Ebook toán cao cấp (dùng cho đào tạo bác sĩ đa khoa) phần 1 TS hoàng minh hằng (chủ biên)

Ma trận tam giác là ma trận mà tất cả các phần tử ở phía trên hoặc phía dưới của đường chéo chính đều bằng không.. Trình bày được khái niệm uê định thúc uà các tính chất của định thức..

UNG CHO BAO TAO BAC Si DA KHOA)

Chu bién : TS HOANG MINH HANG

BỘ Y TẾ

TOÁN CAO CAP

(DUNG CHO DAO TAO BAC SI DA KHOA)

Ma sé& D.01.X.01

NHA XUAT BAN GIAO DUC

HÀ NỘI - 2008

Chỉ đạo biên soạn:

VỤ KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO - BỘ Y TẾ

Chu biên:

TS HOANG MINH HANG Nhưng người biên soạn:

TS HOANG MINH HANG

ThS NGO BICH NGUYET

CN CAO CHU TOAN Thu ky bién soan:

Th5 NGÔ BÍCH NGUYỆT Tham gia tổ chức bản thảo:

Ths PHI VAN THÂM

TS NGUYEN MANH PHA

© Bản quyền thuộc Bộ Y tế (Vụ Khoa học và Đào tao)

Loi qiới thiệu

Thực hiện một số điều của Luật Giáo dục Bộ Giáo dục & Đảo tạo và Bộ Y tế

đã ban hành chương trình khung đào tạo Bác sĩ đa khoa Bộ Y tế tổ chức biên soạn

tài liệu dạy - học các mân cơ sở và chuyên môn theo chương trình trên nhằm từng

bước xây dựng bộ sách đạt chuẩn chuyên môn trong công tác đảo tạo nhân lực

ytế

Sách TOÁN CAO CAP duoc biên soạn dựa vào chương trình giáo dục của Trường Đại học Y Hà Nội trên cơ sở chương trình khung đã được phê duyệt Sách được các tác giả 1S Hoàng Minh Hằng, 7hS Ngô Bích Nguyệt CN Cao Chu Toàn biên soạn theo phương châm: kiến thức cơ bản, hệ thông; nội dung chính xác, khoa học cập nhật các tiến bộ khoa học, kỷ thuật hiện đại và thực tiên Việt Nam

Sách TOÁN CAO CẤP đã được Hội đồng chuyên môn thấm định sách và tài

liệu dạy - học chuyên ngành Bác sĩ đa khoa của Bộ Y tế thấm định năm 2007 Bộ Y

tế quyết định ban hành là tài liệu dạy - học đạt chuẩn chuyên môn của ngành

trong giai đoạn hiện nay Trong thời gian từ 3 đến 5 năm, sách phải được chính lý,

bổ sung và cập nhật

Bộ Y tế xin chân thành cảm ơn các tác giả và Hội đồng chuyên môn thấm định

đã giúp hoàn thành cuốn sách, Cẩm ơn ThS Nguyễn Phan Dũng, TS Chu Văn Thọ

đã đọc và phản biện để cuốn sách sớm hoàn thành kịp thời phục vụ cho công tác

đào tạo nhân lực y tết

Lân đầu xuất bản sách khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi mong nhận được ý

kiến đóng góp của đồng nghiệp, các bạn sinh viên và các độc giả để lần xuất bản sau sách được hoản thiện hơn

VỤ KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO - BỘ Y TẾ

Loi ndi đầu

Toán học là môn khoa học tự nhiên có mat trong rat nhiéu linh vuc

khoa học, bao gồm cả trong lĩnh vực nghiên cứu sinh, y học

Trong khuôn khổ chuyên ngành y, bộ môn Toán - Trường Đại học Y

Hà Nội đã giảng dạy Toán cao cấp trong nhiều năm cho sinh viên với mong muốn cung cấp các kiến thức cơ bản, cơ sở Toán thống kê cho các nghiên cứu ung dung sau nay

Cuốn sách bao gồm các kiến thức về đại số; giải tích và mỌỘt số bài toán

ứng dụng trong sinh, y học với thời lượng 42 tiết

Cuốn sách là tài liêu dành cho sinh viên trường y và sính viên các chuyên ngành ứng dụng sinh, y học khác và có thể làm tài liệu tham khảo cho các cán bộ giảng dạy và nghiên cứu trong linh vuc sinh, y hoc

