Đánh giá lớp phép biến hình á bảo giác lên hình vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay 3

Luận văn thạc sĩ chuyên ngahf Toán giải Tích -chuyên đề :Đánh giá lớp phép biến hình á bảo giác lên hình vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay

CHUaNG 2

CAC CONG CT)

Trang chuang nay, chung toi lieU mQt s6 dinh Iy, b6 d~ va cac h~ qua dn

thi€t cho vi~c danh gia cac d<,tiluQng hlnh hQc d6i vdi cac lOp ham F va G 2.1 nilt diing thuc Carleman, cae h~ qua va md r{)ng

n6 d~ 2.1: (nilt diing thuc Carleman)

Gia stt w=fez) la mQt PBHBG don di~p hlnh vanh khan

A={zl(O<)r<lzl<R«oo)} leu mQt mi~n nhi lien D khong chua di€m 00 vdi bien trang C1 va bien ngoai C2 san cho Izl= R tuong ling vdi C2 GQi S la di~n

tich (trong) cua t~p md do C2 ban bQc, s la di~n tich (ngoai) cua t~p dong do C1

ban bQc Khi do, ta co:

D~ng thuc xay fa khi va chi khif(z) = az +b vdi a,b la hling s6 va a:;t:O.

w=f(z)

~

A

w z

Hlnh2.1 Chung minh: Xem [4, tr 212].

H~ qua 2.1: (Dinh nghia modun mi~n nhi lien)

Gia sa mi~n nhi lien D qua cac PBHBG / va 1; l~n hiQt bie'n leu hai hlnh

vanhkhan H={wlr<lwl<R} va H] ={w]h <IW11<R1}thl

R = RI

Ti' s6 nay duQc gQi la m6dun cua mi~n nhi lien D va duQcky hi~u la

mod(D)

Chung minh:

/

~

1;

~

O~

R]

ffinh 2.2

Xet PBHBG j:j;-I mi~n HI leu mi~n H, rhea b6 d~ 2.1, ta co

ffR' ~ [ ~'Jffr'

TucJngrtf, ta xet PBHBG 1;0/-] mi~n H ten mi~n H], rhea b6 d~ 2.1, ta co

[ )

2

1rRl 2 -; 1r1J

Tli (2.2a) va (2.2b), suy fa (2.2)

H~ qua 2.2: (Tinh ba't bie'n cua modun mi~n nhf lien)

Ne'u mi~n nhi lien A eo cae thanh phffn bien kh6ng thocii boa thanh mQt

di6m du<;1ebie'n baa giae don di~p len mi~n nhi lien B thl

Chung minh:

g

HI

w

Rz

Hinh 2.3

GQi f la PBHBG don di~p mi~n A len mi~n B X6t g la PBHBG don di~p

mi~n A !en hlnh vanh khan HI={sh< Isl< RI} va h la PBHBG don di~p mi~n

Bien hlnh vanh khan Hz = {tlrz < ItI< Rz}.

Thea h~ qua 2.1, ta eo:

mod(A) = RI va mod(B) = Rz

D~t cp= hf thl cpla PBHBG don di~p mi~n A len hlnh vanh khan Hz.

Theo h~ qua 2.1, ta eo:

mod(A) = Rz va Rj - Rz

rz lj rz

V~y ta eo mod(A) = mod(B)We(2.3)

H~ qua 2.3: (Tinh don di~u cua modun mi~n nhi lien)

Trang m~t ph&ng z cha hai mi~n nhi lien A va B vdi modun tu'dng ung

la R va R] , co Hnh cha't A c B va A ngan cach hai thanh philo bien cua B.

r lj

Khi do, ta co:

R Rl

-~-.

D&ng thuc xay ra khi va chi khi A = B.

Chung minh:

w=f(z)

~

R

Hinh 2.4

VI mod(B) = RI Den t6n t!;liPBHBG ddn di~p f mi~n BIen hlnh vanh

lj khan 11={wi'i <!wi < R1} Khi do, qua phep bie-n hlnh f mi~n A trd thanh mi~n

nhi lien Avdi mod(A)=R co bien trong la C] va bien ngaai la Cz saD cha C] r

baa quanh ha~c trung vdi !wi=1j vaIwl=Rl baa quanh ha~c trung vdi Cz GQi S

la di~n rich (trong) cua t~p md da Cz baa bQc, s la di~n rich (ngaai) cua t~p

dong da C1 baa bQc.

