GIÁO TRÌNH HÓA LƯỢNG TỬ

Theo thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein thì ánh sáng hay bức xạ nói chung là một thông lượng các hạt vật chất được gọi là photon quang tử hay lượng tử ánh sáng với một lượng tử năng l

Đại học

Đại học đà nẵng đà nẵng đà nẵng trường đại học sư phạm

đại học đà nẵng

đại học đà nẵng trường đại học sư phạm

Đà Nẵng - 2009

Mục lục

Chương 1 Một số mô hình nguyên tử trước cơ học lượng tử

Chương 1 Một số mô hình nguyên tử trước cơ học lượng tử 5

Chương 2 Đại cương về cơ học lượng tử

Chương 2 Đại cương về cơ học lượng tử 16 2.1 Tính chất sóng - hạt của ánh sáng 16 2.2 Tính chất sóng - hạt của hạt vật chất 18

2.4 Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử 21

3.4 Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermit) 28

Chương 4 Hệ tiên đề của cơ học lượng tử

Chương 4 Hệ tiên đề của cơ học lượng tử 32 4.1 Tiên đề về hàm sóng (tiên đề 1) Nguyên lý chồng chất các trạng

thái

32

4.3 Tiên đề về trị riêng và đại lượng đo được 34 4.4 Điều kiện để hai đại lượng vật lý có giá trị xác định đồng thời trong

một trạng thái

36

4.5 Tiên đề về phương trình Schrodinger Trạng thái dừng 37

Chương 5 Trường xuyên tâm và nguyên tử Hidro

Chương 5 Trường xuyên tâm và nguyên tử Hidro 49 5.1 Trường xuyên tâm và hệ toạ độ cầu 49 5.2 Bài toán nguyên tử H và ion giống H 51

Chương 6 Nguyên tử nhiều electron

6.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử nhiều electron 74 6.2 Hệ các hạt độc lập và đồng nhất Nguyên lý loại trừ Pauli 74 6.3 Phương pháp trường tự hợp Hartree giải bài toán nguyên tử nhiều

6.10 Quang phổ của nguyên tử nhiều electron 97

8.6 Công thức vạch hoá trị Thành công và hạn chế của thuyết VB 125

Chương

Chương 9999 Thuyết obital phân tử (M.O Thuyết obital phân tử (M.O Thuyết obital phân tử (M.O)))) 128 9.1 Những luận điểm cơ bản của thuyết MO 128 9.2 Giải bài toán ion phân tử H2+ bằng phương pháp MO - LCAO 128

9.4 Thuyết MO và phân tử hai nguyên tử đồng hạch 135 9.5 Phổ hấp thụ phân tử, quang phổ electron và năng lượng các MO 139

9.8 Thuyết MO và phân tử nhiều nguyên tử 143 9.9 Chuyển MO không định cư thành MO định cư 149 9.10 Thuyết MO và các mô hình khác nhau về liên kết 150

Ch−¬ng 11111 Liªn kÕt trong phøc chÊt Liªn kÕt trong phøc chÊt Liªn kÕt trong phøc chÊt 173

11.3 C¸c thuyÕt vÒ liªn kÕt trong phøc chÊt 174

11.7 Ph−¬ng ph¸p MO - LCAO cho phøc chÊt 184

Tµi liÖu tham kh¶o

Chương 1 Chương 1

Một số mô hình nguyên tử trước cơ học lượng tử

Một số mô hình nguyên tử trước cơ học lượng tử

1.1 Khái niệm nguyên tử

1.1 Khái niệm nguyên tử

tổ hợp của bốn tính chất cơ bản: nóng, lạnh, khô và ẩm Cũng trong thời đại đó, ở phương Đông có quan nịêm cho rằng thế giới vật chất được cấu tạo từ các nguyên tố

Ví dụ thuyết 5 nguyên tố của nhà triết học Vương Sung: kim, mộc, thuỷ, hoả, thổ

Khái niệm nguyên tử lần đầu tiên được Leucippe và Democrite đưa ra từ thế kỷ

4 - 5 trước công nguyên: Nguyên tử là phần tử nhỏ nhất không thể phân chia được của vật chất Các nguyên tử phân biệt với nhau bởi độ lớn và hình dạng của chúng Học thuyết nguyên tử của Leucippe và Democrite được các nhà triết học khác như Epicure

và Lucrece hưởng ứng Tuy nhiên, trong suốt thời gian dài quan niệm này bị các quan

điểm duy tâm của Platon chống đối và trấn áp

Năm 1807 nhà Bác học người Anh là Dalton đã làm sống lại khái niệm nguyên

tử Theo ông nguyên tử là các quả cầu nhỏ, rắn, không thể xuyên qua được Các định luật tỉ lệ bội (Dalton), định luật tỉ số đơn giản thể tích các chất khí (Gay - Lussac) và

định luật Avogadro là kết quả sự tìm kiếm các bằng chứng (gián tiếp) cho sự tồn tại của nguyên tử

Ngày nay, chúng ta biết rằng nguyên tử không phải là những phần tử nhỏ bé nhất của vật chất Bằng các phương pháp vật lý (ví dụ sự bắn phá hạt nhân) có thể phân chia nguyên tử thành các phần tử nhỏ bé hơn, các hạt cơ bản Có thể chính xác hoá khái niệm nguyên tử như sau: Nguyên tử là phần tử nhỏ bé nhất của vật chất không thể phân chia được bằng các phản ứng hoá học

1.2 Mô hình nguyên tử của Rutherford

1.2 Mô hình nguyên tử của Rutherford

Dựa vào kết quả nghiên cứu sự tán xạ hạt α (tức là hạt nhân nguyên tử He2+) trên màng mỏng nhiều nguyên tố khác nhau, Rutherford (1911) đưa ra mô hình nguyên tử: Giống như trong một hệ hành tinh, electron trong nguyên tử quay xung quanh hạt nhân như những hành tinh quay xung quanh mặt trời (mô hình hành tinh) Các electron chuyển động sao cho lực li tâm của chúng cân bằng với lực hút Coulomb giữa hạt nhân

và electron Trong mô hình này electron có thể chuyển động trên quĩ đạo cách hạt nhân một khoảng cách tuỳ ý, miễn là có sự cân bằng lực

Dễ dàng nhận thấy rằng, mô hình hành tinh của Rutherford chứa đựng trong nó nhiều mâu thuẫn Trước hết, theo các định luật của điện động lực học cổ điển, một nguyên tử được cấu tạo như vậy không thể bền Khi electron, một hạt mang điện, chuyển động có gia tốc nó sẽ phát ra bức xạ điện từ Quá trình ấy làm mất năng lượng, electron chuyển động theo đường xoắn ốc rồi cuối cùng rơi vào hạt nhân (giả thiết rằng bán kính ban đầu của quĩ đạo electron là 10-8cm thì chỉ sau một thời gian là 10-12

giây electrron đã rơi vào hạt nhân) Hơn nữa, bức xạ do electron phát ra phải tạo thành một phổ liên tục vì tần số chuyển động của electron trên đường xoắn ốc không ngừng tăng lên Cả hai điều đó trái với sự thật là nguyên tử là một hệ bền và phổ phát xạ của nguyên tử là phổ gián đoạn