Trong quá trình biên soạn chúng tôi đã nhận được nhiều ý kiến quý

báu của CN Đỗ Như Cương, TS Đặng Đức Hậu nguyên Trưởng bộ môn Toán - Trường Đại học Y Hà Nội Ngoài ra, chúng tôi cũng nhận được sự

đóng góp ý kiến và giúp đỡ về kỹ thuật ví tính của các đồng nghiệp trong

bộ môn Tuy nhiên cuốn sách khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tôi mong nhận được các ý kiên đóng góp của bạn đọc và đồng nghiệp

CÁC TÁC GIẢ

Bài tập lượng giá c c n nnnnnnncn 2< Tá ty to tk KH 37

Hệ phương trình tuyên tính k1 1 tk kn HH HH nh Thy ky 39

1 Khái niệm hạng của ma trận L0 02222212220 11v kg tk 39

2 Hệ phương trình tuyến tính cuc c2 HH ng HH HH kh ky ch 42

3 Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính tổng quát có nghiệm 44

4 Phương pháp trụ xoay GaUSS ch nh nn như ninh ch 51

SF) =) om [610] a] 6 |= .ố.ố 54

Chuong II HAM SO, DAO HAM, VI PHAN - UNG DUNG IIEliF-rddtdỎỎỐỔ 56

1 Định nghĩa .- - SH HH 1211111221221 1v 1k hư KH KH HT hệt 56

2 Hàm ngược, đồ thị của NAM NGUIC oo.cceccccceeseesescsecssssasssssesecsetesseesarereratees 57

3 Hàm số sơ cấp cơ bản, hàm số sơ cấp . - Là St nhe ee 60

Bài tập lượng giá - - LH nn HS SH TT TT HH hy sự g2 và 62

1 Định nghĩa đạo hàm L Q.2 2n nén 22T 11 ky két 64

Bài tập lượng giá ccc c0 2 11H ng TT ng Hà HT tr 79

Một số tính chất của hàm khả vi - - Ác k3 SH S111 ng TH ng HH tru 82

I2) 0 0n 8 aáÍ 82

5 Dinh ly Taylor (công thức TaVÌOY) cu uc nề HH ng TH HH TT nh se keh 86

6, Định lý L'Hospiftall - c ch SSn SH SE < Hs ng HH L nen ghi ru 93 Bai tap IUGNG Gia ou .4aA n.-addădđXTF,E, 97

Hàm hai biến —~ Phương pháp bình phương bé nhất - - 22 222cc sSẰ 99

1 Hàm hai biến - L QS HH TH HT HH ng KHE HT ki T*nT kkekcta 99

2 Phương pháp bình phương bé nhất c c cS cà tcnererrrryei 105

Tích phân bất định Ác ng HH HH ng ngành ri 121

1 Nguyên hàm và tích phân bất định .- c2 22 cccc tr eissserves 121

2 Các phương pháp tính tích phân .- QQQ SH sn ng reo 124

3 Tích phân các phân thức hữu tỷ ĂL 1112 2H g2 nghi 128

4 Tích phân một số hàm lượng giác .- -: - 55 22-1 S2 Errrsrrree 137

5 Tích phân một số hàm Vô tỷ ch n HH2 nh nh HH nhu 142

Tích phân suy rộng ch nh nnn nén Hà kh HH HH tt hờ 170

1 Khoảng lấy tích phân là vô hạn - càng ánh kg ri 170

2 Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực

trong khoảng lấy tích phân - Q.11 11211121 ng ng ng nreệg 174

Bài tập lượng giá cccn c2 2 121210122 1111k HH TT ke vn re 177

Chương IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ~ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ỨNG DỤNG

Khái niệm mở đầu - - Q- Q22 222 21110121112111 11111 HH TY TK KT KH kg 178

1 Bài toán đưa đến phương trình vi phân - Q1 Tnhh ve 178

2 Định nghìa phương trình vi phân -L- Tnhh hư 179

Bail Phương trình vi phân cấp 4 -cc ch ng HH hy Hưng 180

1 Tổng quát về phương trình vi phân cấp 1 co ccẶc 2S 22s, 180

"50 e0 10,400), 00 .< 182

3 Phương trình vi phân có biên phân ly ác cà như nhà re 182

4 Phuong trinh dang Cap CAP Voc cccescceceecscccecsvscserstscasevestsvsesevsesesecentennsnes 184

5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ooo cece cece cceceseeevsasensuvettesavenees 186

6 Phương trình BecnulÌ - v S2 111g nh TH TH ki 189

si ¡000,03 Is0›)/-0 177 191

1 Tổng quát về phương trình vi phân cấp hai G22 192

2 Phương trinh vi phan tuyén tinh CAp 2 oo c ccc ccceseceecetevsereesaretsssateeceecsees 194

3 Phương trình tuyến tính cấp 2 có hệ số khong dGi oo cece cece So 498 Bài tập lượng giá " 203

Bài 3 Phương trình vi phân ứng dụng - - c2 222121 11 2n HT ng HH gà khen 205

1 Phương trình phát triển vì khuẩn (hoặc tế bào) . - 5s srnrrrereei 205

2 Phương trình phát triển dịch -.- - Đ- 2211110212 1101101 12 x22 1t rrei 207

3 Phương trình phát triển dân số của quần thể biệt lập So 210

4 Phương trình phát triển dân số của quần thể không biệt lập 216

b0 -sÁ/HadỔỔẢỔẢỐỔỔỔ 222

Bài tập lượng giá SH nh HH ng ng Làn gà tk in ch kg 225

BÀI TẬP

Chương I Ma tran - định thức - hệ phương trình tuyến tính .- : <x sex 228

Chương II Hàm số, đạo hàm, vi phân ~- ứng dụng . -cccccccc+S si SSvse r2 231

Chương IV Phương trình vi phan — phương trình ví phân ứng dụng . - 238

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1 Trình bày được định nghĩa ma trận va khdi niệm các dạng ma trận

3 Thực hiện được các phép toán trên ma trận

1 KHÁI NIỆM MA TRẬN

Khi có m x n số ta có thể xếp thành một bảng chữ nhật gồm m hàng và n cột 1.1 Định nghĩa

Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột biểu diễn dưới dạng

[An tí Bag «+ An

ac Ags a see ably;

Amt m3 Ams + Amn

được gọi là ma trán cã m x n, trong dé aye R 1a phan tt nam 6 hangi, cétj

Ma tran bhông Ìlà ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không

Ký hiệu là O = [O] nen

000 0 Vidu: A=

Ma trận A và B được gọi là hai ma trận đối nhau nếu chúng có cùng cỡ và các

phần tử cùng vị trí có giá trị đối nhau

Ma trận đối của A được ký hiệu là -A Ta có:

1Ô

Các phần tử a¡ với 1 = j gọi là phần tử chéo

Ma trận tam giác là ma trận mà tất cả các phần tử ở phía trên hoặc phía dưới

của đường chéo chính đều bằng không Có hai loại ma trận tam giác là ma trận tam giác trên và ma trận tam giúc dưới

441 312 313 +) Ain

O agg A93 Bạn B=| 0 0Ô agg an | là ma trận tam giác trên

Ant 8n2 ng ann

Néu aj; = , m ) thi A là ma trận đường chéo

0, néul # } Vay A cé dang:

11

0 2; 0 0 ho 0 A=l0 0 Ag QO |, hay viét gon A= Ae

Tổng của hai ma trận A va B la ma tran cỡ m x n được xác định bởi:

A+B= fay + Dylm xn:

Cho ma tran A = [aj),, x » VA kéR Tich ma tran A véi k là ma trận kA co

m x n và được xác định bởi: kA = [kai]m x n

Cho ma tran A = [ailmx p Va ma tran B = Ƒbuj], „ „ (số cot cha ma tran A bang

sé hang cua ma tran B)

Tich cua ma tran A va B la ma tran C, ky hiéu C = A.B (hay AB); C = [cj} nxn;

Chú ý:

- Ta có tích A.B nhưng chưa chắc có tích B.A Tức là muốn nhân A với B

(A bên trái, B bên phải) thì số cột của Á bằng số hàng của B, còn muốn nhân B với A (B bên trái, ÀA bên phải!) thì số cột của B bằng số hàng của A

- Nếu A, B đều là ma trận vuông cùng cấp thì bao giờ cũng có tích A.B hoặc

B.A nhưng chưa chắc A.B bằng B.A

Ví dụ 1: Cho

ala va B=|3 2

14 Khi đó:

—Ô |4x1l+ 1x3 + 9x1 4x2+1x2+2x4| |9 18

1x14+2x4 1x2+2x1 1x3+2x2 9 4 7 D=BA =|3x142x4 3x2+2x1 38x3+2x2|=|t11 8 13

A-|1 7] 24 vase! ? 5| >Ag-l° ° -1 3 0 0

Nhan thay A # O và B z O nhưng À.B = O

15

Cho ma trận A = [ai]„m.n, khi ta đổi hàng thành cột hoặc cột thành hàng ta

được ma trận mới gọi là mà trận chuyển uị của A Ký hiệu là Á', ma trận A' cĩ cỡ nxm,

Ví dụ:

-4 3 2

=> At = |

107 2x3 3x2

Bai2 ĐỊNH THỨC

MỤC TIÊU

Hoe xong bai nay sinh viên có khả năng:

1 Trình bày được khái niệm uê định thúc uà các tính chất của định thức

3 Thực hiện được các ph ương pháp tính định thúc

3 Trình bày được mỗi liên hệ giữa định thức uà ma trận

1 ĐỊNH THỨC

1.1 Ma trận con

Cho ma Lrận vuông cấp n:

Afi Bie BiB =» Bin

Ay, Agy Agz Ag A-l|zt 2z2 35a 9n

An Ang Ang Ông

Ta chú ý đến phần Lử Bị; nếu bỏ hàng 3, cột J ta thu được ma trận (n — 1) hàng

và (n - 1) cột tức là ta được ma trận cấp n— 1; ma trận này được gọi là mø trận con ứng với phần tử a¡;, ký hiệu là Mj

ayy địa địa

Vi du: Cho A-} ay, asy aạy | ta có 9 ma trận con cấp 2 ứng với 9 phần tit ay

(Sat Bae aaa của A là:

‘|

Mi | 22928 /, we, -[ 21 Bị Mu ~| 21 e|

y Lagi 83a Ay, a2

ajo a ay, Ay Ay, AD

Mại =| 12 | Mạa =| "1 li Mạ -| "8

ago Ag A31 833 431 Faz

19

Chú ý: Atq, Ats , ai là các phần tử nằm ở hàng 1 của ma tran A

Ta còn dùng Ì | (bai gạch đứng đặt ở hai bên) để ký hiệu một định thức

Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n

Từ bây giờ quy ước thay vì dùng det(A) ta dùng ký hiệu D„ cho định thức cấp n 1.2.2 Một 36 vi du

Ap dung dinh nghia tinh:

Nhận thấy: det(A) = 1; det(B) = -23; det(A.B) = —23

Vay: det(A.B) = det(A).det(B)

Thật vậy, tiếp tục biểu diễn các định thức của các ma tran My, My, May

theo công thức định nghĩa (1.2.1) ta sẽ có công thức (1.2.1) trùng với công thức (1.2.9), tức là ta có điều phải chứng minh

Khi viết được tất cả các hàng theo thứ tự ngược lại thì ta đã thực hiện

lần đổi chỗ và khi đó ta được định thức mới Dạ

2.3 Tinh chat 3

Khi có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì định thức bằng không

Thật vậy, giả sử định thức D có hai hàng như nhau, khi đổi chỗ hai hàng như

Vậy x =0; x = 1;x= 2; ;x=n- 9 là nghiệm của phương trình

Bạn đọc tự chứng minh ngoài tất cả các nghiệm trên thì phương trình không

có nghiệm nào khác

2.4 Tỉnh chất 4

1) đet(A) = (—1)1 [Ai det(M,; ) — ajo det(M,>) +,,,+ Qin det(M,,, )| (1.2.3)

hay: det(A) =(-1)'*'a;, det(M;,) + (-1)'*7a;9 det(M,.) + +(-1)'*"a,,, det(M,, ) 1

n 1

= 5 (1) aj det(M;;) ,1> 1, 2, eo T1

j=) (công thức khai triển định thức theo hàng thứ ì)

2) det(A) = (-1)!4) lau det(M,;) — 89) det(M;¡)+ + am det(M,,) | (1.2.4)

hay: det(A) =(-1)'*!a,;det(M,;) + (-1)*a9; det(M,;)+ +(-1)"Ja,, det(M,,)

= S1) )ay det(M,); j = 1, 2, ,n

i=l

(công thức khai triển định thức theo cột thứ j)

23

Aj, Aygta yo} | 411 312 „In 8 ”1a

Ao, a'gg+a"go| | 421 a’ga] |agy ago

=|b, c, +a, a] +] b, ¢, +a, by] + fe, cị a, t+by] + |e, ay ay t+by

bạ c+aa an bạ ca+aa¿ bạ Cy Cg aa +bạ Co Ag Ag tbo

Khi ta cộng bội b của một hàng uào một hàng khúc (hay cộng bội b của một cột

uào một cột khác) thì được một định thức mới bằng định thúc cũ

26

Ví dụ 1: Biến đổi định thức sau:

Tách mỗi định thức thành tổng hai định thức (áp dụng đối với cột 3) ta có định

thức có hai cột tỷ lệ với nhau nên định thức bằng 0

Tiếp tục tách mỗi định thức thành tổng hai định thức (áp dụng đối với cột 4) ta

có định thức có hai cột tỷ lệ với nhau nên định thức bằng 0

Vậy D= 0

Ví dụ 3: Chứng minh rằng định thức sau chia hết cho 17

2 0 4 D=|5 2 7

2 5 5

27

Giái: Nhận thấy, các số 204, 527, 255 chìa hết cho 17 nên ta nhân cột 1 với

100, nhân cột 2 với 10 và cộng vào cột 3, ta có:

2 0 204 2 0 12 D=|5 2 527/=17|5 2 31

Ví dụ 4: Không khai triển, tính định thức

b c a 1 D=| c a b 1

hay 3a1 a39 ag4 wee 0 =ãI] x B99 X Aga X., X Ann

Ani Âân2 4ng o> Ann

Thật vậy, dựa vào khai triển hàng 1 (hay cột 1) ta tiếp tục khai triển theo hàng 1 (hay cột 1) của định thức cấp con nhỏ dân

28

3 MA TRAN NGHICH DAO

3.1 Dinh nghia

Cho A la ma tran vuéng cap n Néu tôn tại ma trận vuông B cấp n sao cho

AB = BA =I thi ta néi A kha dao (A cé ma tran nghich dao) va B gọi là ma trận nghich dao của A

Ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A`Ì, ta có:

Nếu A là mu trận uuông có ma trận nghịch đảo A! thi det(A) «0

Chiing minh: That vay, vi AA} =I1 => det(AA ') = 1 = det(A)det(A ”) = 1

= det(A) # 0 va det(A |) #0

3.2.2 Dinh ly 2

Ma trận nghich déo A” cua ma tran A néu co thi chi cé mét mà thôi

Chúng minh: That vay, gia sii B va C déu 1A ma tran nghich dao của À, tức là

ta có:

AB = BA=Iva AC =CA=I

Khi dé C(AB) = CI va (CA)B = IB

Suy ra: CI=IB>C=B

29

Cy, =-16 Cop = 5 Cy; = 2

Cy, =-9 Cy, = 3 : Cy3 = 1

4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC

4.1 Tính định thức theo công thức định nghĩa

Vi du 1: Giai va biện luận phương trình

— Nếu a = c= 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu a = O0; c z 0 thì phương trình có một nghiệm x =

- Nếu a #0; c= 0 thì phương trình có một nghiệm x = +

891 322 324 495 491 492 493 4o5 491 499 493 424

¿a J23i 832 9 0 agi a2 O 0 a3; a2 9 0

a51 452 90 0 a5, as 0 0 45, 352 9 9

= a1;-Dy1 —ay9-Dyo + ay3-Dy3 — a) 4-Dy4 + a15-Dy5

Xét tiếp : Dyy = a99-0 — a93.0 + a¿¿,0 — a¿z.0 = Ô;

- Nhân các phần tử của một hàng (hay cột) với một số k (k z 0)

- Cộng tổ hợp tuyến tính vào hàng khác (hay cột khác)

- Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột)

sin“ a@ cos2a cos“œ

D =| sin? B cos2B cos” B sin? y cos2y cos” y

Giải: Nhân cột 1 với (—1) rồi cộng vào cột 3 ta có:

2 a cos2a cos*a-sin*a 2 sinœ cos2œ cos2a

D=|sin?B cos2B cos2B-sin2B|=|sin2B cos2B cos2B|= 0

sin

sin” y cos2y cos” Y— sin” Y sin? ý cos2y cos2y

Vi du 4: Tính định thức:

12 2 2 222 2

Nhân cột cuối của định thức thứ nhất với (1), sau đó cộng vào các cột trước

nó; khai triển theo cột cuối của định thức thứ hai, ta được:

a†—X 0 0 « X

Dạ; =| 0 0 aa~X X|+ (-1)"*" (a, -x) Dy 4

Ap dung tinh chat 11:

D, = x(a; —x)(ay —x) (a,_) ~x) + (- D7" (ay - x) D,_1-

Truy hồi, ta có:

D,-1 = X (ay —X)(ag -X) (a,_9 —x) + (-1)"" 7(a,_) — x) Dy_e

Tiếp tục truy hồi ta có:

D,, = x(a, — x)(as — X) (An_¡ — X) + Xat — X) (An_a — X)(An —X)+

+ X(4a — X)(ax — X) (an — X) + (ai — X)(aAa — X) (An — X)

Ví dụ 2: Tính định thức Vanđecmon:

XI Xa XB Ấn D,=|x xổ xã - Xã

Đưa thừa số chung của từng cột ra ngoài dấu định thức:

Tương tự như trên:

Dy-1 = (%3 — Xa)(X¿ — Xa) @n —Xg)Dn -a

Tiếp tục truy hồi ta có:

Dạ =[ŒXa — x1 (xg — Xị) GŒn — Xị)|[@Œ - Kg (Kq — xa) ÓX„ — Xa) |x

x[(X¿ — Xa)(%s — xs) (Xn —Xa)} (nạ —Xa_I)

Khai triển theo cột 1 và rút (x — 1) ở cột cuối ra làm thừa số chung, ta được:

1 0 0 1

1 C3 Oo x

Tiếp tục truy hồi ta có: D„¿¡ =(x—-1)D,= & —1)°D,, = =D"

BÀI TẬP LƯỢNG GIÁ Hay chon két qua ding:

- Nếu a # 0;c= 0; b tùy ý thì phương trình có nghiệm x = *

- Nếu a = 0; e 4 0; b tùy ý thì phương trình có nghiệm x = >

4

38

B Néua=0 thi phuong trinh cé mét nghiém

C._ Nếu c=0 thì phương trình có một nghiệm

Bài 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1 Tìm được hạng của ma trận bằng các phương pháp

2 Trinh bay được các dạng hệ phương trình thường gặp như hệ phương

trình tuyến tính tổng quát, hệ phương trình Cramer, hệ phương trình thuần nhất :

3 Trinh bày được điều biện để hệ phương trình đã cho có nghiệm, uô số

nghiệm hay uô nghiệm

4 Giải được các hệ phương trình nêu trên

1 KHÁI NIỆM HẠNG CỦA MA TRẬN

1.1 Định nghĩa 1

Cho ma trận Ä = [Aj]uxn

Ma trận vuông cấp p (p là số nguyễn dương; p < min(m, n)) suy từ ma trận A

bằng cách bỏ đi m — p hàng và n - p cột gọi là ma trộn con cấp p của A

Định thức của ma trận con vuông cấp p của Á gọi là định thức con cấp p của A

Các ma trận con cấp 2 là:

1 -3| [-1 4

2 1| |1 1] 7

Cho A = [ailm.n Hạng của ma trận À là cấp cao nhất của định thức con khác

không của A Ky hiệu là p(A)

Tuy nhiên người ta thường tìm cách khác

Chú y: Ta luôn có p(A") = p(A)

1.8 Phương pháp tìm hạng của ma trận

1.8.1 Các phép biến đổi sơ cấp của ma trận

Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây về ma trận được gọi là các phép biến đốt sơ cấp về hàng (hay cột) của ma trận:

- Nhân tất cả các phần tử của một hàng (một cột) với một số khác không;

~ Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau;

- Cộng vào một hàng (một cột) các phần tử tương ứng của hàng khác (cột khác) Định lý: Các phép biến đối sơ cấp uê hòng (uê cột) không làm thay đổi hạng của ma trún

1.3.2 Ma trận bậc thang

Định nghĩa: Ma trộn bậc thang là ma trận có tính chất sau:

~ Các hàng khác không (hàng khác không là hàng có phần tử khác không) luôn ở trên các hàng không (hàng không là hàng có tất cả các phần tử bằng không)

- Với hai hàng khác không liền kề thì phần tử khác không ở hàng dưới bao gid cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên

40

Khi thực hiện một số phép biến đổi sơ cấp có thể đưa ma trận bất kỳ về ma

trận bậc thang

Định lý: Hạng của ma trận bộc thang bằng số hàng khác không của nó

Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp, ta biến đổi ma trận đã cho về ma trận dạng bậc thang để tìm hạng của ma trận đó:

Giải: Ta có: det(A) = —1 # 0, có thể tìm ma trận nghịch đảo theo cách 2 (bằng

phương pháp biến đổi sơ cấp của ma trận) hay còn gọi là phương pháp Gauss-Jordan:

41