Khi do, ta co:

Vi mod(A) = R nen t6n t(;liPBHBG don di~p g mi~n r A leu hlnh vanh

khan D ={tIr 5, It 1 5, R}.

Ap dl,mgb6 d~ 2.1 cho PBHBG w=g-) (t), ta co:

trong do d~ng thuc xay ra khi va chI khi g-) (t) =at+b vOi a, b la hang s6, a;t:o.

Tuc A la hlnh vanh khan.

Ti'i cac k€t qua tren, ta co:

(~ J < ~(:J.

Ti'i do suy ra (2.4)

f)~ng thuc (j (2.4) xay ra khi va chI khi cac d~ng thuc (j (2.4a), (2.4b) va (2.4c)

cungxayra,tucA=B

hayA=B-B6 d~ 2.2: (Md r{)ng bilt diing thuc Carleman bdi Thao[12, tr 521])

A={zl(0 <) r < Izi< R (< oo)} leu mQt mi~n nhi lien D khong chua di€m 00 vdi bien trong c) va bien ngoai C2 sao cho Izi= R tu'ong ling vdi C2 GQi S la di~n

tich (trong) cua mi~n do C2 baa bQc, s la di~n tich (ngoai) cua t~p dong do C) baa bQc Khi do, ta co:

2

D~ng thuc xay ra khi va chI khi fez) =alzr~.-I+b vdi a,b la h~ng s6 va a ~o.

Chung minh: Xem [12, tr 521], [17, tr 13-14]

2.2 Md r{)ngcae bitt diing thuc Grotzsch va Kiihnau

B6 d~ 2.3: (Bitt diing thuc Grotzsch 1)

Gia sa w=fez) la PBHBG ddn di~p hlnh vanh khan H ={zl(O ~)r <lzl <1}

leu mi~n nhi lien D vdi bien ngoai Iwl=1va bien trong c, sao cho mi~n gidi h~n boi c luau chua hlnh troll Iwl<s,(s<r) Ki hi~u M={MaxlwllwEC} va gia sa

rang tren C cop diem Wk = Me P ,( k = O,1, ,p-1).

Khi do, ta co:

trong do d~ng thuc xay ra khi va chi khi f =fo la mQt PBHBG ddn di~p hlnh vanh khan H={zl(O<)r<lzl<1} leu mi~n nhi lien

D ={wi s < Iwl < 1} , (0 s s < r < 1) bi c~t boi p do~n thang2

Lj ={w s:>!wI :>/,argw ~ 2;j },(o:> s < / <1),j ~ 1,2,. ,p.

Chung minh: Xem [6, tr 372] hay [19, tr 18 -20]

B6 d~ 2.4: (Md r{)ng bitt diing thuc Grotzsch 1 bdi Thao[13, tr 63])

Gia sa A la hlnh vanh khan R<lzl<1 vdi pn,(p=1,2, ;n=O,1,2, ) nhat

c~t cung troll d6ng tam 0 sao cho A trung vdi chinh no boi phep quay z=ze P

GQi f la PBHKABG mi~n A leu mi~n B n~m trong 0 < Iwl< 1 sao cho dliong troll Iz 1= R tlidng ling vdi bien trong C giOi h~n mQt t~p dong chua g6c tQa dQ, du'ong troll Iz 1= 1 tu'dng ling bien ngoai C cua B Hdn nii'a gia thi€t B trling

2~i

vdi chinh no boi phep quay;:;:'= we P

Khi do, ta co:

vdi M = max{lwl,WEc}, m =min{lwl, WEc}, 0 ~ m ~M < 1.