1.3 Phổ nguyên tử

1.3 Phổ nguyên tử

Một trong những yêu cầu đặt ra đối với mọi lí thuyết về nguyên tử là giải thích

được sự xuất hiện phổ vạch của nguyên tử và một số tính chất của chúng

Khi nung nóng một chất (bằng ngọn lửa, phóng điện trong chân không, hồ quang ) tới một nhiệt độ đủ lớn thì nó phát sáng Ví dụ cho ít NaCl vào ngọn lửa đèn cồn thì ngọn lửa nhuộm màu vàng thẫm ánh sáng vàng ấy là do nguyên tử Na (xuất hiện trong quá trình nhiệt phân NaCl trong ngọn lửa) phát ra Phân tích ánh sáng ngọn lửa có chứa hơi Na bằng một quang phổ kế người ta thấy bên cạnh phổ liên tục của ánh sáng ngọn lửa là một vạch đậm màu vàng có bước sóng 5892 A0 (với quang phổ có độ phân giải cao sẽ thấy dó là một vạch kép) Phổ xuất hiện như vậy gọi là phổ phát xạ

Trái lại, nếu chiếu ánh sáng trắng qua hơi Na thì trên phổ liên tục, ở vị trí tương ứng với vạch vàng Na là một vệch tối Đó là phổ hấp thụ của Na Nguyên tử có khả năng hấp thụ ánh sáng có tần số đúng bằng tần số ánh sáng phát xạ của nó

Phổ nguyên tử H ở vùng thấy được có cấu trúc đặc biệt đơn giản Balmer (1885) tìm thấy các phổ vạch nguyên tử H có bước sóng tuân theo công thức đơn giản:

11

n

n ư ) (1.2)

n 1 = 1, 2, 3,

n 2 = n 1 + 1, n 1 + 2,

Các dãy phổ của nguyên tử HCác dãy phổ của nguyên tử H

Một thí dụ về vật đen tuyệt đối là một quả cầu bằng đồng, bên trong rỗng được bôi đen hoàn toàn Khi có một bức xạ truyền vào bên trong quả cầu qua một khe hở nhỏ, do cấu tạo của quả cầu, bức xạ được truyền vào sẽ bị hấp thu hoàn toàn (hình 1.1a)

Sau khi hấp thụ toàn bộ năng lượng được truyền đến, vật đen tuyệt đối sẽ nóng lên Cũng như bất cứ vật rắn nào khác, vật đen tuyệt đối bị nóng lên sẽ phát ra năng lượng dưới dạng sóng điện từ Từ thực nghiệm của Lummer và Pringsheim cho thấy trong điều kiện đẳng nhiệt, đường cong phân bố năng lượng E (λ) theo bước sóng λ có dạng như hình 1.1b

Hình 1.1 a) Bức xạ truyền đến cho vật đen tuyệt đối bị nó hấp thụ hoàn toàn

b) Đường cong đẳng nhiệt biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng E (λ) vào bước sóng

λ do vật đen tuyệt đối phát ra

Nhìn vào quang phổ trên ta thấy rằng, tổng năng lượng bức xạ E tăng theo nhiệt

độ và khả năng bức xạ quang phổ E (λ) đối với mỗi nhiệt độ có một trị số cực đại tại một sóng nhất định

Như vậy, có hai vấn đề cần được giải thích đó là sự phụ thuộc của E vào T và sự phụ thuộc của E vào λ

- Theo định luật Stefan-Boltzamnn ta có biểu thức sự phụ thuộc của E vào T:

E = kT4 (1.3)

Trong đó K là hằng số tỉ lệ và T là nhiệt độ tuyệt đối

Như vậy, biểu thức trên cho thấy E tỉ lệ thuận với T

- Từ quan điểm của cơ học cổ điển về tính liên tục của các đại lượng vật lý, Rayleigh đã thiết lập biểu thức sự phụ thuộc của E vào λ:

Như vậy, việc ứng dụng vật lý học kinh điển để giải thích quang phổ của vật đen tuyệt đối có liên quan đến sự bức xạ năng lượng của các phần tử dao động tích điện có kích thước nguyên tử hoàn toàn thất bại ở vùng bước sóng tử ngoại Hiện tượng này

được các nhà vật lý gọi là “SSSSựựựự khủng hoảng tử ngoạikhủng hoảng tử ngoại”

động tử"

ε = h.ν (1.5) (h = 6,625.10-27erg.sec = 6.625.10-34 J.s)

ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Planck là đã phát hiện ra tính chất gián

đoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô Năng lượng của

electron trong nguyên tử, năng lượng quay, năng lượng dao động của các nguyên tử hay nhóm nguyên tử trong phân tử đều nhận những giá trị gián đoạn xác định

Theo thuyết lượng tử Planck thì năng lượng của dao động tử dao động với tần số

ν chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn:

0, hν, 2hν, 3hν, 4hν, nhν

nghĩa là bội số nguyên lần lượng tử năng lượng ε = hν Do đó, ta có thể biểu diễn E theo công thức:

E = nhν (n = 0, 1, 2, 3, ) Mặt khác, vì năng lượng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dưới dạng năng lượng bức xạ nên thuyết lượng tử Planck cũng có nghĩa là:

“ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lượng tử năng lượng ε = h.ν phát

đi từ nguồn sáng”

Vì vậy, thuyết lượng tử Planck còn được gọi là thuyết lượng tử ánh sáng

1.5 Mô hình nguyên tử của Bohr

1.5 Mô hình nguyên tử của Bohr

1.5.1 Các tiên đề của Bohr

Năm 1913, Bohr nhận thấy rằng hằng số tác dụng Planck và xung lượng góc có cùng một thứ nguyên giống nhau là (năng lượng * thời gian) Kết hợp mô hình nguyên

tử của Rutherford với thuyết lượng tử của Planck (1900), Bohr đưa ra mô hình nguyên

tử nổi tiếng mang tên ông Mô hình này dựa trên 3 tiên đề:

1 Trong nguyên tử electron không chuyển động trên những quĩ đạo bất kì mà chỉ được phép chuyển động trên những quĩ đạo sao cho xung lượng quay (còn gọi là mô men xung lượng) của nó bằng số nguyên lần đại lượng

π2

h

=

ℏ (điều kiện lượng tử hoá xung lượng quay)

L = n.ℏ

( n = 1,2,3, ) Người ta gọi n là số lượng tử

2 Khi chuyển động trên các quĩ đạo được lượng tử hoá nói trên, electron không phát ra bức xạ nghĩa là không mất năng lượng

