Đánh giá lớp phép biến hình á bảo giác lên hình vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay 4

Luận văn thạc sĩ chuyên ngahf Toán giải Tích -chuyên đề :Đánh giá lớp phép biến hình á bảo giác lên hình vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay

CHUaNG 3

cAc nANH GIA CHOLOP HAM G

Trang chu'dng nay, chung Wi se tie'n hanh danh gia cac d(;liIu'Qngd~c tru'ng

cho mi~n chu§'n A va modun cua cac ham g EG E>~thie't l~p cac danh gia cho

lOp ham G, chung ta c~n d1!avao cac danh gia cac d(;liIu'Qnghinh hQc cu~ lOp

M'(oo,f)=m*(oo,gfX=1, g=f-l, fEF.

3.1 Danh ghi M* (0, g)

Dinh ly 3.1: Du'oi cac ky hi~u va gia thie't dii neu a ph~n 1.2, Vg E G ta co:

M* (0, g) 2:: 1 ,

(3.1) (3.2)

E>~ngthuc a(3.1) xay ra khi va chi khi B=BovoiBo lam~t ph~ng phuc ma rQng

w bi celt dQc p cling troll d6ng Him t(;li 0 sao cho Bo bie'n thanh chinh no bai

phep quay ;=/~w va g(w)=awlwr-1 voi lal=1.

Chung minh:

Xet PBHKABG f EF mi~n A len mi~n B, theo (2.24)ta co:

P\ <s,1- S' (0, f), f E F :rRK

D1!avao (1.11) va (2.20) ta du'Qc

2

:rRK(g)

(3.3)

trang do d~ng thuc xay ra khi va chi khi w=f(z)=g-l(z)=bzlzr~-l voi Ibl=1, tuc

B = f (A) = Bo.

Tif (3.3), ta co:

*

7rRK

hay

M*(O,g}~ ~ 1 ~1,gEG

1- PSI2 TrRK

Nhu' v~y ta co (3.1) voi tru'ong hQp d~ng thue xciy ra khi va em khi (3.3) xciy ra

d~ng thue, tue Ia B = Bo va z = g( w) = I-I (w) = awlwr-I voi lal= 1.

M~t khae, dl!a vao eong thue (2.32), ta co:

'

( ) c(R,/)

4 P RK

2

=>m'(0,/) ~ 4"c(R,/)

d(R,/) ,/EF,

ke"t hQp voi (2.20), ta suy ra

M* (O,grX ~4* ~,gEG d

V~y ta co (3.2)

3.2 Danh gia Ig(w)1

Dinh Iy 3.2: Du'oi cae ky hi~u va gicithie"t(j phffn 1.2, VgE G,WEB ta co:

Chung minh:

Theo(2.31), V/EF,zEA,taeo:

Thay z=g(w) va f(z)=w , ta du'Qe

Ig(w)l~ 4pIWlKK va Ig(w)I~4-~lwIK,

m'(O,j)

ke't h<jp voi (2.20) ta du'<jc

K

I K 4p Iw

K K

I ( )1 <

)-1'

4-plwl ~ g w - M*(O,g

suy ra (3.4)8

3.3 Danh gia ban klnh R(g)

Djnh ly 3.3: Du'oi cae ky hi~u va gia thie't d phftn 1.2, VgE G ta co cae danh gia:

K

R(g»

[ ~(1-M*(0,g)f)

]

PSI

Tli (2.32), chung minh tu'dng tv' (3.4) ta co

Rt ~ ~(R,j) va Rt ~4-;d(R,j),j E F, 4-" m'(O,j)

hay

K K

4-PdK~R~ K,jEF.

m'(O,j) Ke't h<jp voi (2.20), ta du'<jc(3.5).