Ding thuc xay ra khi va ChI khi w=f(z)=ah(u),lal=l,u=bzlzlt-I,lbl=l, h

la PBHBG don di<$phlnh vanh khan R* < lul< 1 ten mien nhi lie~ sao cho

lul= ltu'ong ling vdi bien ngoai C ={wllw\=I}, con lul=R* tu'ong ling vdi bien

Chung minh: Xem [13, tr 63] hay [19, tr 33 - 35]

Nho phep bien d6i z = Q va W = ml ,b6 de 2.4 trd thanh

H~ qua 2.4:

Giasa A lahlnhvanhkhan Q<lzl<R bic~tbdi pn,(p =1,2, ;n=0,1,2, )

2/T'

cung troll d6ng tam 0 sao cho A trung vdi chinh no bdi phep quay; =ze P Gia

sa f la PBHKABG mien A ten mien B nam trong 0 <Iwl < 00 sao cho Iz I=Q tu'ong ling vdi bien trong C] baa g6c tQa dQ, du'ong troll Iz1= R tu'ong ling bien

ngoai C2 cua B Hon nua gia thiet B trung vdi chinh no bdi phep quay

2/T'

P

Khi do, ta co:

m2 2::

[ (

;1

) *,!!!L

J

'

T p, R M2

(2.8)

vdi M2 = max{lwl, WE C2}, mj = min{lwl, WE Cj },j =1,2.

B~ng thuc xay fa khi va chi khi w= f(z) = ah(u),Ial = I,u = bzlzlt-),Ibl= 1, h la PBHBG hlnh vanh khan Qt < lul< Rt len mi~n nhi lien E saD cho lul= Qt tu'ong

c, ~ {wI1wi ~ M,} u{wllwl ~ m, ,; w,; M"argw ~ 2;j ,j ~ 1, ,P}.

Chung minh: Xem [13, tr 64] hay [19, IT.35 - 36]

Be}d~ 2.5: (Ba't diing thuc Grotzsch 2)

Gia sa w=fez) la PBHBG don di~p hlnh vanh khan A ={zl(O<)r < Izi<I}

len mi~n nhi lien B n~m trong hlnh troll Iwl= 1, c6 bien ngoai C2 Ia du'ong troll

Iwl =1 va bien trong c) saDcho Izl =1 tu'ong ling voi C2

Khi d6, du'ong kinh D cua c) thoa

trong d6 D = Dokhi va chi khi c) la do~n th~ng nh~n w=0 lam trung di~m

Chung minh: Xem [8, tr 220]

Be}d~ 2.6: (Ba't diing thuc Grotzsch 2 md rQng)

Gia sa w=f(z) la PBHKABG hlnh vanh khan A={zl(O<)r<lzl<R} len

mi~n nhi lien B c6 bien ngoai C2 va bien trong c) saD cho Izl= R tu'ong ling voi C2 B~t M =max{IwllWE C2} Khi d6, du'ong kinh D cua c) thoa

D';Do ~2MTH~rol

(2.10)

trong d6 D = Do khi va chi khi w = fo(;) voi; =azlzl-t-] ,Ial=1 va fo la PBHBG don di~p hlnh vanh khan A=FIr-t <1;1< R-t} len hlnh troll Iwl< M bi ciit dQc

do~n th~ng nh~n w=0 lam trung di~m saD cho 1;1=R-t tu'ong ling voi Iwl= M

Chung minh:

.: Tru'ong hQp 1: K = 1, C2 trung voi du'ong tron Iwl=M

w=j(z)

~

R

B

(]

Bo

Hinh 2.5

Chi dn thljc hi~n cac phep co dan ; = ~ va ; = ; , d~ dang du'a tru'ong

h<,Jpnay ve tru'ong hQp cua b6 de 2.5 voi mien A thay bdi A={;I ~ < 1;1< I} va

B thay bdi l3 nQi tie'p trong hih tron 1;1< 1 Trd ve cac bie'n z va w ta thu du'Qc (2.10) vdi K = 1 cling ke't lu?n cho D = Do'

.: Tru'ong hQp 2 : K = 1, C2 Ia bien ngoai ba't kl cua B

GQi l3 la mien nhi lien chua B co bien ngoai la !wi= M, bien trong Hi C].

Do tinh don di~u cua m6dun mien nhi lien (xem h~ qua 2.3) , ta co:

mod(B) ~ mod(B).

Theo h~ qua 2.2, ta co:

mod(B) = R.

r

M~t khac, gia sa l3 co modun

mod(l3) = ~ r

r r

-<-l?- R'

Thea tinh chfft don di~u (1.17) cua ham ph\) T(p,r,s), ta co:

T[ 2, ~,O)~T(2, ~,O}

~

(2.lOa)

,/

:

'''' - --

-R

Or

CIG

Hinh 2.6

Ap d\)ng tfu'ong hQp 1, ta co:

DQMT(2, ~,o J

Ke't hQp voi (2 lOa), suy fa

D:; Do= 2MT( 2, ~, 0).

