tối ưu tổ hợp

slide tối ưu tổ hợp

Company name

Nội dung

Thuật toán 4

Giới thiệu bài toán 1

Các khái niệm 2

Mô hình hóa toán học 3

Giải bài toán 5

Một số ứng dụng thực tế 6

TUTH I – Nhóm 4

Company name

1 Giới thiệu

Trong cuộc sống chúng ta thường gặp phải những vấn đề liên quan đến tổ chức như: phân công công việc, tuyển dụng theo yêu cầu, xếp lịch hay thời khóa biểu…

Câu hỏi đặt ra là giải quyết như thế nào cho tốt, cho đạt, thậm chí tối ưu để mang lại hiệu quả và lợi ích cao nhất cho công việc

TUTH I – Nhóm 4

Company name

2 Ví dụ thực tế

Bài toán: Chọn 3 trong 4 người vào 3 vị trí làm việc

của cửa hàng Sao cho tiền lương phải trả là ít nhất và người được chọn phải đáp ứng được yêu cầu của

cầu của công việc với chi phí bỏ ra là thấp nhất.

 

TUTH I – Nhóm 4

Company name

3 Bài toán kinh điển

Bài toán “Đám cưới vùng quê”

Có m chàng trai và n cô gái ở một vùng quê

Đối với mỗi chàng trai ta biết các cô gái mà anh ta vừa ý

Có cách nào có thể tổ chức đám cưới mà chàng trai nào cũng sánh duyên với các cô gái mà mình vừa ý?

TUTH I – Nhóm 4

?

Company name

2 Các khái niệm

Ví dụ đồ thị 2 phía:

TUTH I – Nhóm 4

Company name

2 Các khái niệm

2.2 Đồ thị 2 phía đầy đủ:

Đồ thị G = (X  Y, E) được gọi là đồ thị 2 phía đầy

đủ nếu: x  X, y  Y: (x,y)  E

Ví dụ:

TUTH I – Nhóm 4

Company name

2 Các khái niệm

2.3 Đồ thị 2 phía đầy đủ, cân bằng:

Đồ thì G = (X  Y, E) được gọi là đồ thị 2 phía đầy

đủ, cân bằng nếu: |X| = |Y| = k

Ví dụ:

TUTH I – Nhóm 4

Company name

2 Các khái niệm

2.4 Cặp ghép

Cho đồ thị 2 phía G = ( X  Y, E), một tập con các

cạnh M của của E được gọi là “một cặp ghép của G”

nếu:

e 1 ,e 2  E, e 1  e 2  e 1 , e 2 không có đỉnh chung

TUTH I – Nhóm 4

7 8 1

5

o (1,6), (4,7), (5,8)

o (2,6), (5,7)

Company name

2 Các khái niệm

2.5 Cặp ghép cực đại

M của G được gọi là “một cặp ghép cực đại” nếu

nó có lực lượng lớn nhất trong tất cả các cặp ghép của G

 Chú ý:

Một đồ thị có thể có MỘT hay NHIỀU cặp ghép

cực đại

TUTH I – Nhóm 4

7 8 1

5

o (1,6), (4,7), (5,8)

o (2,6), (4,7), (5,8)

Company name

2 Các khái niệm

2.6 Giá trị của cặp ghép

 Giá trị của một cặp ghép M là tổng trọng số các cạnh của nó:

Company name

3.1 Mô hình hóa toán học

Người và công việc được mô hình hóa thành các đỉnh:

Nếu người x i đáp ứng được công việc y j thì có cung

nối giữa 2 đỉnh với trọng số là số lương tương ứng.

Khi đó ta được đồ thị 2 phía có trọng số G = ( X  Y , E).

TUTH I – Nhóm 4

? Yêu cầu bài toán đưa về: Tìm cặp ghép cực đại, giá trị cực tiểu của đồ thị G?Yêu cầu bài toán đưa về: Tìm cặp ghép cực đại, giá trị cực tiểu của đồ thị G?