Quĩ đạo hay trạng thái trên đó năng lượng của electron có một giá trị xác định, không đổi gọi là quĩ đạo dừng hay trạng thái dừng

3 Electron chỉ phát xạ hay hấp thụ bức xạ khi chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác

Năng lượng của bức xạ được phát ra hay hấp thụ đúng bằng hiệu số năng lượng của hai trạng thái đó

∆ E = En2 - En1 = hν (1.7)

En2 là trạng thái có năng lượng cao, En1 là trạng thái có năng lượng thấp

1.5.2 Mô hình Bohr đối với nguyên tử H và các ion giống H

Các ion giống H ( He+, Li2+, Be3+, ) có điện tích hạt nhân là +Ze và khối lượng

M Electron có khối lượng m và điện tích -e Dưới tác dụng của lực Coulomb electron chuyển động trên các quĩ đạo tròn quanh hạt nhân Vì khối lượng của hạt nhân rất lớn

so với khối lượng của electron, nên hạt nhân coi như đứng yên Để quĩ đạo của electron

là bền phải có sự cân bằng giữa lực hút Coulomb với lực li tâm xuất hiện do chuyển

động quay của electron

r

mv r

2 2

Eđn =

r

Ze

24

πε

Thế năng của electron được coi là bằng không nếu nó cách hạt nhân một khoảng vô cùng lớn Do đó, thế năng của electron ở tại một khoảng cách hữu hạn r nào đó chính bằng công đưa nó từ r tới ∞

Trong đó - 2

2

4 r

Ze

πε là lực tương tác Coulomb giữa hạt nhân và electron Thế

năng của electron có giá trị âm vì lực Coulomb là lực hút, cần phải tiêu tốn năng lượng

2.)4( πε ℏ

e mZ

E

-1 3 ,5 9 -3 ,4 4 -1 ,5 6 -0 ,9 8

E n2 ư n1

ν = (

πε4

1

)2 3

4 ℏπ

e mZ

2 2 1

11

4 ℏπ Z2 ( 2

2 2 1

11

n

n ư ) (1.12)

hay ν = R∞ Z2 ( 2

2 2 1

11

n

với R∞ = (

πε4

Đối với nguyên tử H (z =1) công thức (1.12 ) đồng nhất với công thức Balmer Trong quá trình thiết lập biểu thức (1.12), ta đã giả thiết là hạt nhân đứng im và chỉ có electron chuyển động Ngay đối với hạt nhân nhẹ nhất là H, sự khác nhau về khối lượng giữa electron và hạt nhân cũng vào khoảng 2000 lần, cho nên giả thiết trên

là một phép gần đúng khá tốt Tuy nhiên, vì các phép đo số liệu quang phổ đã đạt được

độ chính xác rất cao nên muốn so sánh R∞ với số liệu thực nghiệm (RH) phải để ý tới cả chuyển động tương đối giữa electron và hạt nhân Trên thực tế cả electron và hạt nhân đồng thời chuyển động quanh khối tâm của chúng Có thể coi chuyển động này chỉ của electron với khối lượng rút gọn: à = m.M/ (M +m)

Nếu thay m bằng à trong công thức (1.13) thì hằng số Rydberg tính được bằng

lí thuyết có giá trị là 10.9 68.100 m-1 phù hợp tốt với giá trị thực nghiệm

Sự xuất hiện của phổ vạch H có thể giải thích như sau: trạng thái bình thường là trạng thái chuyển động của electron trên quĩ dạo có năng lượng thấp nhất (n = 1) gọi là trạng thái cơ bản Nếu nhận được năng lượng, electron chuyển lên trạng thái có số lượng tử lớn hơn gọi là trạng thái kích thích Do có xu hướng trở về trạng thái có năng lượng thấp hơn, nên sau một thời gian rất ngắn electron lại nhảy về trạng thái có năng lượng thấp hơn và cuối cùng trở về trạng thái cơ bản Trong các bước chuyển này electron phát ra bức xạ điện từ Các bước chuyển ứng với các dãy được mô tả dưới đây:

n = ∞

n = 6

Pfund n = 5 Brackett n = 4 Paschen n = 3

Balmer n = 2

Mô hình Bohr cũng có thể áp dụng cho các ion giống H như He+, Li2+, Chẳng hạn mô hình dự đoán đúng phổ vạch của ion He+ có dạng giống hệt như phổ vạch hydro với số sóng lớn gấp 4 lần (Z = 2)

1.6

1.6 Mô hình nguyên tử của SommerfeldMô hình nguyên tử của SommerfeldMô hình nguyên tử của Sommerfeld

Mặc dù có sự phù hợp hoàn toàn giữa tính toán lí thuyết và số liệu thực nghiệm quang phổ H và ion giống H, nhưng mô hình Bohr không thể giải thích được phổ tinh

tế của các nguyên tử này, tức là hiện tượng mỗi vạch phổ nguyên tử trên thực tế bao gồm một số vạch đứng sát nhau Để khắc phục khó khăn này, Sommerfeld (1916) tìm cách cải tiến mô hình của Bohr bằng cách đưa vào quĩ đạo elip

Để thuận tiện cho phép toán người ta sử dụng toạ độ cực tương ứng với hai toạ

độ biến thiên là r và ϕ Sommerfeld đưa ra hai điều kiện lượng tử hoá:

với nr = 0,1,2,3, ( điều kiện lượng tử hoá xuyên tâm)

∫ L dϕ = nϕ h

với nϕ = 1,2,3, ( điều kiện lượng tử phương vị)

áp dụng các điều kiện lượng tử hoá nói trên, người ta nhận được biểu thức năng lượng gần giống biêủ thức năng lượng của Bohr Điểm khác nhau duy nhất là thay n bằng tổng ( nr + nϕ ) và người ta gọi tổng này là số lượng tử chính (n = 1, 2,3 )

Đối với mỗi một giá trị của số lượng tử chính n cho trước, số lượng tử phương vị chỉ có thể có các giá trị nϕ = 1,2, ,n

ứng vơí một quĩ đạo tròn Bohr, có n quĩ đạo elip trong mô hình Sommerfeld

Hình 1.3 Quĩ đạo elip của Sommerfeld thuộc lớp N (n = 4)

Electron trên quĩ đạo elip có cùng số lượng tử chính có năng lượng bằng nhau, người ta nói đó là các trạng thái suy biến Như vậy là với việc đưa quĩ đạo elip vào vẫn chưa giải thích được phổ tinh tế của nguyên tử

Trong bước tiếp theo, Sommerfeld làm mất sự suy biến bằng cách để ý tới hiệu ứng tương đối Tốc độ của electron trên quĩ đạo elip không phải cố định mà thay đổi, càng ở gần hạt nhân tốc độ của electron càng lớn (định luật Kepler thứ hai) Theo thuyết tương đối thì khi tốc độ thay đổi, khối lượng của e cũng thay đổi theo Điều đó làm cho quĩ đạo của e không còn là các elip khép kín mà trở thành các đường chu sai