Tuc (2.10) vOi K = 1.

w

M B

.: Tru'ong h<;lp3 : K ~ 1, C2 la bien ngoai ba't ld cua B

~

A

R

~,

,/

:

'- \ J ,"

"""'

~~ Or

" '\ l»I

O~

u

Hinh 2.7

Mi~n nhi lien B co th~ bie"n baa giac ddn di~p bdi u=g(w) len hlnh vanh

khan BI={ulo < fJ < lul< Rj} sao cho C2 tu'dng ung voi lul=RI'

Ap dl;mg tru'ong h<;lp2 cho PBHBO w=g -I (u) hlnh vanh khan B( leu mi~n

B , ta co:

DSlMT( 2,~,0).

(2 lOb)

M~t khac, hlnh vanh khan Bj co th~ xem la anh cua hlnh vanh khan A qua phep bie"nhlnh h<;lpcua PBHKABO f voi PBHBO g, tuc qua PBHKABO gof.

Do do, theo (1.2), ta co:

~ (

r

)

* -<

Hdn nii'a, theo Hnh cha't ddn di~u (1.17) cua ham phl,l T(p,r,s), ta co:

B6 d~ 2.8: (Ba't diing thuc Kiihnau md rQng)

Trang m~t ph&ng z cho mQt hlnh v~lllhkhan A={zl(0 <)r < Izl< R} G<;>i

w = f( z) Ia PBHKABG bie'n mi€n A Ien mi€n nhi lien B co bien ngoai C va

bien trang c sao cho Izl= R tlidng ling vdi C G<;>iS Ia di~n rich (trong) cua mi€n

do bien ngoai C bao b<;>cva D la Quang kinh cua bien trong c.

Khi do, ta co:

S In(1- (2) ,

( (

r

)

t )

D&ng thuc xay ra khi va chi khi f(z)=fo(~)=bln(1-(~)+c,lbl=1 vdi

In(l- ( )

11

-1

~=a~zK-'

RR ,lal=1.

Chung minh:

w=f(z)

-.

z

R

de

AOr

w

s=g(w)

Q'i 1

B,

1

s

~

Hlnh 2.9

D§u lien, bi€n baa giac ddn di~p mi€n B boi s = g( w) leu hlnh vanh khan

BJ ={sl0 < fj < Isl < I}

San do, th\lc hi~n PBHBG u = h( s) hlnh vanh khan BJleu mi€n nhi lien B2 gioi h~n boi du'ong troll lul=1 va nh£it c~t L(t)={uIO<lul~t,argu=O}, O<t<l, saD cho Isl= 1 tu'dng ung voi /u/= 1 Theo dinh nghla ham ph1,1ta co fj = R"(I,t,O) hay t = T(l,fj,O).

Ap d1,1ngb6 d€ 2.7 cho ph6p bi€n hlnh hQp g-Joh-J mi€n B2 leu mi€n B, ta co:

Sln(1-t2) ".

D ~~I -1( ,VOl t = T (1,fj,0) (2.13a)

M~t khac, BJ co th6 xem la anh cua A qua PBHKABG f.g la hQp cua PBHKABG f va PBHBG g.

Do do, ta co:

~ ~(~r.

Theo (1.17) v€ tinh ddn di~u cua ham ph1,1T(p,r,s), ta suy ra

T(l,~,O)';TH~r ,0)

(2.13b)

K€t hQp (2.13a) va (2.13b) ta co (2.13) voi phat bi6u v€ tru'ong hQp d£ng thuc 8 2.3 Ba't diing thuc theo Iy thuye't de)dai ctfc tri

Ly thuy€t dQ dai c\lc tri b~t ngu6n tu mQt s6 cac ba"td£ng thuc lien h~ giii'a modun cua mQt tu giac hay mi€n nhi lien, di~n tich mi€n do va dQdai ng~n nha"tcua du'ong cong thuQc mQthQ du'ong trai trong mi€n do tinh theo mQt dQ do ba"tky du'QcAhlfors va Beurling[l] d€ xu'ong nam 1950 dfftro thanh cong C1;1huu hi~u d6 giai nhi€u bai loan t6i u'utrong Iy thuy€t hlnh hQc ham bi€n phuc

