lí thuyết điều khiển tự động

Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu vi phân tỉ lệ PD Proportional Derivative 2.29... Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu vi tích phân tỉ lệ PID Proportional Integral Derivative 2.31.

Trang 1

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

GVTH: Võ Văn Định

NĂM 2009

Trang 2

CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU

KHIỂN LIÊN TỤC2.1 Khái niệm

2.2 Hàm truyền đạt và đại số sơ đồ khối

2.3 Sơ đồ dòng tín hiệu

2.4 Phương pháp không gian trạng thái

2.5 Tóm tắt

Trang 3

khiển động cơ, lò nhiệt, máy bay, phản ứng hóa học …

Tổng quát quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân bậc cao Việc khảo xác hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khắn

Do đó, cần có cơ sở để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác nhau, cơ sở đó chính là toán học

Trang 4

2.1 KHÁI NIỆM

Có hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động

giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng hơn là:

- Phương pháp hàm truyền đạt

- Phương pháp không gian trạng thái

Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương

trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace, trong khi đó phương pháp không gian trạng thái biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành hệ phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt các biến phụ (biến trạng thái)

Mỗi phương pháp mô tả hệ thống đều có ưu điểm riêng

Trang 5

Cho f(t) là hàm xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là:

{ ( )} ( ) (2.1) )

s: là biến phức (biến Laplace) s = σ + jω

L : là toán tử biến đổi Laplace

F(s): là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi laplace

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức ở biểu thức

định nghĩa (2.1) hội tụ

Trang 6

 Tính tuyến tính

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace

{ a1 f1( t ) + a 2 f2 ( t ) } = a1 F1( s ) + a 2 F2 ( s ) (2.2)

L

b Tính chất của phép biến đổi Laplace

Nếu hàm f 1 (t) có biến đổi Laplace là L{f 1 (t)} = F 1 (s) và hàm f 2 (t) có là L{f 2 (t)} = F 2 (s)

Trang 7

 Ảnh của đạo hàm

(2.3)

) 0 ( )

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:

Trong đó f(o + ) là điều kiện đầu

Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:

(2.4)

) (

)

(

s

sF dt

Trang 8

 Ảnh của tích phân

(2.5)

)

( )

(

s

F d

Trang 9

 Định lý chậm trễ

Trang 10

 Định lý giá trị cuối

(2.7)

) ( lim

) (

Trang 11

Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là các tín hiệu cơ bản

Các tín hiệu cơ bản là: hàm nấc, hàm mũ, hàm sin…

Trang 12

c Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản

 Hàm xung đơn vị (hàm dirac)

Hàm xung đơn vị thường được sử dụng

để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống

0

0 )

(

t khi

t

khi t

∞

−

dt t

Trang 13

 Hàm xung đơn vị (hàm dirac)

Hàm xung đơn vị thường được sử dụng

để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống

0

0 )

(

t khi

t

khi t

∞

−

dt t

0 0

dt

e t dt

e t

+ +

Trang 14

 Hàm nấc đơn vị

Trong các hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng hàm nấc đơn vị

(2.10)

0

1 )

t

khi t

e s

e dt

e t u t

u

st st

u(t) 1 0

t

Trang 15

 Hàm dốc đơn vị

Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi

(2.12)

0

)

( )

t khi

t t

u t t

0

1

.

).

( )

(

s s

e s

e

t dt

e t dt

e t f t

f

st

st st

t 1

Trang 16

 Hàm mũ

(2.15)

0

)

( )

t khi

e t

u e

t

f

at at

Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:

{ }

a s a

s

e dt

e e

t f

t s

a t

s a st

0

) ( 0

L

{ } 1 (2.16)

a s

t

Trang 17

 Hàm sin

(2.17)

0

t

sin )

( ).

(sin )

t

khi t

u t t

1

2

) ( ).

(sin

ω

ω ω

s j

dt

e j

e

e t

u

t j t

j

2 sinω = ω − − ω

f(t)

0

t 1

Trang 18

2.2.2 Hàm truyền đạt

Hệ thống

Tín hiệu vào Tín hiệu ra

Trang 19

Hệ thống được gọi là hợp thức nếu n ≥ m, hệ thống được gọi là không hợp thức nếu n < m chỉ có các hệ thống mới tồn tại trong thực tế.

Trong đó các hệ số ai = (0 ÷n) và bj= (0 ÷m) là thông số của hệ thống (a0 ≠ 0; b0 ≠ 0); n là bậc của hệ thống

Khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân (2.19) rất khó khăn, nhờ vào phép biến đổi Laplace ta khảo sat hệ thống một cách dễ dàng

Trang 20

a Định nghĩa:

) ( )

(

) ( )

(

1

1 1

0

1

1 1

0

s R b

s b

s b s

b

s C a

s a

s a s

a

m m

n n

+ +

=

= +

+ +

n n

m m

a s

a

b s

R

s

C

+ +

0

1

1 1

0

) ( ) (

Trang 21

n n

m m

a s

a

b s

R

s

C

+ +

0

1

1 1

0

) (

Trang 22

)

( )

(

1

1 1

0

1

1 1

0

n n

m m

a s

a

b s

R

s

C s

G

+ +

G(s) là hàm truyền của hệ thống

Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace

của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện

ban đầu bằng 0

Hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà

chỉ phụ thuộc vào bậc và thông số của hệ thống Do đó ta có thể

dùng hàm truyền để mô tả hệ thống

Trang 23

Trong hệ thống tự động các khâu hiệu chỉnh là các bộ điều khiển đơn giản được sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt của hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu lên chất lượng của hệ

thống

Thường khâu hiệu chỉnh là các mạch điện

Có hai loại mạch hiệu chỉnh: mạch hiệu chỉnh thụ động và mạch hiệu chỉnh tích cực

Mạch hiệu chỉnh thụ động có độ lợi ≤ 1

Mạch hiệu chỉnh tích cực có độ lợi >1

Trang 24

b Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:

b1 Khâu hiệu chỉnh thụ động

Quan hệ dòng điện và điện áp trên tụ C cho ta:

Khâu tích phân bậc 1

t

dv C t

)

Trang 25

Theo định luật Kirchoff ta có:

vi(t) i(t) C vo(t)

R

(2.21)

) ( )

(

)

( )

(

) ( )

( )

(

0

0 t v t v t

dv RC t

v t

i R

t v t

v t

v

i i

C

i C

R

= +

⇒

= +

⇒

= +

Trang 26

Biểu thức (2.21) chính là phương trình vi phân mô tả khâu tích phân bậc một

1

1 )

( )

V s

G s

V s

RCsV

i

o i

o o

Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace biểu thức (2.21),

ta được:

Trang 27

(2.22)

1

1 )

Đặt T =RC phương trình trên sẽ trở thành:

Trang 28

Khâu vi phân bậc 1

(2.23)

1

Trang 29

Khâu sớm pha

(2.24)

1

1 )

s

Chứng minh tương tự như

khâu tích phân bậc 1 ta có:

2

R R

2 1

R R

C R

R T

Trang 30

Khâu trễ pha

(2.25)

1

1 )

s

Chứng minh tương tự như khâu

tích phân bậc 1 ta có:

Trang 31

b2 Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu tỉ lệ P (Proportional)

(2.26)

) ( s KP

Trang 32

Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)

(2.27)

s

K K

K R

R

1 1

Trang 33

Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)

(2.28)

) ( )

( )

i P

Quan hệ trong miền thời gian tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu PI là:

Trang 34

Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)

(2.29)

)

( s K K s

Khâu vi phân tỉ lệ PD có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu

vào và vi phân của tín hiệu vào

Trong đó:

C R

K R

Trang 35

Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)

(2.30)

dt

(t)

dv )

( )

D i

Trang 36

Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)

(2.31)

)

s

K K

s

=

Khâu vi tích phân tỉ lệ PID có đặc điểm tín

hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, vi phân của tín

hiệu vào và tích phân của tín hiệu vào

Trong đó:

12

221

;

C R

K C

R

K C

R

C R C

Trang 37

Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)

(2.32)

dt

(t)

dv )

( )

0

D

t i I

i P

Quan hệ trong miền thời gian tín hiệu ra và tín hiệu vào của

khâu PID là:

Trang 38

c Ví dụ tính toán hàm truyền

Động cơ một chiều kích từ độc lập

Sơ đồ nguyên lý của động cơ điện một chiều:

Trang 39

Trong đó:

Lư - điện cảm phần ứng

Rư - điện trở phần ứng

Uư - điện áp phần ứng

Eư - sức phản điện động

ω - tốc độ góc

Mt - moment tải

B - hệ số ma sát

J - moment quán tính

Trang 40

c Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Theo định luật Kirchoff ta có phương trình cân bằng điện áp ở mạch điện phần ứng:

(2.33)

) (

)

( ).

( (t)

dt

t

di L

R t

=

ö

Trong đó: Eư(t) - sức phản điện phần ứng Eư(t) = KΦω(t) (2.34)

K - là hệ số

Φ - từ thông kích từ

Trang 41

Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay, ta có phương trình cân bằng moment trên trục động cơ:

(2.35)

)

( )

( (t)

M

dt

t

d J t

B t

Trang 42

Biến đổi Laplace các phương trình (2.33), (2.34), (2.35), (2.36)

ta có:

(2.37)

) ( )

( ).

( (s)

Uö = Iö s Rö + LösIö s + Eö s

(2.39)

) ( )

( )

( (s)

Mñ = Mt s + B ω s + Js ω s

(2.40)

) ( (s)

Mñ = K Φ Iö s

(2.38)

) ( (s)

Eö = K Φ ω s

Trang 43

Đặt :

ö

ö ö

R

L

T = Là hằng số thời gian điện từ động cơ

B J

TC = Là hằng số thời gian điện cơ của động cơ

Trang 44

Ta có thể viết lại (2.37) và (2.39) như sau:

(2.41)

)

1 (

) (

- (s)

U )

(

) ( )

1 ( )

(

- (s) U

s T R

s

E s

I

s I

s T R

s E

c ö

ö

ö ö

ö u

ö ö

)

1 (

) ( -

(s)

M )

(

) ( ) 1

( )

( -

(s)

Md

s T B

s

M s

s s

T B

s M

c t

Trang 45

Từ các biểu thức (2.38), (2.40), (2.41), (2.42) ta có sơ đồ cấu trúc của động cơ một chiều như sau:

Trang 46

2.2.3 Đại số sơ đồ khối

a Sơ đồ khối

Ở mục 2.2.2 chúng ta đã dẫn ra được hàm truyền của các phần tử

cơ bản trong hệ thống điều khiển Trong thực tế hệ thống gồm nhiều phần tử cơ bản kết nối với nhau Một cách đơn giản nhưng hiệu quả rất nhiều trong việc biểu diễn các hệ thống phức tạp là dùng sơ đồ khối

Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống

Sơ đồ khối gồm ba thành phần chính: khối chức năng, bộ tổng và điểm rẽ nhánh

Trang 47

Khối chức năng: tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín

hiệu vào và hàm truyền

Điểm rẽ nhánh: tại điểm rẽ nhánh các tín hiệu đều bằng nhau Bộ tổng: tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng các tín hiệu vào.

z

y = x - z c)

z

a) Khối chức năng; b) Điểm rẽ nhánh; c) Bộ tổng

Trang 48

b Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối

Hệ thống nối tiếp

Hàm truyền tương đương của hệ thống nối tiếp:

) ( )

( )

( ).

(

).

( ).

( )

(

).

( ).

(

).

(

.

2 1

3

2

1 2

2

2 1

2

1 1

1

1 1

n n

n

n n

n

s G s

G s

G s G

(s) R

(s)

C s

G s

C (s) R

(s) C

s

C s

G (s)

R

(s)

C s

G

(s) R

(s)

C s

G (s)

C (s) R

(s) C

(s)

C (s)

R

(s)

C R(s)

C(s) G(s)

Trang 49

( )

(

)

(

) (

)

( )

(

)

(

) (

) ( )

(

21

∑

= +

+ +

=

+ +

n

s

G s

R

s

C s

R

s

C s

R

s C

s R

s C

s

C R(s)

C(s) G(s)

(Tổng đại số)

Trang 50

Hệ hồi tiếp một vòng

a) Hồi tiếp âm

G(s) R(s)

H(s)

C(s)

Cht(s) E(s)

b) Hồi tiếp dương

Trang 51

Hàm truyền hồi tiếp âm:

G(s) R(s)

)

( )

(

s R

s

C s

) (do

) ( ).

( ).

( )

(

) (do

)

( ).

( )

(

)) ( )

( )

( E (do

)

( )

(

) ( ).

( )

(

E(s).G(s) C(s)

s H s

G s E s

E

C(S).H(s) (S)

C s

H s

C s

E

s C

s R s

s C

s E s

R

s G s E s

C

ht

ht ht

= +

=

= +

=

−

= +

=

Ta có:

Trang 52

Hàm truyền hồi tiếp âm:

(2.46)

)

( ).

( 1

)

( )

(

s H s

G

s

G s

Gk

+

=

Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta có:

Trường hợp đặc biệt khi H(s) = 1 ta có hệ thống hồi tiếp âm

đơn vị Trong trường hợp này (2.46) trở thành:

(2.47)

)

( 1

)

( )

(

s G

s

G s

Gk

+

=

G(s) R(s)

H(s)

C(s)

Cht(s) E(s)

Trang 53

Hàm truyền hồi tiếp dương:

) (

)

( )

(

s R

s

C s

) E(s).G(s) C(s)

(do

H(s) E(s).G(s).

E(s)

) C(S).H(s) (S)

C (do

C(s).H(s)

E(s)

) (s) C

R(s) E(s)

(do

(s)

C E(s)

R(s)

E(s).G(s) C(s)

ht

ht ht

H(s)

C(s)

Cht(s) E(s)

Trang 54

Hàm truyền hồi tiếp dương:

(2.48)

)

( ).

( 1

)

( )

(

s H s

G

s

G s

H(s)

C(s)

Cht(s) E(s)

Tiêu đề	Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động
Người hướng dẫn	GVTH: Võ Văn Định
Trường học	Trường Đại Học Kỹ Thuật
Chuyên ngành	Điều Khiển Tự Động
Thể loại	Bài Giảng
Năm xuất bản	2009
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	196
Dung lượng	2,03 MB