hàm biến thức và phép biến đổi laplaxo

LOT NOI DAU Tài liệu này gồm nội dưng phát triền của các bài giảng về « Hàm biến phức và phép biến đồi Laplaxơz cho học sinh tác khoa Điện và Vô tuyến điện, trường Đại học Vì sách được v

ĐẠI tộc VẢ “TRUYC noc cet: `

jean

+

to Rb pts » & Oe) nìÈ

` w

PHAN BA NCOCG

“HAM BIEN PHUC

VÀ PHÉP BIÊN ĐÔI LAPLAXO

.ĐÙNG CHO HỌC vINH CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT)

LOT NOI DAU

Tài liệu này gồm nội dưng phát triền của các bài giảng về « Hàm biến phức và

phép biến đồi Laplaxơz cho học sinh tác khoa Điện và Vô tuyến điện, trường Đại học

Vì sách được viết nhằm đối tượng chả yếu là học ‹ssiah các trường đại học kỹ thuật, nên khi biên soạn, chúng tôi chú trọng nhiều tới ý nghĩa các khái niệm và cách vận

dụng cắc định ly hơn là việc trình bày cơ $‡Ở toán học chặt chẽ

Về mặt sư phạm, chúng tôi đã cố gắng trình bày thật tỷ mi, nêu cách đặt vấn đề

và cách giải quyết rô rằng

_Cuối mỗi chương đều có một số bài tập Đáp số các bài tập, bạn đọc có thề tìm

È cuối sách,

Sách này cũng có thề đàng được cho các kp sư ⁄

Sogn oot giáe trình có chất lượng tết là một việc hết sức khó khăn Khi soạn,

„bác không tránh khỏi những thiếu sét, chúng tôi rất mong bạn đọc góp ÿ phê bình

Trong quá triìnb biên soạn, chúng tôi đã được, các đồng chí trong Tồ biên tập sách khoa học tự nhiên Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyến nghiệp giúp đỡ rất nhiều, chúng tôi xin thành thật cảm n -

TÁC GIÁ

CHUONG I

_ SỐ PHÚC:

Trong giáo trình giải tích, chúng la đã học khái niện số thực: Số thực

bao gồm những số hữu tỷ như : 2; 5; 7Š; ae va cac sO v6 ti) thư: 2; e;

Binh phương của mọi số thực đều là một số không âm Cho nên nếu chỉ biết số thực, thì không thể lấy cắn bậc hai của một số âm, và sẽ không giải được mọi phương trình bậc ,haí với hệ số thực Chẳng hạn, phương trình

Đề khắc phục trở ngại đó, người ta đưa vào khải niệnr số phức Việc đưa

_vàc khải niệm số phức ciing nhw xác định các phép toán về số phức phái đạt được yêu cầu sao cho các số thực và các phép toán trên lập các số 4hực, có thể xem

là trường bợp riêng của số phức và các phép toán trên tậĐ các số phức

§ 1 Định nghĩa số phức

Ta gọi 36 phức là một biểu thức có đạng x + iy, trong do x va y la những

số thực, còn sỐ ¿ được gọi la don vj «io, Cac số thực z và ý lần lượt được gọi

là phần thực và ‘phin ảo của số: phức ø -E ỉg Ta thường sự hiệu

y = Imz = Im(x + iy) 6

Người ta thường ký hiệu tập hop tat cả các số phức là €,

Số phức z — iÿ được gọi là số phức liên hợp của số phức Zoe + ig va

được ký hiệu là z

Số phức —# ~ ty được gọi là số phức đổi của số pits ys 3, ms iy va

được ký biệu là (—z)

Hai số phức z¡ = #¡ + ÏØ¡ và z¿ = 2 + ip¿ được a th bằng nhau nếu

chúng có phần thực bằng nhau, phần ảo bẵng nhau, nghĩa là Uy Se ei oy = ve,

1 Phép cộng, Cho hai số phức z¡ = #¡ + ig, VÀ 2¿ = #¿ + H2: Tả

gọi số phức z = (2 +} #¿) + i(y; + 0a) là tổng của hai số phức 2 và Z¿ Khi

dé ta viét z = 2, 4 2%

Từ định nghĩa trên, có thé suy ra 2 a dang các tính chất của phép cộng :

Zy + (22 + 23) = GŒy + 22) + 28 (kết bgp) mm +

4 Phép trừ Cho bai sổ phức z4 = 2, + ÍỤ, VÀ ?¿ = #a + lựa: Ta gọi,

số phức z là hiệu của z¡ VÀ z¿ nếu.z + zs = Z\

Nếu gọi #, lần lượt là phần thực, phần ảo của z thì theo định nghĩa,-

2 = (me, — mys) + ty + aes) | @

là tích của số phức z¡ voi sd phirc zg Khí đó ta viết z em Zt Za

Từ công thức (1) dé dang suy ra rằng phép nhân có cáo tinh chat sau :

Zt Z¿ ME Za By (giao hoán)

(Z4.Z2)zs = zt.(Zv.Zạ) (ket bop) =“

alze + zs) = 212, + Ztza (phân bổ đối với phép cộng)

z.0=0.z=90 [.[ = =1

4 Phép chia Cho hai 83 phito zy = a - iy, wa 7g «= Fy + yy

Néa zy 4 0, thi ton tai duy nhất mội số phitc z = x + iy sar cho Te lq = 2%

Thật vậy, so sánh phần thực và phần áo của hai vế đẳng thức này, a được :

Lot — Yo = %, Đạt + Ley = 1

Đây, là mot hệ phương trình bậc nh&t déi voi hai Ân ®và 4, Định thức

_ của hệ là A = +? + y =° 0, vậy hệ có nghiệm duy nhất : l

_5.Phép nâng lên lúy thừa và khai căn —,

Ta gọi tích của n số phức z là lũy thừa bậc n của z và ký biệu :'

n thờa số

Bat w = 2° = (+ -} iy)*, thì do định nghĩa phép nhân, ta có thể tính

được Re va Imw theo x va-y

Néu z? = w, thi nguwoc lại, ta nói z là căn bậc n của w va ta viết

hiện tương tự như đối với số thực với chú ý rằng í = —1.

Vidy2 (3+ bi) + (2 — 3i) = 5 + 3ï : i w

Vi dụ 3 rot (@ +iy) + (@đứ— i0) = 2c = Wez

Ví dụ 4, Tìm các số thực 2+ và /, nghiệm phương trình

(3x —i)(2 4 i) + (2 ig) + 20 = 5 + 6i

Sau khi tach phan thire va phần ảo ở vẽ trái, phương trình có thể viết: được duro dang

Thật vậy, đễ dàng toấy rằn/' số phức liên hợp của tông bằng tòng các số phức /i*n hợp của lừng số hạng, số phức tiên hợp của tích bằng tích các số phức liên họp của từng \ thừa số, cho tiên :

iu kết quả này suy ra nếu Ø(z) là một đa thức với hệ số thục và nếu

Is 3 Biều điền hình học của số phức Dạng lượng giác của số nhức

1 Điền điễn hình học Cho số phức = x -+, iy Trong mit phẳng đã chọn nổi hệ lrục vuông góc Ox, Oy (gọi tới là mặt phẳng xOy), ta xác định

điềm Ìï có hoành đó là +, tung độ là ý (hb, Í

Điểm A/ được gọi là tọa vị của số phức

Ngược lại, cho trước diem Äf trong mặt phẳng, la biết được các tọa đá yg) của nó trong hệ trạc xÒÿ, da đó lập được số phức z =: = @\-+ iy Vay siừa tán hợp cóc số phức và tấp bọp các điểm của mặt phẳng +zOU, thiết lập được mê! sanz anh

+ + iu) es (M(1,)

Vi Iv do dé, la gọi mặt phỏng 7O) là mặt phẳng phức Sau này ta đồng nhất

số phúc ; vơi điểm 3ƒ là tọa vị của nó, và đồng nhất € với mặt phẳng phức,

áng ]¿ nói số phức z !i ta nói JÄ điểm , Các điểm trên trục Ov biểu diễn -

những 86 phức có phần áo băng Ø, cho nên trục O# được gọi lâ trục thực, Cúc,

điểm trên Oy biéu diễn những số thuần ảo, cho nên trục Og được gọi là

2 Moedun và acgurien của số phức 2

3) Cho 36 phir z có lọa vị là 3/, Ta gọi độ đãi r cia vecte OM là modgu

của - và ky hiệu là fz]

a

X

Géc lượng giáo (Ox, OM) xác định sai khác '2kz ( là Kê nguyên), được

gọi là acgumen của z và ký hiệu là Argz

Aree và có ký hiệu là argz

ect i Nếu >,là một số thực dương, thì

ð| # + argz = 0, nếu z là một số thực âm thì

| - Đặc biệt, trị số của Argz nằm giữa —-x

và mœ, được gọi là giá trị chính ,của

c) Lién hé giita médun va acgumen ctia’ hai số phức bằng nhau Vì hai số

phức bằng nhau có cùng tọa vị, nên môđun của chúng bằng nhau, còn acgumen

của chúng hơn kém nhau một bội số nguyên của 2m:

Ngoài ra cũng từ định nghĩa móđun và acgumen ta dé dang suy ra:

lzJ=lZl z.25=(#-+ i0) (a — lự) =2? — Py? = 2? + y? e lzÌ

Argz, = Argz, + 2kn (k nguyên bãi ky) (9)

zz= [zÏ › và " (10) -

10

Ví đụ 2, Viết phương trình đường tròn

A(x? + y*) 4+ 2B242Cy+D=0, _

- -3, Dang lượng giác của số phức

Nếu biểu diễn phần thục và phần ảo của số phức z — + + iy-theo r và ø, thì ta được

Công thức (11) được gọi là dạng lượng giác của số phức z = x + ty

Ví dụ 3 Viết các số phức sau đây dưới dạng lượng giác :

Định lý 1 Tích của hai số phức có môđun bằng tích các môđun của các

thừa số và có acgumen bằng tổng các acgumen của các thừa số Nghĩa là nếu

z, =='T,(cosp + ising)

thi 2 == 5) ‹ z2 — T¡Ƒ¿ [cos(@ + 9) + isin(g + »)] _ (12)

That vay

Zy22 = (rycosg + trysing) (recosyp + irasin) |

+ ir;re(sine cosip + siny cos)

== 1,7, [cos(g + ¥) + i sin(e + ¥)}

Tương tự, déi voi thtcng cua hai số phức, ta có,

Định lý 2 Thương của Hai số phức có môđun bằng thương.các mỏđun và

có acgumen "bằng hiệu cña aogumen của số bị chia và số chia:

4 Cơng thứừc Moavơrơ (Moivre)

Áp dụng đính lv 1 cho tích của ;: thừa số bằng z, ta được kết quả như sau:

Liy thiva bac a cia 2 = r(cose + ising) cé médun bang r® va co: acgumen

bằng mạ nghĩa là

[r(cosp + ising)]*® = r"(cosng + isinne)

Thy ộ bởi — ø, ta được

Ví đụ 4, Tỉnh các tông ©

= Losp + cos2p + + cosig,

T = sing + sinde + + sinng

Givi Ta c6 iT = tsiny + tsinde + + isinng Nếu đặt z — cose isigep vA chì v tới công thức Moavoro la viết đượt :

"Tương tự, ta tính được

‘T= Im (S + if)

5 Tọa vị của Só phức, tong, số phức hiệu và số phức tích

a) Toa oị của tồng, hiệu Ta đã biết số phức >, == a, +iy, biéu diễn bởi vectơ y; ce toa dé la x1, yy; 80 phire zo = x2 + iye bieu diễn bởi vevtơ' Vo có lọa độ

là #: 0z Số phức > = 2; + 22 biểu diễn bởi vectơ Ý có tọa độ là 4y TE 1; Và

Yy + yz Nhir vậy

+ z2, vécto M2M, bicu dién-sd

phức z¡ — zz Muốn được tọa vị

14? của số phức 2’, ta dung vécto

3

OM = VW’

b) Bat ddny thiré vé mé-

đun Ta đã biết trong đại sé vec-

.‹hơn hoặc bằng tổng các độ dài

của những veclơ thành phần, và

độ dài _dài của vectơ “hiệu lớn hơn

hoặc bằng hiệu các độ đài của hai

- 4 cu Ti |

Vi du 5 Tim quy tich nhitng diém z théa mãn |Z + i|+ |z~ (| =ð Goi 733 toa vi cua i, Al là tọa vị của (—j), M là tọa vị của z, véctợ IM biểu

diễn số phức z ¡ Véctơ HM biều diễn số phức z— (—i)=z-+¡ Vậy | Zhi |= 7

= HM,{|:z:~—i|== IM Vay đẳng thức cho trong đầu bài viết được :

HM + IM = 5

Vi H va I cố định, nẻa quỷ tích của M là một élip nhan I va H làm hai

tiêu điềm

Ví du 6 Tìm trong mặt phẳng phức những điềm z théa man ‘pat đẳng

thức |z—zu | <e trong đó e là một số (thực dương: cho trước, z¿ là số phức

đã cho

Gọi M, la tọa vị của :¿, ÄÍ là tọa vị của 4 Có thể viết bất đẳng thức -

đã cho là Äf,M << : M, đã cố định, vậy quŸ tích những điềm thỏa mãn

'M,M < s là hình tròn tâm M,, ban kinh e

— Hình tron này thường được gọi là s-lân cận của điềm z„(h.4)

Tương tự, tập hợp những điểm z thỏa mãn bất đẳng thức kép

Gia sti M, M,, Wf, theo thir tir ia toa vi cha z, z¡, 2

Gọi ọ; là một giá trị của Argr,, đo các đẳng thức trên, ta thấy: muốn

được điểm , ta phải quay điềm #¿ quanh gốc O một gỏc bằng $;, sau đó thực hiện một phép vị tự (âm O, hệ số vị tự là OM; I Z4 Ì,

14

Diic biệt, tọa ve của izz được suy tir toa vị của Z2 bằng phép quay quanh

gốc O một góc bing > —-

Ví dụ 7 Troag hé toa dé xOy, ditm MU có tọa độ là (#, ø) Quay hệ zÓy

đa, góc a toi vị trí mới là XOY Goi (X, Y) là tọa độ của Ä trong hệ trục mới,

ay tìm liên hệ giữa (x, Y) và ad y)

Goi N la anh cua M trong phép quay quanh gốc 0 một góc (— «) Ta chủ Ỷ

rằng tọa độ của ẤN trong hệ cũ chính là tọa độ Ä, Ÿ của Äf trong hệ mới (h.8)

N la tọa vị của z'—= X + iY

Tọa vị tủa z suy ra từ dọa vị của z' bởi một phép quay quanh gốc C 0 một

góc œ, nghĩa là z bằng tích của z° với số phức có môđun bằng 1, có acgumen

bằng g, nghĩa la:

# = £(co8+ +- isine) = (X + iY) (cose + ising)

SR: sánh phần thực và phần ảo ở hai vé, ta được :

y = Xsina + Ÿcosa,

chính là công thức biều diễn phép quay trục tọa độ,

| VE du 8 Chứng minh rằng nếu ta dựng trên các-cạnh của một tử giác bất

we những tam giác vuông cân AMB, BNC, CPD, DQA (xem hình 7), thì đoạn thắng MP và NQ bằng nhau-vả vuông góc với nhau `

Gọi ø, ÿ +, Š, m, n, P q là những số phức có tọa vị lần lượt là Á, B,C,

D, M,N» PQ

d5

Veetở- A4 biểu điễu gố phức "¬ — m} được suy ra tử vectơ MB biểu diễn

trong đỏ n là một số nguyên dương cho trước,

Đặt § — e(cesy + isiny), thi van dé irén dugc dwa vé tim ¿ và ÿ sao cho

Do công thức liên -hé gitra mddun va acgumen của hai số phức bằng nhau,

Nhưng cha y rang! néu ta cho & lấy hai trị số hơn kém nhau Tụ chẳngn

k và à È + on thi ta cùng được một số phức bởi vì:

cos 2K te TT iain "1X nh == cos ( @ + Âm + 2x)

Cho nén, trong (17) ch: cần cho k lấy n trị số nguyên liên tiếp "Chẳng hạn

k = U,1,2,.:, n— 1 Ứng với ð trị số nguyên liên tiếp chẳng hạn k = Ú, 1; 2,: ,

“ Ứng với trị số đó của ¿, ta sẽ được n số phức khác nhan, và ký hiệu là

Go Ci be peony Gael `

& | VE (cos — + isin 2)

Tom lại, mỗi số phức z có ¡ căn bậc n, được tính theo công thức (13),

Vi ( 3) có hai căn bậc hai làiV3 và —iV5,' nên

—_ -1+iv3

V{ dị 3, Giải phương trình : x4 + 1 —U,

Ta củ vỶ — —I1, vậy các nghiệm của nó là những căn bậc bốn của —1 Vi

§ 5 Giời hạn của dãy số phức

Giới hạn của dãy số phức cũng được định nghĩa tương tự như giới hạn của dãy số thục

1, Định nghĩa 1, Cho dãy số phức

Uy, Uy joe, Un, ’

Ta gọi số L ức z„ là giới hạn của dãy số trên khi 7Z?—® + co nếu với mọi sc>ữ cho trước, hiôn luôn Lồn tại một số tự nhiên N đề khi n > À tìi | tạ — Zg | <2 6, _va khi đo ta ký hiệu là lim u, = z,

n—>co

Định nghĩa trên có thể được minh họa bằng hình học như sau :

Cho trước một e — lân cận tùy ý bé của điểm ;„, bao giờ cũng tồn tại một

số tự nhiên W đề cho các điềm

Uns Unter» Ungar se

đều thuộc vao lan cin do (h &)

18

Chú thich Néu-u, <= a, + ib, va lim’ uy =

Cho trước ¢ > 0, theo gid thiét thi tdn

tại ý, đề khi n> N thì |ua —z,| << e Nhưng Hình 8

¡8 e— œ | = | Re(ua —Zg) | S | tạ — 2e | Vậy suy :

ra |e, — a] < 8 tức lim a, =a "Tương tự như vay lin "bạ = Í Ngược lại,

Đặt k — r(cose + ising) Như vậy z° = r°(cosne -} isinne), da ¿ Re(z") = |

= rềcosng; bạ=— Im(z") = Msinng Vi r =| z |<1 giả thiế) iva | cosng | < 1,

Ky bisu: lim uy = =,

` n—=ocoe

điềm o th lim uy — œ có Ñ nghĩa hình học như sau: cho trước một «A-lan can’

- 2-300

tùy ý của đềm œ, thì luôn luôn tồn tại một số tự nhiên N, đề cho các điềm

Uy , ĐN + UN+2 Pp eve

đều thuộc lân cận đó

Vi du 2 lim (3° + 2i) = &

n- oo

§ 6, Mặt phẳng phức mở rộng Mặt cầu Riman (Riemann)

Ở §õ ta đã gặp khái niệm dãy {u„| dần tới điểm vô cùng Mặt phẳng phức

bồ xung th'n điềm vô càng, được gọi là mặt phẳng phức mở rộng Khái niệm mặt phẳng phức mở rộng có thể được minh họa bằng hình học như sau :

Xét một mặt cầu 3 tiếp xúc với mặt phẳng phức zOW tại gốc O (xem hình 9)

-~

Hình 9

Gọi P là điểm đối kính của O Lrén mat cau

Mỗi điềm thuộc mặt phẳng phức cho tương tng voi một điềm N thuộc mặt cầu, là giaa điềm của đoạn thung Pz với mặt c.u

ˆ Hiền nhiên khi mội diy {zn{ trong mit phang phirc din to vd cing, thi

đẩy {N,]| tương ứng trẻn mặt cầu, bội tụ tới điềm Ø,

Vậy điềm 2 trên mặt cầu, tương ứng với điểm œ trong mặt L phẳng phức Như vậy, sự lương ứng được thiết lập như trên giữa mặt phẳng phúc mở rộng

và mặt cau là một -một Mặt cầu đường kính OP được gọi là mặi cầu Riman

Tổng của n số hạng đầu tiên Sy = u, + uy + +} nạ được gọi là tổng

tiêng thứ ø¡ của chuỗi Nếu lim S, = s, thị ta nói chuỗi (19) hội tụ và có

na~—=-cc

Nếu lim Š„== œ hoặc không tồn tai, thi ta nói chuỗi (19) phân kỳ Chú ý

n— ood

rằng nếu uủạ — a, + ib, thi dé đàng chứng mỉnh được rằng :

Nếu chuöi > u, hdi tu va cé tong lA s.= o + it, thi chuỗi phan thie

Vay viéc khảo sát sự hội tụ của một chuỗi số phức được đua về khảo sát

sự hội tụ của hai chuỗi số thực

Đề khảo sáL sự hội tụ của một chuỗi số phức, thường ta còn dùng tiêu

chuẩn sau:

zl

2 Định lý: Nếu chuỗi các móđun ys | Un | Aoi tự, thi chudi Uy hdr tu

Khi đó, chuỗi uy được gọi là hội tụ tuuệt đối \

Chứng mỉnh Đặt u„ = dạ +- [bạ Vì | dy | < | tự | mà chuỗi » ¡uy | hội tụ,

Tinh tổng riêng S, = 142 4 274 +27 ', Đây là mội cấp af aban

hữu hạn công hội z, nên :

(1 — rcose)° + (rsine)° 1 — 2rcose +r?

5 Vẽ đường cong có phương trình:

a) z= (1 + i)t; b) z= acost + ibsint

CHƯƠNG IL

HAM BIEN PHUC DAO HAM CUA HAM BIEN PHUC

Trong chuong này, ta sẽ đưa vào khải niện hàm biển phức, xây dung các khải niệm cơ bản như : giới hạn, liên tục, đạo hàm

Ban doc nên chủ ý tới phép biến hình !ạo nên bởi một hàm phức, nó :inh

"họa cho ta quy luật biến thiên của hàm theo sự biến thiên của biến số, '

Hạn đọc sẽ thấy điều kiện đề một hàm phức cỏ đạo hàm là một điều kiện khá chặt chẽ Cũng vì thế mà lớp các hàm giải tích đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết hàm biến phức

§1 Khái niệm về miền và biên của miồn

1 Diem trong cua một tập Giả sử # là một tập điềm trong mặt phẳng phức z và z„ là một điềm thuộc # Nếu tồn tại môt s — lân cận của z nằm hoàn

toàn trong /, thi z¿ được gọi là điểm trong của tập £ —

2 Biên của một tập Điểm Š thuộc E hoặc không thuộc E được gọi là

điểm biên của tập E nếu mọi hình tròn tâm § đều chứa cả những điềm thuộc E

và những điềm không thuộc E

Tap bop các điềm biên của tập E, được gọi là biên của tập £, Nếu điểm +»; không thuộc E và tồn tại một hình tròn tâm " không chứa một điền nào của Be thi na được gọi là điềm ngoài của tập E

Vi du 7 Xét tap E là hinh tròn | z | < 1 Mọi điềm: của E đều là điềm trong

biên của E là đường tròn [ z |= 1 Mọi điểm » mà | | > 1 là điềm ngoài của È,

3 Miền, Người ta gọi miền trên mặt phẳng phức là một tập hợp G trên ˆ mặt phẳng ấy có hai tính chất sau:

a) Œ là một tập mở, nghĩa là một tập chỉ gồm những điềm trong ;

b) G là một tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tùy ý thuộc G, bao giờ

cũng có thể nối chủng với nhau bằng một đường cong liên tục nằm, hoàn loàn trong G

Tap G, hop thém những điểm biên của nó, được gọi là một miền Èkin và có

ký hiệu là G

JA

"Miền G được gọi là miền bị chặn nều tồn tại một hình tròn ban kin R,

chứa G ở bên trong

‘Vi dụ 2 Phần của mặt phẳng phức giới hạn bởi một đường cong kín liên

tực Ï (xem hình 10), là một miền Biên của miền là đường cong 1

Sau này, ta chỉ nói tới những miền G mà biên của nó gồm một số hu hạn

ed đường cong kín, Số các đường cong này được gọi là cấp liên thông của

Hinh 13 cho ta ví dụ về miền tam liên

% Ta quy ước hưởng dương trên biên £

của miễn là hưởng mà khi một người đi trén

L theo hưởng đó, thì phần của miền G kề

người đó luôn luôn nằm ở bản trái Theo quy

ước này, thì trong hình 13, hưởng dương trên

biên ngoài Lạ là hướng ngược chiều quay của

kim đồng hồ, hướng đương trên các;biên trong

Lị và L¿ là hướng thuận chiều kim đồng hồ, Vi da 4 VE mién s < ar8z < =

o

Ta vé Ou, 8Ao cho (Ox, Ou, =F VỆ Ou, sao cho (Ox, Ou,) —

3 Mọi điềm z nằm trong góc 2, OU, đều cỏ acgumen thỏa mãn hệ thức

trong góc ũyOHk

io ad

Vậy miền = < argz < = là phần mặt phẳng giới hạn bi bai canh Ou, :

wa Ou, (mién gach chéo trên hình 14) xo

Nếu có một quy luật cho ứng với mỗi số phức z € E một số phức xác định 0,

thì ta nói rằng œ là một hàm số đơn trị của biến số phức z xác định trên E và

Gia trị của hàm số Ứng với z = z,, thường, được ký hiệu là ƒ(z,) Nếu ứng

với mỗi số phức z € È, ta có nhiều giá trị của , thì ta gọi œ là một hàm

đa trị

Sau này; khi nói tới hàm số mà không nói gi thêm, thì ta hiệu đó là hàm đơn trị

Vida 71 Ham w = “xúc định trong toàn mặt phẳng, trừ điểm z =0,

Vi du 2 Ham w = z xác định trong toàn mặt phẳng trừ hai điểm

zt

z=+ivi + 1=0 khi z= +ỉ

-V[ dụ 3 Hàm tp=—z + Vz-TT xác định trong toàn mặt phẳng Đây là

một hầm hai trị ˆ

5 Ching han, img voi z=0, taco w= VI Vì 1=cos0 + iain0-có bai

Ww, = cos — + isin —~_= Í, 1 2 >

nén ứng với z = 0, ta có hai giá trị của w lA wy = Í và œạ¿ —= — Ì

Nếu z== — 1 + 3i, thì = — ï + 2i 4+ v3 Vị số phức 2¡ có hai căn bậc hai 1a

Tóm lại, cho hàm phức w ==: f(z), twong đương với cho hai hàm biến thực |

u = u(x, g); V = v(x, y) và có thê viết w = ƒ(z) đưới dang:

Ta có thể chuyển về dạng (2) hàm phức cho đưới đạng (1) Phép chuyển

như vậy được gọi là tách phần thực và phần ảo của hàm phức

Ngược lại, cho hàm số dưới dạng-(2), cũng có thể chuyển về dạng (1)

Ví dụ 4 Tách phần thực và phần Áo của hàm ro = -—

27

§3 Phẹp biến bình được thực hiện bởi một hàm phức

Đề biểu diễn hình học một hàm số thực biến số thực, ta về đồ thị của

hàn) SỐ đó Đề mu tá hình bee mét ham biến phức, fa khong thé dùng phương

pháp đồ thị được nữa mà phải làm như sau:

25

Giả sử cho ham bién phirc w = f(z), z € E Lấy hai mắt phẳng phức +9g

(mặt phẳng z) và mặt phẳng phức uO,v (mạt "phẳng tp) Ứng với mỗi điển

<0 © E, ham w= /(z) xác định điểm rủ —=ƒ(z,} trong mạặt pháng (? Cho nên,

vé m&t hinh hoc, him w= f(z) xác dinh một phép biến hình từ mặt phẳng z vào mặt phẳng 1Ð

Điềm mm; được gọi là ảnh của điểm z4, - điềm z¿ được gọi là nghịch ảnh

của điểm in,

Cho đường cong L có phương trinh tham sd: x= 2(t); y= y(t) (con viết

là 2(t) = xzŒ) + i0Œ)).*Ảnh của Ú qua phép biến hình + == ƒ(z) == u(%, J) + ø#† i0(, J) là tập các điểm trong mặt phẳng có tọa độ là:

ữ = u[%(), 0()]

w= 0¬), 00)]

Thong thường thi anh của L là một đường cong Ï' nhận (3) làm các phương

trình tham số Muốn được phương trình đềcác (Descaries) của F, nghĩa là muốn

Ngược liên hệ trực tiếp giữa u và 0, thì la khử £ ở hai phương trình (3)

Muốn tim ảnh của một miền G ta có thể làm như sau: Coi G như được

quét nên bởi một họ đường cong ÙL (ví dụ, nếu G là hình tròn tâm O bản R

thì nó có thể- xem như được quét nén bởi một họ đường tròn U tâm O bán kink

r khi z biến thiên từ O đến Ñì

-Ta tỉm ảnh F của L Khi U quét nên toàn bộ miền G, nếu ảnh F của nó quét nên một miền A, thì A sẽ là ảnh của miền G

2) Nếu †zj = 2 thì |m|=|z | = 4 Vậy ảnh của đường tròn

ịz|= 2là đường tron, || = 4 Cũng c‹ có thể ely Juan nhw sau: Ta cb w ==: z2 —=

— (x tiyy = v?—y? + i2xụ, vậy u = aw? — g°; vp = 2xy MAl khác, đường

tron |zl== 32 tó phương trình tham số la x = 2cost; y #&2sin/: ( € [V, Qn) Theo (3), thì ảnh của nó có phương trinh tham số là :

tr = (2cosf)2 — (2sinf)” = 4(cos°f — sin”/) = Ácos2(, | -

Đ 2rụ = == 2(2cost 2sint) == 4sin2t;

2 2 `

khủ ƒ, ta được (+) -_ (=) = 1 hay u? + v? = 42; d6 1a dwong tran tam O;,

ban kinh bang 4

=

3) Nếu argz = ø thì argt? = 2argz = 2ø Vậy ảnh của tia argz =a 1a tia

argiv == 2a, tia nay lạo với trục Ôu một góc 2z (h 16)

0Š — — 4a? (u — a), Đây là một parabôn F nhận truc O,u làm trục đối xứng và có đỉnh tai a = a?, òù=—=0; hướng lõm của parabôn về phia u <0 (h 17) Cho a biến thiên từ 0 tới

1, đường thẳng ¿ sẽ quét nên toàn bộ miền 6 “Trong mặt phẳng to, para bôn r sẽ quét nên mien A Biên của A gồm parabôn v? = — 4(u—1) là ảnh của đường

z=1(d=1) và nửa trục thực ư< 0, 0=0 là ảnh của dwong x =0 (vi khi

Khi « bién thiên từ 0 đến + thì 2 biến thiên từ 0 đến œ Vậy ảnh của miền

Ú <argz < > là nửa mặt phẳng trên 0 < argu < x

Thay cdc biéu thirc nay cla u và ø vào phương trình đã cho, ta được :

#-} — 1—U Vậy nghịch ảnh phải tìm là đường thẳng z + — 1 = 0

§4, Ham ngược Cho hàm ¿ — ƒ(¿z) xác định và đơn trị trong miền E Gọi A là ảnh của miền E qua phép biến hình : = ƒ(z) Như vậy, mỗi điểm z € E có ảnh duy nhất

w € ñ Nhưng ngược lại, cho trước diém w € A, có thé có một hoặc nhiều điềm

thuộc là nghịch ảnh của w

Nếu phép bién hinh w = f(z) là trơng ứng một-một, thì hàm số

u = (z) được gọi là đơn diệp trên £ Dưới đây, ta nêu lên định nghĩa tỷ mỉ của khái niệm này

=

J1- ,„

Định nghĩa Cho-hàm rp — ƒ(z) xác định trên tập E- Nếu ánh xạ ƒ là đơn

anh, ozhia li néu gid tri cha ham sé tai hai diém khác nhau của tập # là khác nhau, thi ham số được gọi là đợn điệp trên tập FE

Phén biến hình tạa nên bởi một hàm đơn diệp, được gọi là à phép biến hình

đơn diệp Phép biến hình = /Œ) chỉ đơn diệp trên #2 nếu tập này không chứa

Nếu phép bitn hinh w = f(z) tt £ lén A la don diép, thi với mỗi điểm

tp: A, có thể cho tương ứng một và chỉ một điểm z € 5 sao cho ƒ( = tu, Vậy | trên làp #, xác định hàm số r — (0) Người ta gọi nó là hàm ngược của hàm —/(2) Hàm ngược này cũng là tmiột hàm đơn trị,

Nếu pbép biến hình = ƒ(:) khong don diép trén E, thì mỗi điềm : € A

có thẻ cho tương ứng một hoặc nhiều giá trị z€ sao cho ƒ(:) = Trong trường hợp này, trên Lập A xác định một hàm ngược đa 1rỊ

Ví dụ 1 làm tủ = z° biến mặt phẳng phức lên cả mặt phẳng phức 0, _ Nhưng phép biến hình này không đơn diệp vì ứng với mỗi :0, có + căn bậc n là

21, Zoe Zp RHAC nhau sao cho

(zx)" = lw (k = 1, n)

Mign E: 0 < arg: < on lA mét mién don diép cla ham w = 2°, Ảnh A của

nó qua phép biến hinh là cá mặt phẳng phức m, trừ đi phần dương của trục

thực Ta còn nói: Ã là mặt phẳng phức bỏ đi lát cắt dọc theo nửa trục thực

dương (gui ước bờ trên của lát ca ứng voi tia arg: = 0, bờ dưới của lát cắt la,

ảnh của tia argz =) Miền “— < arg: < an

cũng là một miền đơn aiep

khac cia ham w == 2”

§5 Giới hạn của hàm biến phức

._ Định nghĩa giới hạn và liên tục của hàm biến phức cũng tương tự như

hàm biến thực

1 Định nghia L Giá sử /{z) là một hàm số xác định trong một lân cận

- của điềm z„ (có thề trừ tại điềm z4) Ta nói số phức 4 là giới hạn của ƒ() khi z

dan toi Zo Tiểu khi |z — z,|-~ 0 thi | f(z) — 4 | — U: Nói khác đi, với mọi eE>U

cho trước, luôn luôn tồn tại ầ > 0, để khi {|z — 2,| <ð thì |ƒŒ)— Al<E

Z—>ÈEo

Dé dàng thấy rằng: nếu ƒ(z) = u(Y, g) + iv(a, 8); zz, = Xe + iy;

32

Chủ thích Theo định nghĩa trên, trong mit phẳng phức, khi điềm z din toi

điểm z,, nd cé thé tién theo nhiéu đường khác nhau Điều đó khác với trong hàm

một biến thực : khi diém a dan tới điềm «x, thì nó chỉ có thể tiến theo đọc trục Óz 3, Định nghĩa 2 Tà nói số phức 4 là giói hạn của ham w = ƒ(z) khi z dần

ra vô cùng, nếu khi| z | — + ce thi| f(z y)— 4[|—0; nói khác đi với mọi c>>0ˆ cho trước, luôn luôn tồn tại một số ft > U, để khi |z] > V thì |ƒŒ) — 4| <

v dy Ham w = 2? liên tục trong toàn mặt phẳng phức vì phần thực

u = 2? — y? vA phần Ảo 0 — 2zÿ luôn luôn liên tục

Nhận zéf Vị định nghĩa giới hạn và liên tục ở đây hoàn toàn tương tự

như trong giải tích thực,nên về các tính chất của giới hạn, các phép tính của

giới hàn, ta cũng có những kết quả lương tự như da biét

Cho ham w *% f(z) xac dinh trong một miền chứa điểm p= + ty

Cho z một số gia Az = Ax + (AU Gọi Am là số gia tương ứng của hàm:

Aw = f(z + 4&z) — [(z)

Xét tỷ 6 Néu khi Az +0, ty số đỏ dan tei một giới hạn' xác định

thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm số w tai diém z, va duoc ky hiệu 1ˆ

Về mặt hình thức, định nghĩa này giống định nghĩa đạó hàm của hàm một-

biến thực Song diéu khác, cơ bản Ja @ day người ta đòi hỏi chặt chẽ hơn: tỷ số

Từ định nghĩa trên, tương tự hhư ở giải tích thực, dễ dàng suy rẢ rằng

néu bam w = f(z) co dao ham tai điềm z, thì nó liên tục tại đó

Vi du 1 Tinh đạo hàm của hàm w =z? tai diém z

_Ta có: Aw == (2 + Aa)! — 2 = 2z LAz+ A2,

‘Néu Ax = 0 thi Az =i Ay; khi do Aw = — iAU; = —— = — 1; vay

Ay —>O

Như vậy, ta thấy Khi cho A¿ —> 0 theo hai đường khác nhau, tỷ số

| — có những giới hạn khác nhau Vậy hàm số đã cho không có đạo hàm tại

mọi điềm z

oe

Qua ví dụ ny, một vấn đề đặt ra là : Cho ham w = ƒŒ)= u(x, y) + iv(x, y) Hỗi voi nhitng ditu kién nao thi ham w = f(z) co đạo hàm tai diém z= 2+ iy?

ĐỀ trả lời câu hỏi này, ta có :

„:Định lý Nếu hàm số — fa) = = u(x, y) Pine, y) co dao ham tai di®m

z= x + ty, thi phdn thyuc u(x, y),vd phan do v(x, y) ca né to dao ham riéng tai điềm (z, 9) uà các đạo hàm riêng đó thôa mãn những hệ thức sau:

¡ “ax =F} SSO ap dy ay 3 / (8)

được gọi là các điều kiện Côsi — Riman (Cauchy — Riemann) (viết tắt là a ait

Ngược lại, nếu ` các hàm số u(x, y), v(x, y) cd các đạo hàm riêngˆ liên tục

tại điềm (z, u), thỏa mãn điều kiện — R, thỉ hàm w = f(z) có đạo hàm r@)

tai diém z m x 4 iy và được tính theo công thức

f’ ()= = u;-+ ti

Chứng minh, điều kiện cần Giả thiết /' (z) tồn tại, nghĩa là giới h hạn của tỷ số

Aw _ u(x + Az, y + Ay) + iv(x + Az, y + Ay) — ua, g) — in(a, y)

Cho Ar —> 0; theo giả thiết, thì vế trải _

Tương tự, khi Az = idy (Ax = 0), thi

với phần thực, phần ao Sởi phần áo của 2 số phức này, ta có:

ax oy 0x _— đụ

Chứng mình điều kiện đủ Giả thiết u(%+, 9), v(x, U) có các đạo hàm riêng

liên tục tại điềm (z, ) và các đạo hàm riêng đó thỏa mãn điều kiện C — R, ta sẽ

4 Au = 2! ax e+ TT AW + siA* + saAU eee

Do điều kiện C — H, có thể Linz đạo hàm bằng nhiều biến thừc khác nhau :

kiện C— R luỏn lướn được thỏa mãn:

That vay, u = e*cosy, v = e*siny,

Chi thich Goi nị vA i là hai hướng vuông góc voi nhau tai diém (2, y)

Hghĩa là góc (my, ly = a khi đó ta có điều kién C—R suy rộng

That vay, ta co:

—— an, = —_ cos (4,7 ox ( } 1) + ey — sin (x, n { tr)

Vậy y ~—— ôm = — sin(az, n.) + —— cos(z, Oy ( 2) ax (x, 7.) = : 2) an,

Tương tự, ta êhứng minh được: _

ou —— ov ôn; any

Ngược lại, cũng dé dang tv (11), suy ra duoc (5)

Vì định nghĩa đạo hàm của hàm biến phức giống như định nghĩa đạo: ham | của hàm biến thực, nên các phép tính đạo hàm của tổng, tích, thương, hàm hợp - .hoàn toàn tương tự như đối với hàm thực

Giả sử các hàm f(z) vag(z) cé dao ham tai điểm z Khi đó,

(f(z) + 9Œ)]Ï'=ƒ/Œ) +ướ) ~

[/(z)- Œ)] =f).øŒ) + ƒŒ) ợŒ),

ƒŒT _ ƒ@sŒ)— ƒG) -v œ)

Ke] ge) IG) #0

Neu w= /(z), z = s(£) đều là những hàm có đạo bàm, thi dao hàm của hàm

-§9,Ý nghĩa hình học của J£@)| và Argf'(z)

GIẢ thiết hàm tơ == ƒ(2) có đạo hàm tại mọi điềm trong mot Jan 'cận điềm

te va ƑŒ.) ra 0

ay