Trang m~t ph~ng z = x+iy, cho tu giac cong Q co cac dinh lfin Iu'Qtla A, B,

C va D Qua PBHBG don dit%pw=f(z)=u+iv, Q du'Qcbi€n ten hlnh chu nh~t

Q'={w=u+ivIO~u~a,O~v~b} co dinh tu'dng ling lfin Iu'QtIa A', B', C', D' sao cho A'B' = a; B'C' = b

GQi r Ia hQ cac du'ong cong r n6i hai canh d6i dit%nAB va CD cua tugiac cong Q, <Dla hQ cac ham de>do p=p(Z)~O,ZEQ sao cho dit%ntich cua tu giac

-cong Q theo de>do p la huu h~n, nghia Ia

Sp(Q)= Hp2(z}iS<+oo

Q

(2.14)

De>dai cua cac du'ong cong r theo de>do p du'Qctinh b~ng cong thuc

lp(r)= Jp(z)ldzl(~+oo),rEr,pE<D.

y

(2.15)

B6 d~ 2.9:

Vdi cac ky hit%unhu'tren, ta co:

Sp(Q)~al~ vdi lp=inflp(r), b yer (2.16)

d~ng thuc xay ra khi va chi khi p(z) = kif (z)l,z E Q,k = canst.

Chung minh:

Ta co

Sp(Q)= Hp2(z}iS= Hp2(z)dxdy

2 dudv atb p2 (Z) 1;/

= [fp (Z)jf'(zt = II !If'(z)12 dvJu

~

J

~

}

0

<: 7; A J I;'~~I dv J' du (Do ap d\lngBDT tich phiin Schwarzt cho hai ham

p(z) va 1 trendOc;ln[O,b])

If'(z)1

1oJ

J

2

=b dlJp(z)ldzl du

(ruIa nghich anh cua doc;lnth~ng u =canst, ~

0 ~ u ~ a, 0 ~ v ~ b ).

1 a

=b JI~(ru)du ~ a 120 b p'

Ding !hac a(2.15) xaYfa khi va chi khi II I~gifta hai ham I;'~;)I va I la hang

sf), d6ng thai Ip(ru)=lp voi mQi ru,(O~u~a)<=> p(z)=kl/(z)l,k=const,zEQ ,

vi khi d6 Ip(ru)= Jp(z)ldzl=k JI/(z)lldzl=kb=lp voimQi uE[O,a] .

B6 d~ 2.10:

Trang m~t ph~ng w cho mQt tu giac cong Bo c6 hai cc;lnhn~m tren hai

duang troll Iwl=cva Iwl=d,O<c<d B~t O<O(r)= Jldlpl~Oo(~2Jl"), trong d6

c,

<p= argw, Cr= Bon{wllwl= r} va gia sa O(r) kha tich tren doc;ln[c,d].

Gia sa z = g(w) la PBHKABG mi6n Bo len mi6n 40cua m~t ph~ng z

Ta d~t Cr = g(Cr) , 0 < c ~ r ~ d < +00.

Hon mIa, gia sa p = p(z) ~ 0 duQc xac dinh trong 40 saD cho

1p ( Cr) = fp(z) Idz I~ 00, c ~ r ~ d

c,

va Sp (.40)= Hp2 (z)dxdy < oo,Z= x+iy t6n tc;li

A

theo nghla Lebesgue Ngoai ra Ip( Cr) ~ I~,c ~ r ~ d.

Khi do, ta co:

1 2d

J

dr Sp(Ao)~ K(l~) crO(r)"

(2.17)

Chung minh:

GQi dS la vi phan cua Sp (Ao) tu'dng ling voi [r,r +dr] c [c,d] , tuc dS xa'p

"

Xl dt theo dQ do p(z) cua anh mi€n D=Bo n{wlr < Iwl< r +dr} bdi z= g( w) Do dr(> 0) ra't be va O(r) kha tich tren [c,d]co th€ thay D bdi

15= Bon{wlr <Iwl< r+dr,a < arg(w) < a+O(r)} voi a la argumen cua mQt dlnh tu

giac cong 15n~m tren Iwl =r

Ham t=Inw bie"nmi€n 15 len hlnh chii'nh~t voi cac q.nh

I r + dr I

(

dr

)

dr 'n

-I' n-= n 1+- ~- va,!,,!; r. lv(;J.ymo uncuatuglaccong a

dr

dr

mod(15) = O(r) = r.O(r)