Tli cong thuc (3.3) ta d~ dang suy ra du'<jcvoi SI > 0,

R-i (g)~~(l-M*PSI (O,gri), VgE G,

tuc ta co (3.6)8

Danh gia (3.1) co th€ lam cho s~c han nho

H~ qua 3.1:

D~t E= PSI c!(;~~O),ta co:

D~ng thuc xiiy ra khi va chI khi B=Bo va g(w)=awlwIK-1voi lal=1

Chung minh:

Ke't h<;5p(3.3) va (3.5) ta suy ra

PSI

hay

M* (O,g)t ~ 1+ P~I .

7r4P C2

Tli do ta co (3.7)

D~ng thuc (3.7) xiiy ra khi va chI khi d~ng thuc (3.3) xiiy ra hIe do SI=0 keD

theo E=O, tuc 1a B=Bo va z=g(W)=f-I(W)=awlwIK-I voi lal=1

H~ qua 3.2:

Trang tru'ong h<;5pK= 1, M*(O,g)=Ig'(O)1nen (3.7) trd thanh

Ig' (0)1 ~ /1+ E, Vg E G (3.8)

D~ng thuc xiiy ra khi va chI khi B=Bo va g(w)= aw voi lal= 1, ba'"td~ng thuc

nay s~c han ba'"td~ng thuc c6 di€n Ig'(O)1~ 1,Vg E G voi K = 1 (xem [10], IT.350) 3.4 Dauh gia g6c md 2~(g)

Nhu'ta dff bie't 0 < ~(g) < 7r,Vg E G Bay gio, ta tim cae danh gia co th€ s~c

P

han cho ~(g) trong mQt s6tru'ong h<;5pnaG do

3.4.1 C:}n dum cua r3(g): (Dung phuong phap dQ dai qie tri)

Dinh Iy 3.4: Voi cae ky hi~u va gia thie't trong ml,le 1.2, gia sa c < d, khi do

VgEGtaeo:

f3(g) '2 IT

-P

n

ITK21n4' dM* (O,g)t

c

d

c rO(r)

1£

'2 IT _

/

c

Chung minh:

~

R

O

""""::::::::"':§~::"':::::~

o

"""'"

\ ::::':.:::::::=::::<::/

A

(""""""""""""""""",~

(

t

>""~:::::::::4.::::"""

j

"'~ ) / 0 """"":~ L

: """'" , ' I

Hinh 3.1

Ap dl,lngb6 d~ 2.10 vao bai loan dang xet voi Bo la tu giae eong co hai

e~nh n~m lIen hai duang tron Iwl= c va Iwl= d; hai eanh con l~i la cae eung cua

(TIva (T2va dQ do p(z) = 1~I'z E Ao, Ao=g(Bo), ta co:

Ip

( Cr ) = fp(z) Idz 1= f~,

- - 1 zI

voi Cr={zllzl=r}nBo,c~r~d,Cr =g(CJ

B<)tz=re'<P,taeo:

Idz I = Ie'<P dr + ire'<PdqJ 1 = 1 dr + irdqJ I'2 1 irdqJ I =1 dqJ I.

(Ba't d~ng thuc tren co duQc VIc<;lnhhuy€n cua tam ghic vuong khong nho hon c<;lnhgoc vuong)

VI v~y, ta co:

c,

M~t khac, do tinh d6i xung quay (1.4) va d~t B' =BnH voi

H={wlc<lwl<d},A' =g(B'), ta tha'y

m(c,g)~lzl~M(d,g),gEG, taco:

=! Ifdxt =! If ~dY2 =! Ifrdr~qJ

~! 2] dqJ1dr =21l:1rlM(d,g).

Tli do theo b6 d€ 2.10 ta suy ra

21l:In M(d,g) ~.l(2a)2 J dr ~.l(2a)2 ~ Jdr,

tuc

a~

M(d,g) 1l:Kln m(c,g) ~

d dr 2p cfrQ(r)

~Kln M(d,g)

m(c,g) 2pIn d c

Ngoai fa, theo (3.4) k€t hQp voi (1.8) va (1.9), ta co:

m(c,g)=4PcK va M(d,g)=4PM*(O,g)dK,gEG.

Suy fa

2K

n-Kln 4" M*(O,g)dK

a::::: I d cK <

-c rO(r)

2K

~Kln 4" M*(O,g)dK

cK d

2pln-c

VI f3= TC-a ta c6 (3.9)

p

Nhan xet:

Ne'u c=const, d=const va cho Do~O ma M*(O,g):::::M~=constthl a~O

~

f3

TC

p

Vi dV 3*1:

;=h(w)

~

-'

-I

K-l

( - )

~A

B

/"""'

CS

~

2J

~

;

y

""""""""\ /""""""""'~"""

)

'

r (:_~) red \R ( t""); -,) Ii (( (-'; R \

Hinh 3.2

M* (O,g):::::Mo =const.

GQi ; =h(w) la PBHBG don di<%pmi€n BIen mi€n A la m~t ph~ng md

rQng bi ca:t dQc p cung troll tam 0 thai h (0) = 0, h(00) =00 va khai tri€n Laurent

cua h(w) trong Ian c~n w =00 c6 dc,lllg

h( w = w+ao +-+2+'") a1w waz (3.9a)

tuc la anh cua duong trOllIwl=R voi R ra't IOnbdi h g~n trung voi duong troll

1;1=R N6i cach khac

m* (oo,h) = Ih' (00)1= Hm Ih(

w)l-w-+ooIwl - 1.

Theo Thao[ll, tr 109], ham h(w) Ia PBHBG don di<%pmi€n B !en mi€n A

A c6 tfnh d6i xung quay ca'p p GQi z =k(;) =;VIK-lla

PBHKABG mi€n A len mi€n A trong d6 m6i duong troll 1;1 =R duQc bie'n thanh

va do d6 mi€n

duong troll Izi=RK VI argz = arg; nen k(;) cling c6 tfnh d6i xung quay ca'p p Khi d6 z=g(w)=ko(h (w)) la PBHKABG mi€n BIen mi€n chufin A c6 tinh d6i

( ) I. M(R,g) I. RK 1 V" G

GQi C, la anh cua C, ={wllwl= r} voi r ra't be bdi h va C~ Ia anh cua C, bdi k; Zl EC~ sao cho Izll=M(r,g), ;1 EC, sao cho k(~)=z, va w, EC, sao cho

h(w,)=~. Ta c6:

M (0 g) = lim M (r , g) = lim 1:J = lim Ik(~ )1=lim I~IK

, ,-+0 rK ,-+0rK ,-+0 rK ,-+0 rK

= lim Ih(WI)IK= lim h(Wl)

I

K =

lh'(O)I K -:I:-0 (VI h Ia PBHBG)

H-+o Iw,IK H-+o W,

Mi;it khac, nSu r~O thl ta colh(w)I~lh'(O)llwl=lh'(O)1r tuc Cr g~n trung

du'ong tron 1;1=;, voi ; =Ih'(O)fr.

NSu n6i hai cung cua nhat cfit trong mi€n anh Ad€ du'Qc du'ong troll 1;1 =R)

thl trong mi€n B cling se co hai cung n6i tu'dng ling Nhu' da: neu tren, anh cac

du'ong troll Iwl= R, Iwl= r voi R d't IOnva r ra't be bdi h g~n trling voi cac~

du'ong troll 1;1 = R va 1;1 =Ih'(O)lr.

Khi cho Qo ~ 0 do tinh ba't biSn cua modun hai mi€n nh! lien qua PBRBG

;=h(w) ta co R) ~ d' Ih' (0)1 r r

VA,.,!' ,.,!' 1/ , ,.,!' b / h'

T6m I~i, ta c6 M' (O,g)=( ~r <00.

3.4.2 C~n tren cua ~(g):

D~u lien, ta chia mi€n B lam p ph~n b~ng nhau b~ng p du'ong cong

JordanYj(J=1,2, ,p) n6i 0 va 00, du'ong nQ chuy€n thanh du'ong Ida bdi phep

quay mOt goc 2nj Cac du'ong cong Yj nay chia mi€n B thanh p mi€n nh! lien

p B~,(J = 1,2, ,p) voi bien trong la mOtthanh ph~n bien G"jcua B.

Ki hic$uC(a,r) chi du'ong trOlltam t<;lidi€m a va ban kinh la r

Tren B] ( baa dong cua mi€n B] =B; ) ta co th€ ve -them hai du'ong trOll phg: Du'ong troll thu nha't la C(W)'1)) gioi h<;ln mOt hlnh troll dong chua thanh ph~n

bien (}j; Duong troll thu hai la C(w2'r2) chua trong Bl va baa bQc C (WI'1j) GQi B2 la mi€n nhi lien gioi h~n bdi C (w],1j) va C (W2'r2).

z=g(w)

~

c:::::> /.

~.

'

Q

.;

f

/>3 fI\;\ B, ) B,

/ 0 \.,\jJ) )

~~

~

~/ AI

\ /// ~

./

Hinh 3.3: PBHKABG z = g( w)bie'n mi€n A leD mi€n A voi p = 4

Thea h~ qua 2.3, ta co:

mod(B2) ~ mod(B]).

D<)t

R. =min{lwllw E C(w2,r2)}'

(O<)~ =lw21+r2

(3.10)

Sau do ta tie'p t\lCve hai duong troll C (0, RI) va C (0, ~), tuc C (w2'r2)n~m trong

phftngiaa cua BJ va hlnh vanh khan B3={wiR, < Iwl< ~} .

Ta tinh tie'n va quay mi€n B2 r6i ap d\lng b6 d€ 2.11, mi€n B2 co th€ bie'n baa

voi Isl= 1,

h 2 2 I

( 2 h 2 2)2 4h 2 2

, r2 - +lj -\I r2 - -lj - lj ~.

M~t khac t6n t(,li PBHBG don di<%p; =; (z) mi~n A2 ten hinh vanh khan

Bs ={;lr'<I;j<l}.

Vi phep bi€n hinh hQp ;ogos-]mi~n A2 ten Bs la mQt PBHKABG nen ta co:

r'< 7c _r

Thea tinh don di<%u(1.17) cua ham phv T(p,r,s), ta co:

T(2,r',0)~T(2,r7c,0) vdi r xacdinhnhu'(3.11).

GQi D la du'ong kinh cua mQt nhat cat cling trOll Li' D' la du'ong kinh cua anh

du'ong troll C (WI'r]) bdi z = g (w), g E G tilc du'ong kinh bien trong cua A2 R6 rang ta co D ~ D'

Thea (3.4), ta co:

m 2::4-:R] K =m , M ~ 4~M* (0, g) R; = M .

Thea b6 d~ 2.6, ta co

- N€u p = 1 , d€ co quail h<% D = 2Rsin ~ c~n thi€t cha vi<%ctim c~n tren

cua P(g) ta c~n them gia thi€t 2p ~ n vi n€u 2p > nthi D=2R.

Gia thi€t nay du'Qcthai n€u

(D~ D) = 2T( 2,rt,0)M (R2, g) < 2.41 r7c4~ M* (O,g )R; < 2.4-~ dK « 2R),

tilc

1>:1-1 * -1>:

Luc nay ta mdi co th€ ap dvng du'Qc quail h<%D = 2R sin ~

- Ne'u p ~ 2 thi du'dng nhien 213s 2n S 1[do do ta luau co D=2R sinp

p

Ap dlJng ba de 2.6, ta du'Qc:

D's 2MF( 2,r-K,0).

Mi,Hkhac, ta co:

DsD'

Suy fa

DSD's2T(2,r-K,0)M.

Tildo

Ds2T(2,r-K,0)4~ M*(O,g)R~

s2.41r-K4~M*(O,g)R~ =4~+lr-KM*(0,g)R~.

M~t khac ta co D = 2R sinp

Suy fa

sin 13= D < 4~+lr1-M* (O,g)RK

-K

Vi R chu'a bie't, ta thay R b~ng c~n du'oi, nghla la R ~E =4p dK

Suy fa

4~+1r1-M* (0 g)RK 4~+1r1-M* (0 g)RK

0

V~y

(

2.42: r1-M* (O,g)RK

J

f3(g)sarcsin dK 2 =f31(g),

ydi di€uki~n 2.4pr1-M*(O,g)R;

M~t khac, ap dl:mgb6 d€ 2.8, ta co:

D'::; I S In(1- (2 )

-7r

7r

K *

V~y

D ::;D '::; ,I SIn (1- (2)

-7r

Sur ra

13(g)::;arcsin

SIn(1- (2 )

-7r

2R

K

Thay R=R=4-P dK ta duQc

~sIn(J-t' )

fJ(g)::; arcsinI _K~7r 1=132(g),

'0

dO;:;

ki' lln~~t')

YOI leu <:fn K I ::;1.

4-P+2dK

Nhu' vi;tyta da tlm du'Qcci;tntren cua fJ(g) du'oi d~ng:

Dinh ly 3.5:

Du'oi cac ki hi~u va gia thie't trong m\,lc 1.2, va nhu'moi lieU(j tren, Vg E G ta co

trong d6

~ (g) = arcsin

[

2.41f r+M* (0, g) R:

J

fJ2(g) = arcsin

S In(1- (2 )

-7(

4-K+1 dK

(3.15)

voi r,~ va S xac dinh nhu' d (3.10), (3.11) va (3.13).

Vi d1} 3.2:

gEG

~

A

(

~ ~

Y4

Hinh 3.4

Gia sa mi€n B c6 p =4 thanh ph~n bien O"j' j = 1"",4 la cac du'ong troll

c (aJ'&) voi aj = euta; & du'dng, du be, Trang d6 thanh ph~n bien 0"1la du'ong

Ta ve du'ong cong Jordan rl la du'ong phan giac cua g6c ph~n tu' thil nha't Sau d6 dung phep quay ta xac dinh du'Qc r2' r3 va r4 la 3 du'ong phan giac cua 3 g6c ph~n tu'con I~i, Cac du'ong phan giac nay chia B thanh 4 ph~n b~ng nhau,

Ta ve them du'ong troll C (a, r2)saD cho ban kinh r2 Ia khoang cach tu a d€n

du'ong phan giac cua g6c ph~n tu' thil nha't Khi d6 mi€n B2 chinh la mi€n nhi lien gioi h~n bdi hai du'ong troll C (a, &) va C (a, r2),

Mi€n B2 c6 th€ bi€n baa giac ddn di~p leu hinh vanh khan r < Isl< 1, Theo h~

?

2 2 /

h b"'"

b' "'" ? ~

d ,;:, h' I' ~ / 1 r2 / &

qua , tIll at len cua mo un mIen n ~ len, ta co - = -, tilc r = -,

M~t khac , ta c6:

r2= a sin 4" = 12'

a

Ap dvng (3,14), ta c6:

2.4':'2' EKM' (O,gJ( a+ ;JK

PI(g) = arcsinI aK (a + &t

Tu'ongtv ,ap dvng (3,15)

Sln(1-t2)

/32 (g =arcsm 4K+! (a + &t

voi t= +( <:)',0) s = :[M2 (R"g)-rn' (R"g)] ~: [4' M' (O,g)R;' -4-' R,'r

va RJ =a- [2,R2 =a+ [2

Theo (1.24), ta co:

[

I

)

I

t~ T { ;;- J ' 0 ~ { ;;- J -> 0 kh1& -> 0.

V~ykhicho a c6dinhkhalOn, &~O, M*(O,g)~const thlln(1-t2)~O,tuc ta

cling co /32(g) ~ o.

Nhu' v~y trong tru'ong h<;1pnay cae cong thuc (3.14), (3.15) Ia khong hi€n nhien

va ti~m c~n dung