Hình 1.4 Đường chu sai

Năng lượng của electron cũng vì thế mà còn phụ thuộc vào số lượng tử phụ nửa:

.1[2.)4(

2 2 2

2 2

4 2

n n n

Z n

e

ϕ

απε

Như vậy: Mẫu nguyên tử của Bohr-Sommerfeld có một ứng dụng quan trọng trong quá trình phát triển lí thuyết về cấu tạo nguyên tử và phân tử

Mẫu nguyên tử Bohr-Sommerfeld được coi là hoàn hảo nhất trong số các mẫu nguyên tử đầu tiên Tuy nhiên, thuyết Bohr-Sommerfeld không phải là một lí thuyết hoàn chỉnh (có tính chất nửa lí thuyết- nửa thực nghiệm) và cũng không phải là lí thuyết nhất quán (vừa sử dụng và phủ nhận các định luật của vật lí học kinh điển), nên không thể tránh khỏi thiếu sót Hai trong số đó là:

1- Mặc dù đã tính được mức năng lượng và tần số bức xạ được phát ra hay hấp thụ khi có bước chuyển năng lượng, nhưng không biết được tốc độ của các bước chuyển này, tức là không biết được cường độ của bức xạ

2- Thuyết Bohr-Sommerfeld chỉ áp dụng được đối với hệ 1 electron Đối với hệ nhiều electron (ngay cả nguyên tử He chỉ có 2 electron) thì thuyết này cũng hoàn toàn bất lực

Như vậy, thuyết Bhor-Sommerfeld chỉ được coi là một giai đoạn quá độ để đi

đến một lí thuyết hoàn chỉnh: Cơ học lượng tử

Câu hỏi và bài tậpCâu hỏi và bài tập

1 Trình bày nội dung mô hình nguyên tử của Rutherford

2 Trong điều kiện nào xuất hiện phổ nguyên tử? Phổ nguyên tử của hydro có những đặc điểm gì?

3 Trình bày nội dung của thuyết lượng tử Planck Hãy tính lượng tử năng lượng

được phát ra từ một ion dao động với tần số ν = 1014 s-1

4 Trình bày nội dung mô hình nguyên tử của Bohr

5 Thay các giá trị của hằng số (e, pi, h, c, m) vào công thức tính hằng số Rydberg

So sánh sự khác nhau giữa gía trị chính xác và giá trị gần đúng của hằng số đó nhận được bằng cách thay à bằng m

6 Người ta sử dụng một chùm electron để bắn phá các nguyên tử H dạng khí Hãy tính năng lượng tối thiểu của chùm electron nếu số hạng đầu của dãy Balmer bị phát xạ ứng với trạng thái chuyển từ n = 3 tới n = 2

7 Nếu electron của nguyên tử H được kích thích đến mức năng lượng tương ứng là 3,4eV Hãy xác định bước sóng của vạch phát xạ khi electron quay về trạng thái cơ bản của nó

8 Năng lượng ion hoá thứ nhất của nguyên tử H là 21,79.10-19J Hãy tính năng lượng ion hoá thứ hai của nguyên tử He

9 Bước sóng của một vạch phổ xác định trong dãy Balmer là 487,6nm Hãy xác

định giá trị n tương ứng với vạch phổ đó

10.a- Hãy vẽ các quỹ đạo Sommerfeld khác nhau thuộc lớp quỹ đạo N (n = 4) và hãy đặc trưng các quỹ đạo đó bằng số lượng tử l và bằng các chữ cái (S, P ) b-Hãy tính mômen động lượng của electron khi chuyển động trên các quỹ đạo

đó theo thuyết Sommerfeld và cho nhận xét

Chương 2Chương 2

Đại cương về cơ học lượng tử

Đại cương về cơ học lượng tử

2.1 Tính chất sóng

2.1 Tính chất sóng hạt của ánh sáng hạt của ánh sáng hạt của ánh sáng

H.Hetz (1887) khi làm thí nghiệm để chứng minh sự tồn tại của sóng điện từ trong lí thuyết cuả MaxWell đã phát hiện ra rằng ánh sáng cực tím có tác dụng trợ lực cho sự phóng điện trong chân không Sau đó, (1900) Lenard chỉ ra rằng nguyên nhân của hiện tượng trên là do ánh sáng cực tím đã giải phóng electron ra khỏi bề mặt catôt Hiện tượng electron được giải phóng ra khỏi bề mặt kim loại dưới tác dụng của ánh sáng được gọi là hiệu ứng quang điện

Hiệu ứng quang điện có thể được nghiên cứu bằng một dụng cụ mô tả như trong hình 2.1

Hình 2.1 Thí nghiệm hiệu ứng quang điện

ánh sáng đơn sắc được chiếu lên tấm kim loại C đặt trong buồng chân không làm giải phóng electron (gọi là quang điện tử hay photoelectron) Có thể nhận biết

được điều này bằng cách đặt giữa C và A một thế hiệu (C: catot, A: anot) và đo cường

độ dòng điện bằng một máy đo G

Đồ thị a trong hình 2.2 biểu diễn cường độ dòng quang điện theo biến thiên của thế hiệu đặt vào U Nếu U đủ lớn, dòng quang điện đạt gía trị giới hạn (bão hoà), trong

điều kiện đó tất cả các electron được giải phóng đều tới A

Nếu đổi dấu nguồn điện thì dòng quang điện không lập tức biến mất Điều đó chứng tỏ electron được giải phóng ra với một động năng nhất định Một số electron vẫn tới được A mặc dù có sự tác động ngược lại của điện trường Tuy nhiên, khi thế hiệu

đảo đạt một giá trị Uo nhất định gọi là thế hãm thì dòng quang điện biến mất Trong

điều kiện này thế năng của electron với tốc độ lớn nhất có giá trị tính được:

Kmax = e Uo (2.1)

Hình 2.2 Sự phụ thuộc của dòng quang điện vào thế hiệu nguồn và cường độ ánh sáng

Đối với một kim loại nhất định Uo không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng

Đường b trong hình 2.2 nhận được nếu giảm cường độ ánh sáng xuống còn một nửa Ngoài ra, với một kim loại nhất định tồn tại một tần số ngưỡng νo ánh sáng có tần số nhỏ hơn νo không làm xuất hiện hiệu ứng quang điện

Nhiều vấn đề của hiệu ứng quang điện không thể giải quyết được trên quan

điểm của bức xạ điện từ

1- Quan điểm sóng cho rằng biên độ của vectơ điện E tỉ lệ thuận với cường độ bức xạ Tuy nhiên, như ta thấy trong hình 2.2, Uo và do đó Kmax không phụ thuộc vào cường độ bức xạ