Theo [ 3, tr 19], ta co:

(0)

2

d/

(

~

) /

dS ~ K rO r( ) Ip ~ K rO r( ) I p , trong 0 I p = I p Cx VOl r < x < r + dr

La'y tich phan hai ve"tren [c,d] ta du'cjc(2.17)

2.4 Cae b6 d~ khae

B6 d~ 2.11: (Bie'n hai du'ong troD l~ch tam thanh hai du'ong troD d6ng tam)

Ne"u A la mi€n nhi lien gioi h(;J.nbdi hai du'ong troll Izi= 1 va Iz- hi= lj voi

0 < h < 1, 0 < lj < (1- h) du'cjc bie"n baa giac ddn di~p len hlnh vanh khan r < Iwl< 1

thl

r = r(r),h)= 1- h2 +r)2 -~(1- h2 - r/ Y -4h2r)2

Truong hQp A la mien nhi lien gioi h~n bdi Izl= r2 va Iz- hi = r) voi

0<h<r2,0<rl <r2 -h thi

r = r(rl'r2,h) = r22-h2 +r/ -~(r22 -h2 -r/Y -4h2r12

2r)r2

(2.19)

Chung minh: Xem [18, tr 20 -22]

B6 d~ 2.12: ("D~o ham" cua ham ngtiqc cho PBHKABG)

Voi cae ki hi~u d phfin 1.2, giii saW =f (z)laPBHKABG cua mien chua

z=O voi f(O)=O va m'(O,f»O.

f)~t g = I-I , ta co:

I

m '(0,f) = M* (o,gfX,

I

M'(O,f) = m*(o,gfX.

(2.20) (2.21) Chung minh:

Lfty R>O du be , d~t CR ={zllzl=R}va C~ =/(CR), r6 rang t6n t~i

m(R,f)=lw)I=lf(z))I=r, r>O.

f)~t Lr ={wllwl=r} va Lr =g(Lr)

Vi Lrn~mtrong Izl~R,taco M(r,g)=lg(w))I=lzII=R.

Dodo

I '

(0 1) =1 " m(R,f) = 1" r =1.

[

M(r,g)

]

-X = M* (O )-t

( )- r->O r

Tudng tlf, lfty R>O du be , d~t CR={zllzl=R}va C~ =f(CR), r6 rang t6n

M(R,f)=lw21=lf(z2)I=r, r>O.

B~t L, ={wllwl=r} va I, =g (L,)

VI Izl= R nflm trong t~p dong gioi h(;ln bdi I" ta co:

m(r,g) =lg(wz)1=lz21= R.

I

Dodo M'(O,f)=limM(R;f)=lim r -'- =lim

[ m(r;g) ] -K=m*(O,gft

,~O RK ,~O m(r,g)K ,~O r

H~ qua 2.5:

Cho K = 1, ta co m'(O,f) = If'(o)1 va M* (O,g) =lg'(O)I. Luc do

m'(O,f) = M* (O,gft trd thanh cong thilc quell thuQc If'(O)1=lg'(OfI (2.22)

2.5 Cae daub gia eho lop ham F

BS xay d1!ng cac danh gia cho lOp ham G ta c~n cac danh gia duoi day

cho lOp ham F , tilc lOp ham nguQc cua lOp ham G .

Dfnh Iy 2.1:

Duoi cac ky hi~u va giii thie"t d ph~n 1.2, voi mQi f E F, z E A, z *-0,z *-00,

0 < R <00, ta co:

S'(O,f)~l,

PSI ~(l-S'(O,f))1Z"Rt,

S'(O,f)1Z"RK ~ S(R,f) ~1Z"RK,

(2.23) (2.24)

1

m(R,f) ~ RK,

M(R,f) ~ Rt ~S'(O,f),

(2.25) (2.26) (2.27)

1

.l

4-im'(O,J)lzlt ~IJ(z)I~4ilzlt, (2.31) 4-im'(O,J)Rt ~c(R,J)~d(R,J)~4i Rt (2.32)

M6i d£ng thuc tu (2.23) d€n (2.21) xay fa khi va chi khi J(z) = azlzlt-l voi lal= 1.

Chung minh: Xem [19, tr 54 - 56]