Company name

3.1 Mô hình hóa toán học

Ví dụ thực tế sau khi được mô hình hóa:

D

1

2 1 1 3

2 1

2 2

3

Company nameTUTH I – Nhóm 4

4.1 Ý tưởng thuật toán

Thực hiện từng bước đưa các trọng số của các cung trong đồ thị về giá trị 0

Nhận thấy: Các trọng số của cặp ghép cực đại có giá trị cực tiểu sẽ tiến về 0 trước Dựa vào điều này mà ta

có thể tìm được nghiệm và dừng thuật toán tại một thời điểm thỏa mãn

TUTH I – Nhóm 4

Company nameTUTH I – Nhóm 4

4.2 Các định lý bổ sung

 Định lý 1: Nếu mọi trọng số của G đều không âm, tồn tại

một bộ k cạnh có trọng số 0 sao cho bộ này là một cặp

ghép của G thì bộ cạnh này chính là một “cặp ghép cực

đại, giá trị cực tiểu của G”.

 Định lý 2: Với mọi đỉnh v của G, nếu cộng một số  vào

tất cả các cạnh có đỉnh là v thì ta được đồ thị G’ mới có cùng cặp ghép cực đại giá trị cực tiểu với đồ thị G

Company nameTUTH I – Nhóm 4

4.3 Hình thành thuật giải

 Từ đồ thị 2 phía G = (X Y, E), ta xây dựng đồ thị 2 phía đầy đủ, cân bằng G’ = (X’ Y’,E’) Cách thực hiện:

 Thêm các đỉnh ảo vào tập đỉnh nhỏ hơn.

 Thêm các cạnh ảo có trọng số rất lớn vào các cạnh chưa có trong E.

 Lưu đồ thị 2 phái đầy đủ, cân bằng vào ma trận 2 chiều:

 Tìm cặp ghép cực đại giá trị cực tiểu của G’ sau đó suy ra cặp ghép cực

đại giá trị cực tiểu của G.

quả của bài toán không đổi.

 Định lý 1  Biến đổi đến khi ma trận thỏa mãn: tất cả

mọi phần tử đều không âm, tồn tại một bộ k phần tử 0, sao cho mỗi hàng chứa một số 0 của bộ này, mỗi cột chứa một số 0 của bộ này.

Company nameTUTH I – Nhóm 4

4.4 Sơ đồ khối thuật toán Hungary

đó

Trừ mọi hàng cho GTNN của hàng

đó

Trừ mọi cột cho GTNN của cột đó

Trừ mọi cột cho GTNN của cột đó

Phủ các phần tử 0 với ít dòng nhất

Phủ các phần tử 0 với ít dòng nhất

n = k? mỗi hàng, mỗi cột chứa một số Lấy ra tập k số 0 thỏa mãn

0 của bộ này

Lấy ra tập k số 0 thỏa mãn mỗi hàng, mỗi cột chứa một số

0 của bộ này

Kết luận

Cộng các phần tử bị phủ với phần tử nhỏ nhất trong bảng

không bị phủ

Cộng các phần tử bị phủ với phần tử nhỏ nhất trong bảng

không bị phủ

Đ S

Trừ mọi hàng cho GTNN của ma trận

Trừ mọi hàng cho GTNN của ma trận

Độ phức tạp thuật toán O(n 3 )

Độ phức tạp thuật toán O(n 3 )

Company name

5 Giải bài toán

 Biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận

Company name

5 Giải bài toán

 Bước 2: Trừ lần lượt các hàng cho phần tử nhỏ nhất của

Company name

5 Giải bài toán

 Bước 3: Trừ lần lượt các cột cho phần tử nhỏ nhất của chúng:

Company name

5 Giải bài toán

 Bước 4: Phủ ma trận sao cho số đường ít nhất phủ hết các số

Company name

5 Giải bài toán

 Bước 6: Tìm ra bộ k số 0 thỏa mãn mỗi hàng, mỗi cột có đúng

Company name

5 Giải bài toán

 Như hình trên ta tìm được một bộ: A-3 , B-2 , C-4 , D-1

 Loại bỏ các cạnh ảo chúng ta có cặp ghép cực đại, giá trị cực tiểu của đồ thị:

 Vậy ta có 1 cách lựa chọn cho việc tuyển nhân sự của cửa hàng trong bài toán đã nêu.

Company name

5 Giải bài toán

 Vậy kết luận cho bài toán thực tế:

 Tuyển người theo việc như sau:

An – công việc 3 (1 triệu/tháng)

Bình – công việc 2 (1 triệu/tháng)

Dương - công việc 1 (1 triệu/tháng)

D

1 2 1

1 3

2 1

2 2

3

LOGO

Cảm ơn sự theo dõi của các bạn!

Tối ưu tổ hợp I – Nhóm 4