2- Theo thuyết sóng, hiệu ứng quang điện phải xuất hiện với bức xạ có tần số bất

kỳ miễn là có cường độ đủ lớn Trái lại như ta thấy, đối với mỗi kim loại tồn tại một tần số ngưỡng

3- Cũng theo thuyết sóng, năng lượng của bức xạ được phân bố đều trên mặt sóng

Để tích tụ đủ năng lượng cần phải có một khoảng thời gian nhất định kể từ khi chiếu sáng tói khi electron được thoát ra khỏi bề mặt kim loại Thực nghiệm không cho thấy điều đó Hiệu ứng quang điện xuất hiện tức thời khi có tác dụng của ánh sáng

einstein (1905) cho rằng có thể mở rộng thuyết lượng tử của Planck để giải thích hiệu ứng quang điện Vì vậy, Einstein đưa ra thuyết hạt hay thuyết lượng tử ánh sáng Theo thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein thì ánh sáng hay bức xạ nói chung là một thông lượng các hạt vật chất được gọi là photon (quang tử) hay lượng tử ánh sáng với một lượng tử năng lượng:

ε = hν (2.2)

Electron trong kim loại hấp thụ hoàn toàn và ngay lập tức toàn bộ năng lượng ν

của photon khi nó tương tác với photon

Như vậy: Trong những điều kiện nhất định như trong các thí nghiệm giao thoa

và nhiễu xạ, bức xạ điện từ thể hiện tính chất sóng của chúng; còn trong điều kiện khác, như trong hiệu ứng quang điện, chúng lại có bản chất hạt Tính chất đó gọi là lưỡng tính sóng- hạt của bức xạ điện từ

Theo hệ thức của einstein, giữa khối lượng m của một vật và năng lượng E của

c h

Sự chuyển động của một hạt vật chất bất kì có thể được xem như một quá trình sóng có bước sóng λ và tần số ν :

Nếu có một hạt vật chất ta có biểu thức sóng:

ψ(x,t) = a.ei.(Et - px)/ h (2.6) : sóng vật chất De Broglie

2.3 Nguyên lí bất định Heisenberg

2.3 Nguyên lí bất định Heisenberg

Trong cơ học cổ điển khi nghiên cứu chuyển động của các hạt, người ta phải nói

đến quỹ đạo của chúng, lúc đó tại một thời điểm bất kì ta có thể xác định được toạ độ

và động lượng của hạt

Trong cơ học lượng tử, khi nói đến tính sóng của hạt vật chất thì khái niệm quỹ

đạo không còn ý nghĩa nữa

Giả sử rằng ta tiến hành đo vị trí và xung lượng của một electron để xác định chuyển động của nó Dụng cụ thông thường để xác định vị trí là một kính hiển vi được minh hoạ như hình 2.3

Hình 2.3 Xác định vị trí và vận tốc của electron

Độ chính xác mà kính hiển vi có thể đo được khoảng cách dọc theo trục x bị hạn chế bởi bước sóng của ánh sáng sử dụng Nói cách khác ta không thể xác định vị trí của hạt chính xác hơn khoảng cách giữa hai đỉnh sóng của ánh sáng, vì vậy người ta phải dùng ánh sáng có bước sóng ngắn để đo chính xác vị trí của hạt Giới hạn này là

ε

λ

sin

2 Nhưng theo giả thuyết lượng tử của Planck, người ta không thể dùng một lượng

ánh sáng nhỏ tuỳ ý được, mà phải dùng ít nhất một lượng tử Lượng tử này sẽ làm nhiễu động hạt và làm thay đổi vận tốc của hạt một cách không thể tiên đoán được Thật vậy, nếu một photon có năng lượng hν và xung lượng hν/c đập vào một electron

đứng yên thì sau khi va chạm photon sẽ có năng lượng hν’ và xung lượng hν’/c; trong khi đó electron sẽ có động năng 1/2mv2 và xung lượng mv Chuyển động của photon và electron được mô tả như sau :

Theo định luật bảo toàn năng lương ta có hệ thức:

hν = hν’ + 1/2mv2 (2.7)

Định luật bảo toàn xung lượng cho ta hệ thức:

νν

coscos

'

mv c

h c

βα

ν

sinsin

)cos1

sin1

""""Toạ độ và động lượng của hạtToạ độ và động lượng của hạtToạ độ và động lượng của hạt tương ứng với t tương ứng với t tương ứng với toạ độ đó oạ độ đó oạ độ đó là không thể đồng thời là không thể đồng thời xác định""""

Biểu thức bất định Heisenberg:

∆x ∆px≥ h (2.16) ∆x: độ bất định của toạ độ

Nguyên lí bất định Heisenberg cũng đúng trong trường hợp của hệ vĩ mô, nhưng vì hạt vĩ mô thì tính chất sóng- hạt là rất bé nên ít được áp dụng

Từ hai tính chất vật lí của hạt vật chất ta có thể rút ra tính chất đặc trưng của hệ

vi mô:

- Các đại lượng vật lí của hạt vi mô đều gián đoạn

- Toạ độ x và động lượng của hạt là không thể đồng thời xác định

- Chuyển động của hạt vi mô không có quỹ đạo

2.4 Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử

2.4 Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử

Dựa trên các số liệu thực nghiệm thu được và các hiện tượng quan sát, ta có thể tóm tắt sự khác nhau chính giữa hai loại cơ học như sau:

Cơ học cổ điểnCơ học cổ điểnCơ học cổ điển

- Chuyển động của hạt có quỹ đạo

- Toạ độ và động lượng tương ứng với toạ

độ đó là không thể đồng thời xác định

Câu hỏi và bài tậpCâu hỏi và bài tập

3 Sự phá vỡ các liên kết I-I trong một mol iôt đòi hỏi một năng lượng bằng 150,48kJ Năng lượng này có thể sử dụng dưới dạng năng lượng ánh sáng Hãy cho biết bước sóng λ của ánh sáng cần sử dụng trong quá trình đó

4 Trên phổ electron của một hợp chất có đám hấp thụ tại λ1 = 450nm, λ2 = 350nm, λ3 = 250nm

a) Hãy tính năng lượng kích thích ứng với các đám hấp thụ trên (theo eV) b) Chất đó có màu không? Tại sao?

5 Hãy phát biểu giả thuyết De Broglie về sóng vật chất Hãy cho biết tính nghiệm

đúng của giả thuyết này đối với các hạt vi mô, đối với các vật thể vĩ mô?

6 Phát biểu nguyên lý bất định Heizenberg và cho biết những hệ quả rút ra được

9 Hãy tính bước sóng De Broglie cho các trường hợp sau:

a) Một vật có khối lượng 1,0 g chuyển động với tốc độ 1,0 cm.s-1

b) Đối với vật thể cũng có khối lượng như thế, nhưng chuyển động với tốc độ 1000km.s-1

c) ở nhiệt độ phòng, một nguyên tử He chuyển động với vận tốc 1000 m.s-1 Cho

He = 4,003

10.Hãy cho biết sự khác nhau cơ bản giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử?

