Đồ họa kĩ thuật

Trườngưhợpưđặcưbiệtư2: Một đ ờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó... Tính chất của phép chiếu vuông góc* Có đầy đủ các tính chất của phép chiế

Bµi gi¶ng

Biªn so¹n: TS Ph¹m V¨n S¬n

Bé m«n H×nh ho¹ - VÏ kü thuËt

Tr ường §HBK Hµ néi

Chươngư1

phép chiếu

II PhÐp chiÕu song song

TÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song

1 H×nh chiÕu cña mét ® êng th¼ng kh«ng song song víi h íng chiÕu lµ mét ®

êng th¼ng

Π i

as

e

LM i

Trườngưhợpưđặcưbiệtư2: Một đ ờng thẳng song song với mặt phẳng

hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó

Më­réng: mét h×nh ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

th× cã h×nh chiÕu b»ng h×nh thËt

Πi

2 Hai ® êng th¼ng song song (vµ kh«ng song song víi h íng chiÕu) th× hai h×nh chiÕu song song.

=

3 Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự và tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng

4 Mét mÆt ph¼ng song song víi h íng chiÕu th× h×nh chiÕu cña

nã suy biÕn lµ mét ® êng th¼ng

A=A i s

Π i

5 Một điểm nằm trên mặt phẳng hình chiếu thì điểm đó trùng với hình chiếu của nó

III PhÐp chiÕu vu«ng gãc

1.5 Tính chất của phép chiếu vuông góc

* Có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra còn có các

Tính chất 1

Hình chiếu của một đ ờng thẳng không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu la một đ ờng thẳng

B

A i =B i

Hình chiếu của một đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu la một

điểm

Tr ờng hợp đặc biệt 1

Π i

Một đ ờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó

Chú ý: ABA i B i là hình chữ nhật

Tr ờng hợp đặc biệt 2

TÝnh chÊt 4

α

gLα i

Mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× h×nh chiÕu cña

nã suy biÕn lµ mét ® êng th¼ng

M

M i

TÝnh chÊt b¶o toµn gãc vu«ng cña phÐp chiÕu vu«ng gãc:

* H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng nãi chung kh«ng ph¶i lµ mét gãc vu«ng;

* H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng lµ mét gãc vu«ng chØ khi cã Ýt nhÊt mét c¹nh gãc vu«ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu vµ c¹nh kia kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

C

A i

B i C

AB⊥BC ; AB//Πi ;

BC⊥Πi

→ A i B i⊥B i C i ­

TÝnh chÊt 4

Më réng:

i i

i

b a

⊥ Π

⊥

//

b

a a

b a

i

i i

⊥





 Π

TÝnh chÊt 4

Tính phản chuyển của hình biểu diễn:

+ Với một điểm A, tìm đ ợc duy nhất một điểm A i

+ Cho A i là hình chiếu vuông góc của điểm A, ta không xác định đ ợc A

Vậy biểu diễn điểm A bằng một hình chiếu A i là không có tính phản chuyển.

§iÓm

Π12.1 Đồ thức của điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

x

I

II III IV

Π 1 Gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng

Π 2 Gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng

A 1 Gọi là hình chiếu đứng, A 2 Gọi là hình chiếu bằng

Độ cao của A: Vị trí t ơng đối của A so với Π 2 ; có dấu(+) khi A ở phía trên Π 2 ; có dấu

âm khi A ở phía d ới Π 2 Có trị số bằng khoảng cách từ A đến Π 2 z A = AA2 = A1 A x

Độ xa của A: Vị trí t ơng đối của A so với Π 1 ; có dấu(+) khi A ở phía tr ớc Π 1 ; có dấu âm khi A ở phía sau Π 1 Có trị số bằng khoảng cách từ A đến Π 1 y A = AA1 = A2 A x

2) Tồn tại duy nhất 1 điểm A

Chú ý: A1Ax=Trị số độ cao của điểm A; A2Ax =Trị số độ xa của điểm A

2.2 §å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng ba mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

A1 là hình chiếu đứng

A2 là hình chiếu bằng

A3 là hình chiếu cạnh

yz

§ êng th¼ng

3.1 Biểu diễn đ ờng thẳng trên đồ thức

Có hai cách

1) Biểu diễn bằng cách xác định 2 điểm

2) Biểu diễn bằng cách cho 2 hình chiếu( Không cùng vuông góc với trục x)

3.1.1 Biểu diễn bằng cách xác định hai điểm

B

Π i Nh¾c l¹i tÝnh chÊt phÐp chiÕu (H×nh chiÕu cña mét ® êng th¼ng):

áp dụng, ta có A 1 B 1 là hình chiếu đứng của AB; A 2 B 2 là hình chiếu bằng của AB

Mét vÝ dô kh¸c vÒ biÓu diÔn ® êng th¼ng qua hai ®iÓm

3.1.2 Biểu diễn bằng cách xác định hình chiếu( không cùng vuông góc với trục x)

x

a1

a2

x

a1

a2

x

a1

a2

định duy nhất a:

x

a1

a2

a: bÊt kú thuéc mÆt ph¼ng αLβ

Π

3

3.2 §iÒu kiÖn ®iÓm thuéc ® êng th¼ng

3.2.1 §èi víi ® êng th¼ng th êng

ThÝ dô ¸p dông: Cho ®iÓm I thuéc ® êng th¼ng a BiÕt I 1 , t×m I 2

3.2.1 Đối với đ ờng thẳng cạnh

Th ờng áp dụng hai mệnh đề sau:

Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc

ThÝ dô ¸p dông: Cho ®iÓm M thuéc ® êng th¼ng AB BiÕt M 1 , t×m M 2

M'

3.3 Độ lớn thật của một đoạn thẳng và góc của nó so với các mặt phẳng hình chiếu

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB xác định bởi các hình chiếu Hãy tìm độ dài thật của AB và góc của nó so với các mặt phẳng hình chiếu

3- Dựng 1 đ ờng vuông góc với A1B1tại A1 hoặc

B1, trên đó lấy 1 đoạn = ∆yAB làm cạnh thứ hai của tam giác vuông

1- Lấy A2B2 làm một cạnh của tam giác vuông

3- Dựng 1 đ ờng vuông góc với A2B2tại A2 hoặc

B2, trên đó lấy 1 đoạn = ∆zAB làm cạnh thứ hai của tam giác vuông

3.4 Các đ ờng thẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng

hình chiếu

Các đ ờng thẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu:

1) Đ ờng bằng: Là đ ờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

Π 1

fB

2) Đ ờng cạnh: Là đ ờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh và

có hình chiếu đứng, hình chiếu bằng cùng vuông góc với x

C¸c ® êng th¼ng vu«ng gãc víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu:

3.5 Vị trí t ơng đối của 2 đ ờng thẳng.

Trong không gian, hai đ ờng thẳng có thể:

- Cắt nhau

- Song song

- Chéo nhau nếu không cắt nhau và không song song

3.5.1 Tr ờng hợp cả hai đ ờng không phải là đ ờng cạnh

M

M b

a

M b

a M

b

a

2 1

2 2

2

1 1

b) Hai ® êng th¼ng song song:

1 1

//

//

//

b a

b

a b

c) Hai ® êng th¼ng chÐo nhau:

3.5.2 Tr êng hîp mét trong hai ® êng lµ ® êng c¹nh

NhËn xÐt: Hai ® êng th¼ng nµy kh«ng song song, chØ c¾t nhau hoÆc chÐo nhau

a)ChÐo nhau:

Trong tr êng hîp nµy, hai ® êng th¼ng kh«ng c¾t nhau th× chÐo nhau

3.5.2 Tr êng hîp c¶ hai ® êng lµ ® êng c¹nh

Bài toán : Vẽ giao điểm của đ ờng thẳng và các mặt phẳng hình chiếu Xét xem đ ờng

Đ ờng thẳng a cắt tại điểm M, thì điểm M đ ợc gọi là vết đứng của đ ờng thẳng a

Đ ờng thẳng a cắt tại điểm N, thì điểm N đ ợc gọi là vết bằng của đ ờng thẳng a

mÆt ph¼ng

II.Điều kiện điểm, đ ờng thẳng thuộc mặt phẳng

Điểm M ∈ α và N ∈ α Qua M và N vẽ đ ờng thẳng a thì

a ∈ α

M

N a

Mệnh đề 3:

Cho mặt phẳng α α

Đ ờng thẳng a ∈ α

Điểm M ∈ α Qua M vẽ một đ ờng thẳng b//a thì b ∈ α

Điều kiện đ ờng thẳng thuộc mặt phẳng là đ ờng thẳng đi qua 1 điểm của mặt phẳng

và song song với một đ ờng thẳng của mặt phẳng

Cho mÆt ph¼ng α(ABC), ® êng th¼ng

A2

B2x

III.Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu

Mặt phẳng α cắt Π 2 theo đ ờng thẳng

n α thì đ ờng thẳng đó gọi là vết bằng của α.

m2

n2

=n1

I1

Trong một mặt phẳng, các đ ờng mặt song song với nhau và song song với vết đứng

V.Giao cña ® êng th¼ng víi mÆt ph¼ng Giao cña hai mÆt ph¼ng

g2

g=αGβ(ABC)

g2

1) VÏ mÆt ph¼ng β chøa ® êng t (th êng lÊy β lµ mÆt ph¼ng chiÕu)

2) VÏ giao tuyÕn cña α vµ β (® êng th¼ng g)

B1

A2x

Ph ¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî gi¶i bµi to¸n giao cña hai mÆt ph¼ng:

k'2

ThÝ dô ¸p dông

VÏ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng cho b»ng vÕt

V.Đ ờng thẳng song song với mặt phẳng

Hai mặt phẳng song song.

1 Đ ờng thẳng song song với mặt phẳng

Điều kiện để một đ ờng thẳng song song với một mặt phẳng là đ ờng thẳng này phải song song với một đ ờng thẳng của mặt phẳng.

α

ab

b//a; a∈α ⇒ a//α

ThÝ dô ¸p dông: VÏ t 2 biÕt ® êng th¼ng t ®i qua M vµ song song víi mÆt ph¼ng α(ABC).

M1

M2

B1

VÏ mÆt ph¼ng α(ABC) song song víi ® êng th¼ng t.

1 Hai mặt phẳng song song.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song là mặt phẳng này chứa 2 đ ờng thẳng cắt nhau t ơng ứng song song với 2 đ ờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia

ThÝ dô ¸p dông: Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song víi mÆt

Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song víi mÆt ph¼ng α(mα,nα)

Vi.§ êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng

i i

* Qua M2 vÏ ® êng th¼ng vu«ng gãc víi d2

Bài toán 1: Cho đ ờng thẳng d, Qua điểm M hãy vẽ mặt phẳng α vuông góc với d

Phân tích: điều kiện d⊥α là d phải vuông góc với hai đ ờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng α Chọn 2 đ ờng đó lần l ợt là đ ờng bằng h và đ ờng mặt f

d⊥α ⇒d⊥h Mặt khác h//Π2 suy ra

d2⊥h2 ⇒ cách vẽ h

d⊥α ⇒d⊥f Mặt khác h//Π1 suy ra

d2⊥f1 ⇒ cách vẽ fMặt phẳng xác α định bởi h và f là mặt

Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng α, Qua ®iÓm M h·y vÏ ® êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng α.

Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng α, Qua ®iÓm M h·y vÏ ® êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng α.

2- ¸p dông kÕt qu¶ ë trªn, ta vÏ ® îc d

Thí áp dụng: Tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến một mặt phẳng

các phép biến đổi

hình chiếu

§a diÖn

Biểu diễn đa diện

Trên đồ thức, đa diện đ ợc biểu diễn thông qua biểu diễn các cạnh của chúng với qui định: các mặt của đa diện là không trong suốt.

Giao mặt phẳng và đa diện

Giao của một mặt phẳng với một đa diện là một đa giác phẳng mà mỗi đỉnh của nó là giao điểm của 1 cạnh đa diện với mặt phẳng, mỗi cạnh của nó là giao của mặt phẳng với một mặt của đa diện

A

B

C t

Giao của hai đa diện

Giao của hai đa diện là một hoặc nhiều đ ờng gấp khúc không gian kép kín mà mỗi đỉnh là giao điểm của một cạnh đa diện này với một mặt đa diện kia; mỗi cạnh là giao của một mặt đa diện này với một mặt đa diện kia.

-

-+

+