;] ta đựng một hình chữ nhật có kích thước là

cong nho P._,x;_;x;P; (i= 1, n) Ta thay rằng, điện tích hình bậc thang sai khác với

diện tích hình thang cong AabB càng nhỏ nếu n càng lớn và các Ax; càng nhỏ Do

đó người ta định nghĩa diện tích hình thang cong AabB như sau:

Nếu tổng (3.2.1) dần tới một giới hạn xác định § khi n -> œ sao cho

max Ax; >0 thì S được gọi là diện tích của hình thang cong AabB

lsisn

Vậy diện tích của hình thang cong AabB là:

n

S= lm » f(E; )ÄX; max Ax, 3057)

150

Ö đây: — [a,b]: đoạn lấy tích phân; a: cận dưới;

b: cận trên; x: biến lấy tích phân;

f: hàm số lấy tích phân; f(x)dx: biểu thức dưới dấu tích phân

a

của tích phân xác định

151

1.3 Đấu hiệu khả tích của một số hàm quen thuộc

Sau khi định nghĩa về tích phân xác định, một vấn đề đặt ra là: Những hàm nào thì khả tích trên đoạn [a, b]? Vấn đề đó được khẳng định bởi định lý sau:

1.8.1 Định lý 1

Néu f(x) lién tuc trén [a, b] thi f(x) kha tich trén [a, b]

Chu ¥: Dinh ly trén cho ta mét diéu kién du dé ham f(x) kha tich trén [a, b] Dé không phải là một điều kiện cần Một hàm khả tích trên [a, b} thì không nhất thiết

hiên tục trên đoạn đó

Người ta cũng chứng mính được rằng, nếu f(x) có một điểm gián đoạn loại I

x =c trên {a, b] thì nó khả tích trên đoạn ấy và ta có:

[fCGdx = ÍfG)dx+ [f@)dx yf

Ý nghĩa hình học của mệnh đề là diện tích

hình thang cong ứng với hàm f(x) có điểm gián

đoạn loại I tại x = c bằng tổng diện tích các

hình thang cong aAC,c và cC¿„Bb (hình 3.3)

b d) Néum< f(x) <M, xe [a, b] > m(b-a) < [f(x)dx < MO ~ a)

Tính chát 4: Định lý uề giá trị trung bình

Nếu f(x) liên tục trên đoạn {a, b] thì trên đoạn đó có ít nhất một điểm E sao cho

b

[fGdx =f()(b-a)

a

Chitng minh: Vi f(x) biên tục trên [a, b] nên ta có m và M là các giá trị bé nhất

và lớn nhất của hàm f(Œ) trên đoạn đó

153

f(x) > 0 trén [a, b] Ý nghĩa bình học của định lý về Dc B

giá trị trung bình là: Trên cung AB bao giờ cũng có E

ít nhất một điểm € có hoành độ x = š (a < š < b) sao A

cho diện tích hình chữ nhật aDEb đúng bằng diện

tích hình thang cong AabB (hình 3.4)

trong đó giới hạn của vế phải tổn tại không phụ thuộc vào cách chia [0, 1] và cách

lấy điểm &, Dé viéc tinh toán được dễ đàng, ta chia [0, 1] thành n đoạn nhỏ bằng

nhau và lấy các điểm š, là các đầu mút phải của mỗi đoạn nhỏ, khi đó ta có:

chọn điểm š; = x¡, có tổng tích phân là I„, do đó:

lim I, =I= | ` = arctgx|, =~

2 CONG THUC NEWTON - LEIBNITZ

2.1 Định lí cơ bản giữa nguyên bàm và tích phân xác định

Nếu f(x) khả tích trên [a, bị, f(x) cũng khả tích trong [a, x] với x e {a, b] Do đó

Chứng mình: Lấy x e (a, b), cho x một số gia Ax sao cho x + Ax e (a, b) Khi đó

Do đó ta có A® =fŒ)Ax hay = =fŒ) x

Cho Ax > 0, khi dé & - x va vi f(x) lién tuc tai x nên fŒ) —> f() Do đó ta có:

lim ^“ - lim £(#) = (x)

Ax30 Ax E-—»x

Điều này chứng tô rằng, ®(x) có đạo hàm tại x va ®'(x) = f(x)

Mặt khác, tại các mút x = a, x = b cũng chứng minh tương tự như trên ta được:

®t(a + 0) = f(a); ®'(b - 0) = f(b)

Vay tại mọi điểm x e {a, b] ta đều có: ®*x) = f(x)

Từ định lý trên ta suy ra ngay hệ quả sau

Hé qua: Moi hàm liên tục trên [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó

2.2 Công thức Newton - Leibnitz

Định lý: Nếu fx) liên tục trên đoạn [a, b] uò F(x) là một nguyên hàm của nó

trong đoạn đó thì

b

Đẳng thức (3.2.3) được gọi là công thức Newton — Leibnitz

Chứng minh: Theo giả thiết, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a, b] va theo hệ quả trên thì

®(x) = Jte)át

a

cũng là một nguyên ham cua f(x) trén [a, b]

156

Do dé F(x) va ®(x) chỉ khác nhau một hằng số cộng, tức là: ®(x) = FŒœ) + Œ

Để xác định hằng số C, cho x= a ta có: ®(a) = F(a) + C

Nhưng ®(a) = [f(t)dt = 0, do d6 C = -F(a) Vậy

Vay Jf&dx = F(b) - F(a)

Người ta thuong ky hiéu F(b) - F(a) bang F@), như vậy công thức Newton — Leibnitz được viết thành

8 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

3.1 Phương pháp đổi biến trong tích phân xác định

Tương tự tích phân bất định, trong tích phân xác định người ta cũng dùng các

phép đổi biến thích hợp để tính tích phân

3.1.1 Đối biến số dạng 1: x = oft)

Định lý: Xét tích phân |f(x)dx, vdi f lién tuc trong [a, b] Giả sử thực hiện

phép đổi biến + = g1) thoả mãn:

1) 1) có đạo hàm liên tục trong lơ, 8l;

aa 2 [f(x)dx néu f(x)la ham chan

Thật vậy, theo tính chất của tích phân xác định ta có:

| f(x)dx = | f(x)dx + [reo

~a —=ã

0 Trong tích phân thứ nhất ở vế phải Iị = [f(@)dx, đổi biến x = -t ta có:

Nếu phép đổi biến t = {x) thoả mãn:

1) {x) biến thiên đơn điệu trên la, b} uà có đạo hàm liên tục;

2) fx)dx trở thành g(0dit, trong đó g() là một hàm số liên tục trong khoảng

Gidi: Đôi biến € = cosx, hàm số t = cosx đơn điệu trên ÍO, 21

Khix=0O0=t= 1, khi x= 2 =>†t= O; dt = -sinxdx