Chương 3Chương 3 Toán tử và hệ hàmToán tử và hệ hàm

3.1

3.1 Toán tửToán tửToán tử

Do hệ lượng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên người ta không thể biểu diễn các đại lượng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thường như trong cơ học cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ lượng tử Một trong những công cụ ấy là toán tử tác dụng lên hàm sóng

Toán tử A = nhân với a có nghĩa là thực hiện phép nhân a vào hàm số đứng sau

nó

Aˆ = d/ dx nghĩa là lấy đạo hàm theo x hàm số đứng sau nó Người ta thường kí hiệu các toán tử: Aˆ, Bˆ, Cˆ

3.1.2 Các phép toán về toán tử

a Phép cộng của hai toán tử A và B:

Tổng các toán tử A và B là toán tử C (Cˆ = Aˆ +Bˆ) sao cho khi Cˆ tác dụng lên hàm u (tuỳ ý) thì bằng Aˆ +Bˆ tác dụng lên hàm u đó

Aˆ +Bˆ= Cˆ nếu Cˆu = Aˆu + Bˆu

Ví dụ: Aˆ = x; Bˆ = d/ dx ; u = U (x)

Cˆ= x + d /dx Cˆu = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u

b Tích các toán tử: Tích hai toán tử A và B là toán tử C hay C' sao cho:

ta gọi [Aˆ,Bˆ] = Aˆ Bˆ- Bˆ Aˆ là giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và Bˆ

Nếu Aˆ Bˆ= Bˆ.Aˆ thì ta nói hai toán tử Aˆ và Bˆ giao hoán

[Aˆ,Bˆ] = Aˆ Bˆ- Bˆ Aˆ = 0

b Luỹ thừa của toán tử: Luỹ thừa của toán tử Aˆ đ−ợc định nghĩa:

Â2u = (Â.Â)u =  (Âu) Vậy Â2 = Â. là  tác dụng liên tiếp hai lần

3.2 Toán tử tuyến tínhToán tử tuyến tínhToán tử tuyến tính

3.2.1 Định nghĩa: Toán tử Lˆ đ−ợc gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn biểu thức sau:

Lˆ(au + bv) = aLˆu + bLˆv (3.2) u,v: hàm ; a,b: các hằng số bất kì

+Toán tử Laplace: ∆ = 22 22 22

z y

∂+

∂

∂+

∂

∂

+Toán tử Napla:

z y

∂+

∂

∂+

3.2.2 Tính chất của toán tử tuyến tính

Nếu hai toán tử Aˆ, Bˆ là toán tử tuyến tính (t4) thì tổ hợp tuyến tính của chúng

là toán tử tuyến tính và tích của chúng nhân với một số cũng là toán tử tuyến tính

Aˆ, Bˆ: t4 thì (a.Aˆ + b.Bˆ ) : t4

(c Aˆ Bˆ, d.Bˆ Aˆ) : t4 3.2.3 Hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính

a Định nghĩa:

a Định nghĩa: Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính Lˆ lên một hàm u bằng chính hàm u đó nhân với tham số L nào đó, thì ta gọi u là hàm riêng và L là trị riêng của toán tử Lˆ:

b Trị riêngTrị riêngTrị riêng không suy biến không suy biến không suy biến và suy biến và suy biến và suy biến

Một toán tử tuyến tính Lˆ có thể tồn tại nhiều hàm riêng và trị riêng khác nhau Tập hợp các trị riêng của Lˆ gọi là phổ các trị riêng Phổ các trị riêng có thể là liên tục hoặc gián đoạn, hoặc một phần gián đoạn một phần liên tục

- Nếu ứng với mỗi hàm riêng u chỉ có một trị riêng L thì người ta nói trị riêng đó

L là trị riêng suy biến bậc k

3.2.4 Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính

a Định lí 1:

a Định lí 1: Nếu un là hàm riêng của toán tử tuyến tính Lˆ ứng với trị riêng Ln và

a là một hằng số tuỳ ý ≠ 0 thì aun cũng là hàm riêng của Lˆ ứng với trị riêng Ln

Lˆ un = Lnun (3.4)

Lˆ (a.un) = Ln(a.un) (3.5)

3.3

3.3 Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm

3.3.1 Hệ hàm trực giao: Hệ hàm u, v, w được gọi là hệ hàm trực giao nếu tích phân của một hàm nào đó với liên hợp phức của một hàm khác luôn bằng 0 trong toàn phạm

vi biến đổi của hàm số

∫ u.v* dx = 0, ∫ u.w* dx = 0 , ∫ v.w* dx = 0

3.3.2 Hàm chuẩn hoá: Hàm ψ được gọi là hàm chuẩn hoá nếu ∫ ψψ*dx = 1

hay ∫ ψ 2dx = 1 (3.7)

ψ chưa chuẩn hoá: ∫ ψ 2 dx = N ( N ≠ 1)

Để có được hàm ψ chuẩn hoá, người ta chia phương trình này cho N:

3.3.4 Hệ hàm đầy đủ: Hệ hàm ψ1, ψ2, ., ψm, , ψn được gọi là hệ hàm đầy đủ, nếu hàm ψ bất kì có thể khai triển thành chuỗi tuyến tính của hệ hàm ấy

ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + + Cmψm + + Cnψn = ∑ Ciψi (3.9)

Ci : hệ số khai triển chuỗi Nếu hệ hàm đầy đủ cũng là hệ hàm trực giao thì ta có thể xác định được hệ số khai triển chuỗi

Ví dụ: Muốn xác định Cm thì ta nhân phương trình với ψm* và lấy ∫

m

m m

ψψ

ψψ

*

*

Nếu hệ hàm đầy đủ thoả mãn tính chất chuẩn hoá thì: Cm = ∫ ψm*ψdx

3.3.5 Hàm đều hoà (hàm đều đặn)

Hàm ψ đ−ợc gọi là hàm đều hoà nếu nó đơn trị, hữu hạn và liên tục trong phạm

vi biến đổi của biến số

∂+

∂

∂+

a Định lí 1: Trị riêng của toán tử Hermit là trị thực: Ln = Ln*

Thật vậy, nếu Lˆ là toán tử tuyến tính Hermit và Ln là trị riêng của Lˆ thì ta có:

Lˆψn = Lnψn (1)

và ∫ ψn*

Lˆ ψn dτ = ∫ ψn Lˆ*ψn dτ (2) (1)⇒ ψ*

(4) nhân với ψn và lấy ∫ ta đ−ợc:

∫ ψn Ln*ψn* dτ = ∫ ψn Ln*ψn* dτ = Ln* ∫ ψn ψ*

∫ ψn Lˆ*ψm* dτ = Lm* ∫ ψm* ψn dτ = Lm ∫ ψnψm* dτ (5)

Từ (3) so sánh (4) và (5) ta đ−ợc:

Ln ∫ ψm* ψn dτ = Lm ∫ ψn ψm* dτ

⇒ (Ln - Lm ) ∫ ψm* ψn dτ = 0

⇒ ∫ ψm* ψn dτ = 0 đó là điều phải chứng minh

3.4.2 Tính chất của toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu Lˆ là toán tử tuyến tính Hermit thì Lˆ.a (a ≠ 0) cũng là toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu Aˆ và Bˆ là toán tử tuyến tính Hermit thì giao hoán tử Aˆ.Bˆ= Bˆ.Aˆ cũng là toán tử tuyến tính Hermit

- Toán tử A và B là Hermit thì tổng hoặc hiệu của chúng cũng là toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu Aˆ và Bˆ là các toán tử Hermit thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng là toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu ψn không phải là hàm riêng của toán tử Hermite L, nghĩa là Lˆψn ≠ Lnψn

thì người ta gọi giá trị Ln thu được là giá trị trung bình hay kì vọng toán học của Lˆ và

được biểu diễn như sau:

τψψ

d

d L

n n

n n

1 Toán tử là gì? Thế nào là toán tử tuyến tính?

2 Cho biết điều kiện để hai toán tử A và B được gọi là giao hoán với nhau

3 Cho biết định nghĩa về phương trình hàm riêng - trị riêng của toán tử

4 Cho biết định nghĩa về toán tử Hermit

5 Toán tử Hermit có những tính chất gì? Chứng minh

6 Hãy xác định hàm g(x) thu được khi cho toán tử Uˆ tác dụng lên hàm f(x) trong các trường hợp dưới đây:

)(

;

ˆ

e x f

c) uˆ = iˆ (toán tử nghịch đảo); f(x) = x2 - 3x + 5

7 Cho toán tử xˆ = x; toán tử

dx

du

uˆ= và hàm số f(x) = x2

eư Hãy thực hiện phép giao hoán tử [xˆ, uˆ] Từ kết quả thu được cho biết nhận xét

8 Hãy chứng minh hàm ψ(x) = 8.e4x là hàm riêng của toán tử

dx

d Cho biết trị riêng thu được bằng bao nhiêu?

9 Hãy chứng minh những hàm sau đây hàm nào là hàm riêng của toán tử

dx

d :

h= − h·y chøng minh hµm sè f(x) = x2 / 2

e− lµ hµm riªng cña to¸n tö hˆ vµ cho biÕt trÞ riªng t−¬ng øng b»ng bao nhiªu?

Chương 4Chương 4

độ q, kí hiệu là hàm ψ (q,t); gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ ”

Mọi thông tin về hệ lượng tử chỉ có thể thu được từ hàm sóng mô tả trạng thái cuả hệ

b

b ý ý ý nghĩa vật lí và tính chất của hàm sóngnghĩa vật lí và tính chất của hàm sóngnghĩa vật lí và tính chất của hàm sóng

- Vì hàm sóng ψ (q,t) nói chung là hàm phức nên nó không có ý nghĩa vật lí trực tiếp, mà chỉ có bình phương modun ψ 2 (trị này là thực) của hàm sóng mới có ý nghĩa

là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại toạ độ tương ứng, đó chính là ý nghĩa vật lí của hàm sóng

- Nếu gọi dw là xác suất tìm thấy hạt trong một thể tích dv xung quanh một

điểm nào đó trong không gian thì ta sẽ có: dw = 2

ψ dv Mật độ xác suất ψ 2=

Đây là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng, hàm ψ(q,t) gọi là hàm đã chuẩn hoá Ngoài ra, hàm ψ(q,t) phải thoả mãn tính chất đơn trị, hữu hạn và liên tục để thảo mãn tính chất của một hàm mật độ vì:

1- Tính đơn trị: Vì 2

ψ biểu thị mật độ xác suất của hạt và xác suất là một đại lượng hoàn toàn xác định nên Ψ phải là một hàm đơn trị của toạ độ, nêú không tại một toạ độ xác định ta sẽ thu được nhiều giá trị xác suất và điều này hoàn toàn không có ý nghĩa vật lý

2- Tính hữu hạn: Vì xác suất là hữu hạn nên hàm sóng Ψ phải hữu hạn tại mọi vị trí 3- Tính liên tục: Vì trạng thái của hệ lượng tử phải biến đổi liên tục trong không gian, nên hàm sóng Ψ mô tả trạng thái của hạt phải là một hàm liên tục

4.1.2 Nguyên lí chồng chất trạng thái

Trong cơ học lượng tử xuất phát từ bản chất của hàm sóng người ta thừa nhận một nguyên lí, gọi là nguyên lí chồng chất trạng thái Đây là một nguyên lí cơ bản của cơ học lượng tử

“Nếu các hàm ψ1, ψ2, , ψn là các hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ lượng

tử, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả được trạng thái của hệ lượng tử đó”

4.2 Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)

4.2.1 Nội dung: Tương ứng với mỗi đại lượng vật lí L của hệ lượng tử ở trạng thái ψ

∂

∂+

d Toán tử bình phương xung lượng

∆

ư

=++

2

ˆˆˆ

z y

x p p p

ˆ

z y

x M M M

p m

mv T

22

ˆ2

h Toán tử năng lượng (toán tử Hamilton)

E = T + U → Hˆ =Tˆ+Uˆ Thay các giá trị ta được:

)(2

m

4.3 Tiên đề về trị riêng và đại lượng đo được

4.3 Tiên đề về trị riêng và đại lượng đo được

4.3.1 Phổ trị riêng của toán tử Hermite và những giá trị khả dĩ của các đại lượng vật lí tương ứng

Đại lượng vật lí L của một hệ lượng tử ở một thời điểm chỉ có thể nhận những giá trị riêng của toán tử tương ứng Lˆ thoả mãn phương trình trị riêng ở thời điểm t:

Lˆ ψn = Lnψn (4.4)

4.3.2 Những giá trị ψ mà ở đó đại lượng vật lí L có giá trị xác định

Nếu hệ lượng tử ở trạng thái ψ mà hàm ψ này đồng nhất với một hàm riêng φk

nào đó của toán tử Hermite Lˆ, thì ở trạng thái ψ đó đại lượng vật lí L có giá trị xác

định và bằng trị riêng Lk của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ

Những trạng thái ψL mà ở đó một đại lượng vật lí L có giá trị xác định là những trạng thái thoả mãn phương trình trị riêng của toán tử tương ứng Lˆ

LˆψL = LψL 4.3.3 Xác suất để một đại lượng L có một giá trị Li

Nếu hệ lượng tử ở vào trạng thái ψ, mà ψ không trùng với một hàm riêng nào của Lˆ thì đại lượng vật lí L của trạng thái ψ đó không có giá trị xác định Đại lượng L chỉ có thể nhận một trong những giá trị xác định Li của phổ trị riêng của toán tử Lˆ, nhưng không biết chắc là trị nào Vì thế người ta phải xác định L theo định luật xác suất

Xuất phát từ nguyên lí chồng chất trạng thái và tính đầy đủ, trực giao của hệ hàm riêng của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ người ta biểu diễn hàm ψ mô tả trạng thái của hệ thành chuỗi tuyến tính theo các hàm riêng

ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + + Cnψn = Ciψi (4.5) Như vậy, trạng thái ψ được xem là sự chồng chất những trạng thái riêng Ui của toán tử Hermite Lˆ Lúc đó ứng với mỗi trạng thái riêng trên, đại lượng vật lí L nhận những giá trị xác định Li là trị riêng tương ứng với hàm riêng Ui

C = 1 : điều kiện chuẩn hoá

Với W (Li) là xác suất để đại lượng L nhận một trong những giá trị có thể có của Ln

Aˆ và Bˆ phải giao hoán với nhau Ngược lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có chung hàm riêng và hai đại lượng vật lí tương ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định

Vậy: Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng vật lí của hệ lượng tử có trị xác định

đồng thời trong cùng một trạng thái là các toán tử của chúng giao hoán với nhau

• Một số thí dụ:

a Các toán tử giao hoán:

- Toán tử xˆ, yˆ,zˆ giao hoán với nhau từng đôi một

[xˆ,yˆ] = 0; [yˆ,zˆ] = 0; [xˆ,zˆ] = 0

Vậy các toạ độ x, y, z của một hạt có thể nhận đồng thời những giá trị trong cùng một trạng thái

- Toán tử thành phần động lượng px, py, pz giao hoán với nhau từng đôi một, nên

có giá trị đồng thời xác định trong cùng một trạng thái

b- Các toán tử không giao hoán:

- Động lượng và toạ độ: Các toán tử toạ độ và thành phần động lượng tương ứng với toạ độ đó không giao hoán, nên từng đôi một không thể có giá trị xác định đồng thời Nhưng một toán tử toạ độ và toán tử thành phần động lượng ứng với toạ độ khác lại giao hoán Do đó, chúng lại có thể đồng thời xác định trong cùng một trạng thái

-Toán tử thành phần momen động lượng: Toán tử thành phần momen động lượng không giao hoán với nhau từng đôi một Do đó, các thành phần Mx, My, Mz của momen động lượng không thể có những giá trị xác định

[Mˆ x, Mˆ y] = i ħMˆz ; [Mˆ y, Mˆz] = i ħ Mˆ x ; [MˆzMˆx] = i ħMˆy

Tuy nhiên, toán tử bình phương mômen động lượng Mˆ 2 = Mˆ x2 + Mˆ y2 + Mˆ z2

lại giao hoán với mỗi toán tử Mˆ x, Mˆy, Mˆz

[Mˆ 2, Mˆx] = [Mˆ 2,, Mˆ y] = [Mˆ 2, Mˆz] = 0

Do đó, Mˆ 2 và thành phần mômen động lượng nào đó là có thể đồng thời xác

4.5 Tiên đề về phương trình Schrodinger

4.5 Tiên đề về phương trình Schrodinger Trạng thái dừngTrạng thái dừngTrạng thái dừng

4.5.1 Tiên đề 3 - Phương trình Schodinger tổng quát

Hàm sóng ψ(q,t) mô tả trạng thái của hệ lượng tử biến thiên theo thời gian được xác định bởi phương trình Schrodinger tổng quát:

ψ

ψ

H t

có thể được khẳng định bằng các kết quả kiểm chứng khi áp dụng cho các hệ lượng tử

cụ thể

Phương trình (4.7) là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất; do đó nếu ψ1

và ψ2 là hai nghiệm độc lập của (4.7) thì mọi tổ hợp tuyến tính ψ = C1ψ1 +C2ψ2 của chúng cũng là nghiệm của phương trình

Nếu ψ là hàm đã chuẩn hoá; ψ1 , ψ2 là trực chuẩn, còn C 1, C2 là những số nói chung phức và không đồng thời bằng không thì:

C 12 + C22 + + Cn2 = 1 Vì vậy, phương trình Schodinger tổng quát cũng thể hiện nguyên lí chồng chất trạng thái trong cơ học lượng tử Do những điều đó, phương trình Schrodinger tổng quát là phương trình gốc và toán tử Haminton là toán tử quan trọng nhất của cơ học lượng tử không tương đối tính

4.5.2 Phương trình Schodinger của các trạng thái dừng

Giả sử hệ lượng tử ở vào một trường thế U không phụ thuộc vào thời gian, chỉ phụ thuộc vào toạ độ Uˆ = U(q), thì Hˆ không phụ thuộc vào thời gian Lúc đó Hˆ chỉ

tác động lên phần phụ thuộc toạ độ của hàm ψ (q,t) Do đó, hàm ψ(q,t) tách thành hai phần:

ψ(q,t)= ψ(q).F(t) Thay vào phương trình Schodinger tổng quát:

) ) ( ˆ),(

t

q F H t

t q

) ( )

)

ˆ)(

q

q t

t

H t

F F

Hai vế của đẳng thức (4.9) phụ thuộc vào hai biến số khác nhau, nên hai vế chỉ

có thể bằng nhau khi hai vế phải bằng cùng một hằng số λ nào đó:

)

F F

ψ

=

) (

) (

ˆ

q q

Phương trình Schodinger cho trạng thái dừng:

)

F F

F(t) = C.e-i Et / h gọi là thừa số đơn sắc hay thừa số pha của hàm sóng

Như vậy: nghiệm tổng quát của phương trình Schrodinger sẽ là:

ψ(q,t) = ψ(q).F(t)

ψ(q,t) = ψ (q) e-iEt / h

⇒

2 2 ) ( 2 )

iEt q

t

q e

ư

=ψψ

2 ) ( 2 )

Phương trình (4.15) cho ta thấy ở trạng thái dừng, mật độ xác suất không phụ thuộc vào thời gian Do đó, khi giải phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng ta chỉ cần tìm đến ψ(q) là đủ, vì hóa lượng tử chủ yếu nghiên cứu các trạng thái dừng của phân tử

4.6 Một số bài toán ứng dụng

4.6 Một số bài toán ứng dụng

4.6.1 Bài toán vi hạt trong hộp thế một chiều

Giả sử có một tiểu phân (hạt) khối lượng m chuyển động trong hộp thế một chiều theo phương x với bề rộng OA = a Trong khoảng 0 ≤ x ≤ a thế năng của hệ không đổi ở những vị trí bên ngoài hộp (x < 0 và x > a) thì có những trường lực làm cho thế năng của hạt tăng vô hạn Nói cách khác chuyển động của hạt bị giới hạn trong hộp:

Hạt chuyển động trong thành vách dựng đứng có thể dùng để mô tả electron tự

do trong kim loại hoăc electron không định cư trong các phân tử liên hợp

Ta có phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng: