Các chuyên đề hình học giải tích 12

aTính khoảng cách từ A đến mp P bviết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp P một góc có số đo lớn nhất.. cViết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp P 8.Cho ba mặt phẳn

CÁC CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12

…… ……

Vấn đề1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

1.Trong hệ tọa độ Oxy cho a r = − (1; 2;1) , b r = − ( 2;1;1) ,c r = 3 i r + 2 r j k − r Tìm tọa độ các véctơ a)u r = 3 a r − 2 b r b)v r = − − c r 3 b r c)w uur r r = − + a b 2 c r d) 3

2 2

x a = − b + c

2.Trong hệ tọa độ Oxy cho a r = − (1; 1;0) , b r = − ( 1;1; 2) ,c i r = − r 2 r j k − r ,d i r r =

a)xác định k để véctơ u r = (2; 2 k − 1;0) cùng phương với a r

b)xác định các số thực m,n,p để d ma nb pc r = r − r + r

c)Tính a b a r r r , , + 2 b r

3.Cho A(2;5;3) , B(3;7;4) , C(x;y;6)

a)Tìm x,y để ba điểm A,B ,C thẳng hàng

b)Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz.Tính độ dài đoạn AB

c)Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA+MB nhỏ nhất

4.Trong hệ tọa độ Oxy cho 1

(1; 2; ) 4

a r = − , b r = − ( 2;1;1) ,c r = 3 i r + 2 r j + 4 k r

a) Tính các tích vô hướng a b r r ,c b r r Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc

b)Tính C os(a,b) r r ,C os(a,i) r r

5.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)

a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó

b)Tính cos các góc của tam giác ABC

c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB

d)Tìm tọa độ điểm M thỏa MA MB uuur uuur + − 2 MC uuuur r = 0

6.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2)

a)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB

b)Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC

Vấn đề 2:TÍCH CÓ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG

1.Tính tích có hướng   u v r r ,  biết rằng

a)u r = − (1; 2;1) , v r = − ( 2;1;1) b)u r = − ( 1;3;1) , v r = (0;1;1) c)u r = + 4 r r i j , v i r r = − 2 r j k − r

2.Tính tích   u v r r uur , w   biết rằng

a)u r = − (1; 2;1) , v r = (0;1;0) ,w (1; 2; 1) uur = − b)u r = − − ( 1; 1;1) , v r = (0;0; 2),w (1; 2; 1) uur = − − c)u r = + 4 r r i j , v i r r = − 2 r j k − r,w (5;1; 1) uur = −

3.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2), D(1;2;3)

a)Chứng tỏ rằng A,B,C không thẳng hàng

b)Chứng tỏ rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng

c)Tính diện tích tam giác ABC

d)Tính thể tích tứ diện ABCD.Biết rằng

4.Cho hình chóp S.ABCD có A(2;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2), D(1;2;-1), S(0;0;7)

a)Tính diện tích tam giác SAB

b)Tính diện tích tứ giác ABCD

c)Tính thể tích hình chóp S.ABCD.Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến mp(ABCD)

d)Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

5.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết rằng A(1;2;-1), B(-1;1;3), C(-1;-1;2) và D’(2;-2;-3)

a)Tìm tọa độ các đỉnh còn lại

b)Tính thể tích hình hộp

c)Tính thể tích tứ diện A.A’BC Tính tỉ số ' ' ' '

' ' '

ABCD A B C D

A A B C

V V

d)Tính thể tích khối đa diện ABCDD’

Vấn đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU

1.Tìm tâm và bán kính mặt cầu

a)( x − 2)2+ + ( y 1)2+ − ( z 2)2 = 9 b) 2 2 2 25

4

x + y + − z x + y + + z =

2.Cho A(1;3;-7), B(5;-1;1)

a)Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB

b)Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

c)Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy

3.Cho A(1;1;1) ,B(1;2;1) ,C(1;1;2) , D(2;2;1)

a)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D

b)Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp Oxy, Oyz

4.Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy

5.Cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)

a)Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện

b)Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

c)Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất

6.Chứng tỏ rằng phương trình x2+ y2+ + z2 4 mx − 2 my + 4 z m + 2+ 4 m = 0 luôn là phương trình của một mặt cầu Tìm

m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất

7.Chứng tỏ rằng phương trình x2+ y2 + + z2 2 os c α x − 2sin α y + 4 z − − 4 4sin2α = 0 luôn là phương trình của một mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)

a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n r (1; 1;5) − làm vectơ pháp tuyến

b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mp đó là a r (1; 2; 1), (2; 1;3) − b r −

c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB

d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC

e)Viết phương trình mp (ABC)

2.Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)

b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0

c)Viết phương trình mp qua hai điểm A , B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0

d)Viết phương trình mp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0

e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

3.Viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A,B, C sao cho

OA = OB = OC

4.Viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A,B,C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất 5.Viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A,B,C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC

6.Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)

a)Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)

b)Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó

7.Cho mp(P):2x- y+2z- 2 = 0 và hai điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4)

a)Tính khoảng cách từ A đến mp (P)

b)viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất

c)Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)

8.Cho ba mặt phẳng

( ) ( ) ( )

α β γ

a)Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?

b)Tìm quỹ tích các điểm cách đều ( ) α và( ) γ

c)Tính khoảng cách giữa hai mp ( ) α và( ) γ

d)Tìm quỹ tích các điểm cách ( ) β một khoảng bằng 1

e)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với hai mp ( ) α và( ) γ

9.Cho hai mặt phẳng ( )

( )

α β

a)Tính cosin góc giữa hai mp đó

b)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó

c)Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox

10.Cho mặt phẳng (P):2x- y+2z- 3 = 0 và mặt cầu (C ): ( x − 1)2+ + ( y 1)2+ − ( z 2)2 = 25

a)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến

b)Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)

12 Cho hai mặt phẳng ( ) α : 2 x − 2 y z + − = 5 0 và mặt cầu (C)( x − 1)2+ + ( y 1)2+ − ( z 2)2 = 25

a)Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với ( ) α

b)Tính góc giưa mp( ) α với Ox

c)Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với ( ) α một góc 600

13.Cho bốn điểm A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)

a)Viết phương trình mp ABC

b)Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)

14.Viết phương trình mp đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x- y+ z -4= 0 và 3x- y + z -1= 0

15 Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 và x+ y - z + 3= 0 đồng thời song song với mặt phẳng x+ y+ z = 0

16 Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng3 x-y+ z -2= 0 và x+4 y -5= 0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x- y+ 7 = 0

17.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.Gọi I,J ,K lần lược là trung điểm các cạnh BB’ , C’D’ và D’A’ a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (IJK) vuông góc với mặt phẳng (CC’K)

b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (JAC) và (IAC’)

c)Tính khoảng cách từ I đến mp(AJK)

18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB= SA= 2a AD= a.Đặt hệ trục Oxyz sao cho các tia Ox, Oy ,Oz lần lược trùng với các tia AB,AD,AS

a)Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS Tìm tọa độ của E

b)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

c)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

d)Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

e)Tính thể tích hình chóp S.ABCD

19.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC.D là điểm đối xứng với A qua I.Dựng đoạn SD = 6

2

a vuông góc với mp (ABC).Chứng minh rằng

a)mp SAB ( ) ⊥ mp SAC ( )

b)mp SBC ( ) ⊥ mp SAD ( )

c)Tính thể tích hình chóp S.ABC

20.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z−m2 −3m=0 (m là tham số) và mặt cầu (S) :( x−1)2 +( y+1)2

+( z−1)2 =9 Tìm m để mặt phẳng (P) tiếpxúc với mặt cầu (S ) Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (Pvà(S )

Vấn Đề 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

1.Trong khụng gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng ,Oxyz cho mặt phẳng (P) 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S)

x2 +y 2 +z2 -2x-4y-6z-11=0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn Xỏc định toạ độ tõm và tớnh

bỏn kớnh của đường trũn đú

2.(Đề kt 45’ 2009-2010 Sở GD&ĐT Dak Lak)

Cho Mặt Cầu (S):x2 +y 2 +z2 +2x-6y-15=0 và mặt phẳng (P):x+2y+2z+4=0

a)Xỏc định tõm I và bỏn kớnh R của mặt cầu (S)

b) Chứng tỏ rằng mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn và tớnh bỏn kớnh r của đường trũn đú

c) viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với trục Oy, Vuụng gúc với mặt phẳng(P) và tiếp xỳc với mặt cầu (S)

3 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3).

a) Viết phương trỡnh mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

b) Tỡm tọa độ tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC

4.Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2;0;0),M(0;− 3;6).

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x + 2y − 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO Tìm toạ độ tiếp điểm?

c) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tơng ứng B, C sao cho V OABC = 3

5 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z-2x+4y+2z−3=0 và

mặt phẳng (P):2x-y+2z−14=0

a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường trũn cú bỏn kớnh

bằng 3

b) Tỡm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất

Vấn đề 6: PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG

1.Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng

a)Đi qua A(1;2;-1) và cú vectơ chỉ phương là a r = − (1; 2;1)

b) đi qua hai điểm I(-1;2;1), J(1;-4;3)

c)Đi qua A và song song với đường thẳng 1 2 1

x − = y − = z +

d)Đi qua M(1;2;4) và vuụng gúc với mặt phẳng 3x- y + z -1= 0

2.Tỡm phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng

a)Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng

1 2 3

= −



 = +



 = −



b)Qua A và song song với hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0

c)Qua M(1;1;4) và vuụng gúc với hai đường thẳng (d1):

1 2 3

= −



 = +



 = −



và (d2): 1 2 1

x − = y − = z +

−

3.Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)

a)Viết phương trỡnh đường thẳng qua A và vuụng gúc với mặt phẳng (BCD)

b)Viết phương trỡnh đường thẳng qua I(1;5;-2) và vuụng gúc với cả hai đường thẳng AB,CD

4.Viết phương trỡnh hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng (d): 1 2 1

x − = y − = z +

− lờn cỏc mặt phẳng tọa độ

5.Viết phương trỡnh hỡnh chiếu của đường thẳng (d)

1 2 3

= −



 = +



 = −



lờn mặt phẳng (P):x+ y - z + 3= 0

6.Viết phương trỡnh giao tuyến của hai mặt phẳng

7.Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

Δ và Δ’ cú phương trỡnh

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng Δ và song song với đờng thẳng Δ’

b) Cho điểm M(2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng Δ’ sao cho đoạn thẳng MHcó độ dài nhỏ nhất

8.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

6 3 '

'

a) Tỡm a để hai đường thẳng 1 d và 2 d chộo nhau

b) Với a = 2 , viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa d’ và song song với d Tớnh khoảng cách giữa d và d’ khi a = 2

9.Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và uuur AC(0;6;0) I là trung điêmt BC

Tính khoảng cách từ I tới OA

Bai5/ Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

'

1 3 '

a) Chứng minh rằng chộo nhau và vuụng gúc với nhau.d và d’

b) Viết phương trỡnh tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng và song songvới đường thẳng

x − = y − = z −

10 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;1;1),B(0; −1;3) và đường thẳng

9 2

z t

= −



 = −



 =



a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuụng gúc với AB

Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Chứng minh rằng d vuông goc với IK

b) Viết phương trỡnh tổng quỏt của hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng d trờn mặt

phẳng cú phương trỡnh x+y−z+1=0

11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (−4; −2; 4) và đờng thẳng d:

3 2

1 4

= − +



 = −



 = − +



Viết phơng trình đờng thẳng d’đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d

12.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(4; 2; 2),B(0;0;7) và đường thẳng 3 6 1

x − = y − = z −

−

Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB thuộc cựng một mặt phẳng Tỡm điểm C trờn đường thẳng d sao cho tam giỏc ABC cõn tại đỉnh A

13 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : 1 3 3

x − = y + = z −

−

và mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z +9 = 0

a) Tỡm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cỏch từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2

b) Tỡm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) biết Δ đi qua A và vuụng gúc với d

14 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

d :

x = = y z và d’ :

1 2 ,

1

y t

= − −



 =



 = +



(t là tham số)

a) Xột vị trớ tương đối của và d và d’

b) Tỡm tọa độ cỏc điểm M thuộc d và N thuộc d’ sao cho đường thẳng MN song song với mặt (P) : x − y + z = 0 và độ dài đoạn

MN bằng 2

15 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:

x = y − = z +

− và d’ :

1

1 2 2

= +



 = − −



 = +



(t là tham số)

1 Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d và d’

2 Tỡm tọa độ cỏc điểm M thuộc d, N thuộc d’ sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng

16 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) và hai đường thẳng:

x − = y + = z −

− d’

x − = y − = z +

−

1 Tỡm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

2 Viết phương trỡnh đường thẳng Δ đi qua A, vuụng gúc với d và cắt d’

17.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1 1 2

z

= +



 = − −



 =



x − = y − = z

−

1 Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’

2 Xỏc định điểm A trờn d và điểm B trờn d sao cho đoạn AB cú độ dài nhỏ nhất

18.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x−3y+11z−26=0

và hai đường thẳng d: 3 1

x = y − = z +

− d’

x − = = y z −

1 Chứng minh rằng d và d’ chộo nhau

2 Viết phương trỡnh đường thẳng Δ nằm trờn (P), đồng thời Δ cắt cả d và d’

Vấn đề 7: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG

-GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

1.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

x − = y − = z −

và (d’) 6 1 2

x − = y + = z +

b) (d) 1 2

x − = y − = z

− và (d’)

x = y + = z −

x − = y = z +

− − và (d’)

x − = y − = z

d) (d)

1 2

3

= −



 = +



 = −



và (d’) là giao tuyến của hai mặt phẳng( ) α : 2 x − 3 y − − = 3 z 9 0, ( ) β : x − 2 y z + + = 3 0 2.Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có

x − = y − = z −

và ( ) α : 3 x + 5 y z − − = 2 0

x + = y − = z

và ( ) α : 3 x − 3 y + 2 z − = 5 0

x − = y − = z −

và ( ) α : x + 2 y − 4 z + = 1 0 3.Tính góc giữa các cặp đường thẳng ở bài 7

4.Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng ở bài 7(nếu chúng chéo nhau hoặt song song nhau)

5.Tính góc giữa cặp đường thẳng và mặt phẳng ở bài 8

6.Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến các đường thẳng

a)(d1): 12 9 1

x − = y − = z −

b) (d2):

1 2 3

= −



 = +



 = −



c)(d3) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α : 2 x − 3 y − − = 3 z 9 0, ( ) β : x − 2 y z + + = 3 0

7.Cho đường thẳng (d) 1 1 3

x − = y − = z −

và ( ) α : x + 2 y − 4 z + = 1 0 a)Tìm giao điểm giữa (d) và ( ) α

b)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với ( ) α một góc có số đo lớn nhất

c)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với ( ) α một góc có số đo nhỏ nhất

8.Trong không gian cho bốn đường thẳng

(d1): 1 2

x − = y − = z

− , (d2): 2 2

x − = y − = z

(d3): 1

x = = y z −

, (d4) : 2 1

x − = = y z −

a)Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) cùng nằm trên một mặt phẳng.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó

b)Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho

c)Tính côsin góc giữa (d1) và (d3)

9.Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0) C(2;-3;2) và mp ( ) α : x y z + + − = 2 0

a)Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC

b)Tìm trên mp ( ) α điểm cách đều 3 điểm A,B,C

c)Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp ( ) α

10.Cho tứ diện ABCD.Biết rằng A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)

a)Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD

b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

c)Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp (BDC)

d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB

e)Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (BCD)

11.Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M(2;-1;1) qua mp( ) α : x y z + + − = 2 0

12.Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A(2;-1;5) quađường thẳng 1 2 3

x − = y − = z −

13.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp( ) α : x y z + + − = 2 0 Tìm điểm M trên mp ( ) α sao cho MA+MB nhỏ nhất

14.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp( ) α : 2 x y z + + + = 4 0.Tìm điểm M trên mp ( ) α sao cho MA MB − lớn nhất 15.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp( ) α : 2 x y z + + + = 4 0.Tìm điểm M trên mp ( ) α sao cho MA MB uuur uuur + nhỏ nhất 16.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp( ) α : x y z + + − = 2 0 Tìm điểm M trên mp ( ) α sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất

17.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3) và mp( ) α : x y z + + − = 2 0 Tìm điểm M trên mp ( ) α sao cho MA2+MB2 +MC2

nhỏ nhất

18.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3), D(1;5;1) và mp( ) α : x y z + + + = 1 0 Tìm điểm M trên mp ( ) α sao cho MA2+MB2

+MC2 +MD2 nhỏ nhất

19.Cho ba đường thẳng (d1): 1 2 2

x − = y + = z −

,(d2):

3 1 5

x t

=



 = −



 = +



Và (d3) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α : 2 x y − + 4 z − = 3 0, ( ) β : 2 x y z − − + = 1 0

Viết phương trình song song với (d1) cắt cả hai đường thẳng (d2) và (d3)

20.Cho hai đường thẳng (d1):

1 2 3

y t

= +



 =



 = −



Và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α : 2 x y z + + − = 1 0, ( ) β : x + 2 z − = 3 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)

21.Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mp :y+2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng

(d1):

1

4

y t

= −



 =



 =



(d2):

2

4 2 1

z

= −



 = +



 =



22.Cho hai đường thẳng (d): 1 1 2

x + = y − = z −

và (d’): 2 2

x − = y + = z

a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng

b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng

c)Tính góc giữa (d1) và (d2)

23.Cho hai đường thẳng (d): 1 2 3

x − = y − = z −

và (d’):

2 1

z t

= −



 = − +



 =



a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng

b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng

c)Tính góc giữa (d1) và (d2)

24.Cho hai đường thẳng (d1):

1 3 2

z t

= +



 = − +



 =



Và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α : x y z + − + = 2 0, ( ) β : x + = 1 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;1;1) vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt (d2)

25.Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α : x + 4 y − = 1 0, ( ) β : x z + = 0.Viết phương trình đường

thẳng đi qua điểm M(0;1;-1) vuông góc và cắt đường thẳng (d)

26.Cho hai điểm A(1;1;-5), B(0;1;-7) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α : y = 1, ( ) β : x z + = − 1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất