vành sigma đối xứng

2 Nếu NR là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của MR, thì phépnhúng i : MR → NR là đơn cấu F -thuần khiết.. Giả sử rằng phạm trù các R-module phải xạ ảnh là đóng đối với mở rộng thuần khi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐAN ĐÌNH TRÚC

VÀNH SIGMA ĐỐI XOẮN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Em xin gửi lời cám ơn chân thành đến tất cả thầy cô trong khoa Tin học, đặc biệt là các thầy PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Ngọc Hội,

Toán-TS Nguyễn Viết Đông đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt cho em nhữngkiến thức quý báu trong suốt những năm cao học Hơn hết, em xin bày tỏlòng biết ơn đến TS Nguyễn Viết Đông, thầy đã tận tình hướng dẫn emtrong quá trình làm luận văn

Em cũng xin gửi lời cám ơn đến gia đình, đặc biệt là cha mẹ, nhữngngười đã tạo mọi điểu kiện để em có thể tập trung học tập Cuối cùng,xin gửi lời cám ơn đến các anh chị khóa trên, cùng những người bạn đãhọc tập và giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian qua

Đan Đình Trúc

Lời cảm ơn 3

1.1 Các module đặc biệt 8

1.2 Các vành đặc biệt 10

1.3 Các hàm tử Extn và T orn 11

1.4 Giới hạn tới, giới hạn ngược 14

1.5 Bao và phủ 16

4

Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu về module Σ-đối xoắn vàvành Σ-đối xoắn, dựa trên bài báo [10] của P.A Guil Asensio, I Herzog.Trong suốt luận văn, khi nói đến module M mà không nói rõ thì ta hiểu

M là module phải Khi nói đến một vành bất kì, ta qui ước đó là vành kếthợp có đơn vị

Luận văn gồm có 4 chương Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn

bị mà chúng ta sẽ sử dụng trong suốt luận văn, đặc biệt là các định nghĩa

và định lý liên quan đến các hàm tử T orn và Extn Cũng trong chương

1, chúng tôi trình bày các tính chất của các module nội xạ thuần khiết,module dẹt, vành hoàn hảo phải, và vành nửa hoàn hảo phải

Chương 2 nói về Module Σ-đối xoắn và khái niệm thuần khiết mạnh

Cụ thể, ta chứng minh được các kết quả chính sau đây

Định lý 2.11 Cho vành R và MR là R-module phải Ta có các điềusau:

1) Bao đối xoắn C(M ) là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu tối đạicủa M Hơn nữa, m : MR → C(M ) là đơn cấu F -thuần khiết và duy nhấttheo nghĩa đẳng cấu

2) Nếu NR là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của MR, thì phépnhúng i : MR → NR là đơn cấu F -thuần khiết Hơn nữa, nếu NR ⊂ C(N )

là bao đối xoắn của NR thì C(N ) cũng là bao đối xoắn của MR

3) Nếu M ⊂ N ⊂ C(M ) và phép nhúng i : MR → NR là đơn cấu

F -thuần khiết thì NR là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của MR.Định lý 2.12 Cho vành R Giả sử rằng phạm trù các R-module phải

xạ ảnh là đóng đối với mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu, khi đó C(RR)

là module Σ-đối xoắn

Chương 3 trình bày về căn Jacobson của vành tự đồng cấu của cácmodule dẹt đối xoắn Trong chương này, ta chứng minh được rằng, vành

R thỏa mãn RR là module Σ-đối xoắn khi và chỉ khi R là vành hoàn hảophải Ngoài ra, ta cũng chứng minh được kết quả sau

Định lý 3.16 Cho vành R, RR ⊂ C là bao đối xoắn của RR, và

S = EndR(C) là vành tự đồng cấu của C Giả sử đồng cấu f ∈ S thỏa

mãn f (1) ∈ CJ , thì f ∈ J (S), với J (S) là căn Jacobson của S Hơn nữa,nếu C0 là hạng tử trực tiếp của CR thỏa mãn C0J = C0 thì C0 = 0.

Chương 4 trình bày về lớp vành nửa địa phương và quan hệ giữa lớpvành này và module Σ-đối xoắn Trong chương này, ta chứng minh đượcrằng nếu bao đối xoắn của RR là module Σ-đối xoắn, thì R là vành nửađịa phương Ta cũng chứng minh được kết quả sau

Mệnh đề 4.12 Cho vành R và ℵ = max{ℵ1, |R|} Khi đó, nếu mọiR-module con thuần khiết của R(ℵ)R là module con thuần khiết mạnh cốtyếu của một hạng tử trực tiếp nào đó của R(ℵ)R , thì R là vành hoàn hảophải

Trong thời gian gần đây, hướng nghiên cứu về module Σ-đối xoắn đangđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Nhiều kết quảmới và thú vị trong lĩnh vực này đã được công bố và cũng có nhiều vấn

đề mở đòi hỏi cần phải giải quyết Tuy nhiên do hạn chế về thời gian vànăng lực nên tác giả bản luận văn này chỉ mới đạt được ở mức độ nắmđược một số kết quả mới mà chưa thể giải quyết được các câu hỏi đặt ra.Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng trong luận văn vẫn không tránhkhỏi sai sót Em rất mong nhận được góp ý của của các thầy cô, anh chị

và các bạn Xin chân thành cảm ơn

⊂, ⊆ chứa trong

chứa trong ngặt

|A| lực lượng của tập hợp A

M ⊕ N tổng trực tiếp của M và N

R(I) tổng trực tiếp của của các R-module R theo tập chỉ số I

M(I) tổng trực tiếp của của các R-module M theo tập chỉ số IEndR(M ) vành các R-tự đồng cấu của M

Q

iRi tích trực tiếp của các vành {Ri}

C(M ) bao đối xoắn của module M

ExtnR(A, B) tích mở rộng n-chiều trên R của các module A và BExtn(A, B) tích mở rộng n-chiều các module A và B khi vành

R xác địnhExt(A, B) tích mở rộng 1-chiều các module A và B khi vành

R xác định

T orRn(A, B) tích xoắn n-chiều trên R của các module A và B

T orn(A, B) tích xoắn n-chiều các module A và B khi vành

SMR M là R-module phải và S-module trái

A ⊗R B tích tenxơ của hai module AR và RB

7

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các module đặc biệt

Định nghĩa 1.1 Dãy khớp các R-module phải

0 −−→ A0 −−→ A −−→ Aλ 00 −−→ 0được gọi là khớp thuần khiết nếu với mọi R-module trái B, ta có dãy sau

là khớp:

0 −−→ A0 ⊗ B −−→ A ⊗ B −−→ Aλ⊗1 00 ⊗ B −−→ 0Khi đó A0 được gọi là module con thuần khiết của A, và λ : A0 → A đượcgọi là đơn cấu thuần khiết

Định nghĩa 1.2 Một R-module M được gọi là nội xạ thuần khiết nếuvới mọi module con thuần khiết S của một R-module phải N , dãy sau đây

là khớp:

Hom(N, M ) −−→ Hom(S, M ) −−→ 0

Định nghĩa 1.3 R-module phải A được gọi là module dẹt phải nếu hàm

tử A ⊗ − là hàm tử khớp Nói cách khác A là module dẹt nếu với mỗi dãykhớp ngắn các R-module trái:

0 −−→ X −−→ Y −−→ Z −−→ 0

8

thì dãy các nhóm tenxơ sau cũng khớp:

0 −−→ A ⊗ X −−→ A ⊗ Y −−→ A ⊗ Z −−→ 0Module dẹt trái được định nghĩa hoàn toàn tương tự

Định lý 1.4 ([2], Mệnh đề 4.85) Cho vành R, và R-module phải C, ta cócác điều sau tương đương

1 C là R-module dẹt phải

2 Mọi dãy khớp

ε : 0 −−→ A −−→ B −−→ C −−→ 0λđều là khớp thuần khiết

Định lý 1.5 ([2], Mệnh đề 4.86) Cho vành R và dãy khớp các R-modulephải ε : 0 → A → B → C → 0 Ta có:

1 Giả sử B là module dẹt Khi đó, ε là khớp thuần khiết khi và chỉ khi

1) R là vành nửa hoàn hảo phải.

2) R/J (R) là vành nửa đơn và mọi lũy đẳng x + J (R) của R/J (R) đều

có dạng e + J (R) với e là một lũy đẳng của R

3) R có một hệ lũy đẳng trực giao e1, e2, , en với mỗi eiRei là vànhđịa phương

4) Mọi R-module phải đơn đều có phủ xạ ảnh

Mệnh đề 1.13 ([7], Mệnh đề 28.4) Cho vành R, và J (R) là căn Jacobsoncủa R Ta có các điều sau là tương đương:

1) R là vành hoàn hảo phải

2) R/J (R) là vành nửa đơn và J (R) là T -lũy linh phải

3) R/J (R) là vành nửa đơn và mọi R-module phải khác không đều cómodule con tối đại

4) Mọi R-module dẹt phải đều là module xạ ảnh

5) R không chứa bất kì hệ lũy đẳng trực giao vô hạn nào và mọi module phải khác không đều chứa module con tối tiểu

Trong trường hợp n=1, ta sử dụng kí hiệu T or(A, B).

Định lý 1.15 ([1], Định lý 2, trang 155) Nếu A hay B là R-module xạảnh thì T orRn(A, B) = 0, n ≥ 1

Định lý 1.16 ([1], Định lý 5, trang 160) Với mọi R-module phải A vàmọi dãy khớp ngắn bất kỳ các R-module trái:

Chứng minh Theo Định lý 1.17, với mọi R-module trái B, ta có dãy khớp: → T orn(A0, B) → T orn(A, B) → T orn(A00, B) → T or2(A00, B) →

T or(A0, B) → T or(A, B) → T or(A00, B) → A0⊗B → A⊗B → A00⊗B → 0Theo [1], trang 170, nếu A00 và A0 là module dẹt thì T or(A00, B) = 0 và

T or(A0, B) = 0 Do dãy trên là khớp suy ra T or(A, B) = 0 Do đó A làmodule dẹt

Nếu A00 và A là module dẹt thì T or2(A00, B) = 0 và T or(A, B) = 0 Dodãy trên là khớp suy ra T or(A0, B) = 0 Do đó A0 là module dẹt

Định nghĩa 1.19 Cho A là R-module phải và

X : −−→ Xn+1 −−→ Xn −−→ Xn−1 −−→ −−→ X0 −−→ A −−→ 0

là phép giải xạ ảnh bất kỳ của A

Gọi X là phép giải thu gọn tương ứng với phép giải xạ ảnh X

Với mỗi R-module trái B ta có dãy nửa khớp:

Hom(X, B) : 0 −−→ Hom(X0, B) −−→δ Hom(X1, B) −−→

−−→ Hom(Xn, B) −−→ Hom(Xδ n+1, B) −−→

trong đó δ = Hom(∂, 1B) Với mỗi số nguyên dương n, nhóm đối đồng điều

Hn(Hom(X, B)) được gọi là tích mở rộng n-chiều trên R của các module

A và B đã cho và được ký hiệu là ExtnR(A, B)

Trong trường hợp vành R đã rõ, ta sẽ viết gọn là Extn(A, B)

Với n = 1 ta dùng kí hiệu Ext(A, B)

Định lý 1.20 ([1], Định lý 1, trang 163) Nếu R-module trái A là xạ ảnhthì ExtnR(A, B) = 0 với mọi số nguyên dương n và với mọi R-module tráiB.

Định lý 1.21 ([1], Định lý 2, trang 163) Nếu R-module trái B là nội xạthì ExtnR(A, B) = 0 với mọi số nguyên dương n và với mọi R-module tráiA

Định lý 1.22 ([1], Định lý 5, trang 168) Nếu A là module trái trên vành

R và

0 −−→ B0 −−→ B −−→ B00 −−→ 0

là một dãy khớp ngắn các module trái trên vành R thì ta có dãy khớp:

−−−→ Ext n (A, B00) −−−→ Extn+1(A, B0) −−−→

Định lý 1.23 ([1], Định lý 6, trang 168) Nếu A là module trái trên vành

R và

0 −−→ A0 −−→ A −−→ A00 −−→ 0

là một dãy khớp ngắn các module trái trên vành R thì ta có dãy khớp:

Extn(A, B) ∼= Extn−1(M, B), n > 1

Ext(A, B) ∼= Coker[Hom(f, i)]

1.4 Giới hạn tới, giới hạn ngược

Định nghĩa 1.25 Cho I là một tập với ≤ là quan hệ tiền thứ tự trên I(nghĩa là ” ≤ ” là quan hệ phản xạ và bắc cầu) và C là một phạm trù.Một hệ thống tới trong C với tập chỉ số I là một hàm tử F : I → C Nghĩa là với mỗi chỉ số i ∈ I có một vật Fi ∈ C và với i ≤ j, i, j ∈ I, tồntại ϕij : Fi → Fj sao cho:

1) ϕii : Fi → Fi là cấu xạ đồng nhất với mọi i ∈ I

2)Nếu i ≤ j ≤ k thì biểu đồ sau giao hoán:

Ký hiệu F = {Fi, ϕij|i, j ∈ I}

Định nghĩa 1.26 Cho F = {Fi, ϕij} là một hệ thống tới trong phạm trù

C , giới hạn tới của hệ thống này, kí hiệu là lim

→ Fi là một vật, và một họcác đồng cấu αi : Fi → lim

→ Fi thỏa mãn:

1) Với mọi i, j ∈ I, i ≤ j thì αi = αjϕij

2) Với mọi vật X và một họ các đồng cấu fi : Fi → X thỏa mãn

fi = fjϕij(i ≤ j), tồn tại duy nhất đồng cấu β : lim

Định lý 1.27 ([3], Định lý 2.16) Giới hạn tới của hệ thống tới các module{Fi, ϕij} tồn tại.

Định nghĩa 1.28 Cho I là một tập với ≤ là quan hệ tiền thứ tự trên I(nghĩa là ” ≤ ” là quan hệ phản xạ và bắc cầu) và C là một phạm trù.Một hệ thống ngược trong C với tập chỉ số I là một hàm tử phản biến

F : I → C Nghĩa là với mỗi chỉ số i ∈ I có một vật Fi ∈ C và với i ≤ j,

i, j ∈ I, tồn tại ψji : Fj → Fi sao cho:

1) ψii : Fi → Fi là cấu xạ đồng nhất với mọi i ∈ I

2) Nếu i ≤ j ≤ k thì biểu đồ sau giao hoán:

Ký hiệu F = {Fi, ψij|i, j ∈ I}

Định nghĩa 1.29 Cho F = {Fi, ψji} là một hệ thống ngược trong phạmtrù C , giới hạn ngược của hệ thống này, kí hiệu là lim

← Fi là một vật, vàmột họ các cấu xạ αi : lim

← Fi → Fi thỏa mãn:

1) Với mọi i, j ∈ I, i ≤ j thì αi = ψijαj

2) Với mọi vật X và một họ các cấu xạ fi : X → Fi thỏa mãn fi =

ψjifj(i ≤ j), tồn tại duy nhất cấu xạ β : X → lim

← Fi làm cho biểu đồ saugiao hoán:

Định lý 1.30 ([3], Định lý 2.22) Giới hạn ngược của hệ thống ngược cácmodule F = {Fi, ψji} tồn tại.

1.5 Bao và phủ

Cho vành R, X là một lớp các R-module phải Giả sử rằng X thỏa cácđiều kiện sau:

1)X là đóng đối với tổng trực tiếp hữu hạn Nghĩa là với mọi M1, M2, , Mn

là R-module phải thỏa mãn Mi ∈ X thì i=1L

n

Mi cũng thuộc X 2) Nếu M = N ⊕ L ∈X thì N, L ∈ X

Khi đó, ta có những định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.31 Cho R-module phải MR Khi đó, R-module phải XR ∈

X được gọi là bao X của MR nếu tồn tại đồng cấu ϕ : M → X thỏa cácđiều kiện sau:

1) Với mọi đồng cấu ϕ0 : M → X0 thỏa mãn X0 ∈ X , tồn tại đồngcấu f : X → X0 sao cho f ϕ = ϕ0 Hay nói cách khác, tồn tại đồng cấu

f : X → X0 làm cho biểu đồ sau giao hoán

M

ϕ0

ϕ //Xf

X02) Nếu tồn tại tự đồng cấu g của X thỏa mãn gϕ = ϕ thì g phải là tựđẳng cấu của X

Định nghĩa 1.32 Cho R-module phải MR Khi đó, R-module phải XR ∈

X được gọi là phủ X của MR nếu tồn tại đồng cấu ϕ : X → M thỏa cácđiều kiện sau:

1) Với mọi đồng cấu ϕ0 : X0 → M thỏa mãn X0 ∈ X , tồn tại đồngcấu f : X0 → X sao cho ϕf = ϕ0 Hay nói cách khác, tồn tại đồng cấu

f : X0 → X làm cho biểu đồ sau giao hoán.

Ngoài những định nghĩa trên, ta còn có một số khái niệm liên quansau: nếu có R-module phải XR ∈ X sao cho tồn tại đồng cấu ϕ : M → Xthỏa điều kiện 1) trong Định nghĩa 1.31(có thể không thỏa điều kiện 2)),thì XR ∈ X được gọi là tiền bao X của MR Tương tự, nếu có R-modulephải XR ∈ X sao cho tồn tại đồng cấu ϕ : X → M thỏa điều kiện 1)trong Định nghĩa 1.32(có thể không thỏa điều kiện 2)), thì XR ∈ X đượcgọi là tiền phủ X của MR

Module Σ-đối xoắn và thuần khiết mạnh

Định nghĩa 2.1 Cho vành R có đơn vị, khi đó:

1) R-module phải CR được gọi là module đối xoắn nếu Ext(F,C)=0,với mọi R-module dẹt phải FR Nếu RR là module đối xoắn thì ta gọi R

là vành đối xoắn phải

2) R-module phải MR được gọi là Σ-đối xoắn nếu với mọi tập chỉ số

I, tổng trực tiếp M(I) là module đối xoắn Nếu RR là module Σ-đối xoắnthì ta gọi R là vành Σ-đối xoắn phải

Ta có một số ví dụ về module đối xoắn:

Ví dụ 2.2 Module nội xạ là module đối xoắn

Ví dụ 2.3 Module nội xạ thuần khiết là module đối xoắn

Ví dụ 2.4 Cho MR là R-module phải, F (M ) là phủ dẹt của MR và

p : F (M ) → MR là đồng cấu tương ứng Khi đó, ta có Kerp là R-modulephải đối xoắn ([4, Ví dụ 1.4])

Bổ đề 2.5 Cho vành R, MR là R-module đối xoắn Với mỗi tập chỉ số I,

ký kiệu M(I) là tổng trực tiếp tương ứng Nếu bao đối xoắn CR = C(M(I))của M(I) có phân tích

C = C0 ⊕ C”,

18

thỏa mãn | I |>| C0 ||M |, thì M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp củaC”.

Chứng minh Với mỗi i ∈ I, ta kí hiệu fi : M → M(I) là phép nhúng

và Mi = imfi Gọi p : C → C0 là phép chiếu tương ứng với phân tích

C = C0 ⊕ C”, ta xét ánh xạ g : i 7→ pfi : M → C0 đi từ tập chỉ số Iđến (C0)M là tập hợp tất cả các ánh xạ từ M đến C0 Theo giả thiết,

ta có | I |>| C0 ||M |=| (C0)M |, do đó g không thể là đơn ánh Suy ratồn tại i, j ∈ I, i 6= j, sao cho pfi = pfj, hay p(fi − fj) = 0, dẫn đếnIm(fi − fj) ⊂ C” Ta có dãy khớp sau:

0 //M fi−fj//Mi⊕ Mj //Mi ⊕ Mj/M //0

xét pi : M(I) → Mi là phép chiếu tự nhiên, ta có pi(fi − fj) = 1M Do đóIm(fi − fj) là hạng tử trực tiếp của Mi ⊕ Mj và đẳng cấu với M Mặtkhác, dễ thấy rằng C là tiền bao đối xoắn của Mi ⊕ Mj, suy ra Mi ⊕ Mj

là hạng tử trực tiếp của C Tóm lại, ta đã chứng minh được M đẳng cấuvới hạng tử trực tiếp của C

Mệnh đề 2.6 Cho M là R-module đối xoắn khác không Giả sử tồn tạilực lượng ℵ sao cho với mọi κ, bao đối xoắn C(M(κ)) có thể phân tíchthành tổng trực tiếp của các module có lực lượng không quá ℵ Khi đó MR

là module Σ-đối xoắn

Chứng minh Xét ℵ ≥ |M | + ℵ0 là lực lượng thỏa điều kiện và κ > 2ℵ

i∈Iα

Ci của

C có một hạng tử trực tiếp đẳng cấu với M Khi đó, xét tổng trực tiếp

ℵ bản sao của M , ta có M(ℵ) đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của C.Hơn nữa, ta có thể lấy ℵ lớn tùy ý, do đó M là Σ-đối xoắn Để kết thúcchứng minh, ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của Iα:

• α = 0: Với pi : C → Ci là phép chiếu, ta định nghĩa I0 := {i ∈ I :

pi(M ) 6= 0} Khi đó, do ℵ ≥ |M |, nên |I0| ≤ ℵ.ℵ0 = ℵ Hơn nữa, M

i / ∈∪Iβ Ci đẳng cấu với

M Khi đó, ta chỉ cần xác định Iα tương tự như trường hợp trên

Nhận xét 2.7 1) Do hàm tử Tensor là hàm tử khớp về bên phải, nên

m : MR → NR là đơn cấu thuần khiết khi và chỉ khi với mọi R-moduletrái RX, tích tensor m ⊗R X : MR ⊗R X → NR ⊗R X cũng là đơn cấu.2) R-module M là nội xạ thuần khiết khi và chỉ khi với mọi f : S → N

là đơn cấu thuần khiết và g : S → M là đồng cấu bất kỳ, thì g mở rộngđược đến N Nghĩa là tồn tại đồng cấu g0 : N → M thỏa mãn g0f = g.3) Cho vành R Khi đó, m : MR → NR là đơn cấu thuần khiết khi vàchỉ khi với mọi U là R-module nội xạ thuần khiết, và đồng cấu f : M → Uthì f mở rộng được tới N Ta chỉ cần chứng minh chiều nghịch Theo [8,Mệnh đề 2.3.8], tồn tại P E(M ), P E(N ) lần lượt là bao nội xạ thuần khiếtcủa M và N Hơn nữa, M còn là module con thuần khiết của P E(M ).Bây giờ ta xét biểu đồ sau:

là tiền bao nội xạ thuần khiết của M Dẫn đến, P E(M ) là hạng tử trực

tiếp của P E(N ) nên là module con thuần khiết của P E(N ) Mặt khác,

M là module con thuần khiết của P E(M ) suy ra M cũng là module conthuần khiết của P E(N ) Cuối cùng, do N là module con thuần khiết của

P E(N ) nên M là module con thuần khiết của N

Định nghĩa 2.8 Cho vành R, MR là R-module phải, ta có các định nghĩasau:

1) Đơn cấu m : MR → NR được gọi là đơn cấu thuần khiết mạnh nếumọi đồng cấu f : MR → CR với CR là module đối xoắn đều mở rộng đượcđến N Khi đó, m(MR) được gọi là module con thuần khiết mạnh của NR.2) Đơn cấu m : MR → NR được gọi là đơn cấu F -thuần khiết nếu

FR = N/M là module dẹt Khi đó, m(MR) được gọi là module con F thuần khiết của NR

-Nhận xét 2.9 Dễ thấy rằng mọi đơn cấu F -thuần khiết và đơn cấu chẻ

là đơn cấu thuần khiết mạnh Hơn nữa, xét m : FR → GR là đơn cấuthuần khiết với FR là module dẹt Khi đó, nhận xét thấy rằng m là đơncấu F -thuần khiết nên là đơn cấu thuần khiết mạnh

Định nghĩa 2.10 Cho vành R, và m : MR → NR là đơn cấu thuần khiếtmạnh Khi đó, m được gọi là đơn cấu thuần khiết mạnh cốt yếu nếu vớimọi đồng cấu f : NR → XR thỏa mãn f m là đơn cấu thuần khiết mạnhthì f cũng là đơn cấu thuần khiết mạnh

Nếu MR là module con của NR, và m : MR → NR là phép nhúng thì

NR được gọi là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của MR Dễ thấy rằng,nếu NR là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của MR, và KR là mở rộngthuần khiết mạnh cốt yếu của NR, thì KR là mở rộng thuần khiết mạnhcốt yếu của MR

Nhận xét 2.11 Cho vành R, MR là R-module phải, và NR là mở rộngthuần khiết mạnh cốt yếu của MR Khi đó, không tồn tại module con SR

khác không của NR sao cho S ∩ M = 0 và M ⊕SS là module con thuần khiết

mạnh của NS Thật vậy, xét f : NR → XR là đồng cấu thỏa mãn f m làđơn cấu thuần khiết mạnh, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f

là toàn cấu, nghĩa là f : NR → XR w kerfN là đồng cấu chiếu Ta ký hiệu:

• E(N, M ) = {S|S ⊂ N, S ∩M = 0 và M ⊕SS là module con thuần khiếtmạnh của NS}

• ϕ = {f |f : N → kerfN , f m là đơn cấu thuần khiết mạnh }

Bây giờ ta xét các ánh xạ:

• g : E(N, M ) → ϕ sao cho g(S) = f với f : N → N/S là phép chiếu

• g0 : ϕ → E(N, M ) sao cho g0(f ) = kerf

thì dễ thấy gg0 = g0g = 1 Từ đó thấy rằng, nếu f là đơn ánh thìE(N, M ) = 0 và ngược lại

Định lý 2.12 Cho vành R và MR là R-module phải Ta có các điều sau:1) Bao đối xoắn C(M ) là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu tối đạicủa M Hơn nữa, m : MR → C(M ) là đơn cấu F -thuần khiết và duy nhấttheo nghĩa đẳng cấu

2) Nếu NR là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của MR, thì phépnhúng i : MR → NR là đơn cấu F -thuần khiết Hơn nữa, nếu NR ⊂ C(N )

là bao đối xoắn của NR thì C(N ) cũng là bao đối xoắn của MR

3) Nếu M ⊂ N ⊂ C(M ) và phép nhúng i : MR → NR là đơn cấu

F -thuần khiết thì NR là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của MR.Chứng minh 1) Trước hết, ta chứng minh C(M ) là mở rộng thuần khiếtmạnh cốt yếu của M Gọi f : C(M ) → X là đồng cấu bất kỳ thỏa mãn

f m là đơn cấu thuần khiết mạnh, ta xét biểu đồ sau:

C(M )