Hỏi có thế lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3... Hỏi trong các số lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.. Hỏi có bao n
Trang 1Tổ hợp
4.1 Các quy tắc đếm Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị
Bài 4.1 : Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh
trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau :
a) Bất kì hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau ;
b) Bất kì hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau ;
Bài 4.2 : Có 10000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 4.3 : Với 10 chữ số 0, 1, 2, , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau.
Bài 4.4 : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 Bài 4.5 : Xét một dãy số gồm 7 chữ số (mỗi số được chọn từ 0, 1, , 8, 9) mà chữ số ở vị trí số 3 là số chẵn, chữ số ở vị
trí cuối không chia hết cho 5, các chữ số ở vị trí số 4, 5, 6 đôi một khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy
Bài 4.6 : Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 8, 9 Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các số trên Bài 4.7 : Một người viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành một hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành
Bài 4.8 : Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 0, 2, 3, 6, 9.
Bài 4.9 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một ;
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 5 ;
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 9 ;
Bài 4.10 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi có thế lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho
3
Bài 4.11 : Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho :
Trang 2a) C ngồi chính giữa ; b) A, E ngồi hai đầu ghế ;
Bài 4.12 : Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và
5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi, nếu :
a) các học sinh ngồi tùy ý ;
b) các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn ;
Bài 4.13 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn xếp kề nhau
Bài 4.14 : Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số lập được có bao nhiêu số mà hai
chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau
Bài 4.15 : Xét các số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số mà :
a) 5 chữ số 1 sắp kề nhau ; b) các chữ số được sắp xếp tùy ý ;
Bài 4.16 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn
không nằm liền nhau
Bài 4.17 : Một đội văn nghệ có 15 người, gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người,
biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ
Bài 4.18 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất
thiết phải có hai chữ số 1 và 5
Bài 4.19 : Cho tam giác ABC Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường
thẳng song song với CA.
a) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác ;
b) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu hình thang (không kể các hình bình hành)
Cho biết không có 3 đường thẳng nào của họ là đồng quy
Bài 4.20 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau Tính tổng các số trên.
Bài 4.21 : Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn
các chữ số khác có mặt đúng 1 lần
Bài 4.22 : Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt
chữ số 5
Bài 4.23 : Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 4.24 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiếu số gồm 5 chữ số mà là :
a) số chẵn ;
b) một trong ba chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1
Bài 4.25 : Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập được bao nhiêu số
có 4 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số 1 và 2
Trang 3Bài 4.26 : Từ 10 chữ số 0, 1, 2, , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số đó đều phải có
mặt 0 và 1
Bài 4.27 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng
các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8
Bài 4.28 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số
1
Bài 4.29 : Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Bài 4.30 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 5 người (một trưởng đoàn,
một thư kí và ba thành viên) đi dự trại hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy
Bài 4.31 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 4 người đi dự trại hè Hỏi
có bao nhiêu cách chọn :
a) tùy ý ;
b) hai học sinh A và B không đi cùng nhau ;
c) hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi
Bài 4.32 : Một đoàn tàu có ba toa trở khách : toa I, toa II, toa III Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu, biết rằng
mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Hỏi :
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên ba toa ;
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu để có một toa trong đó có 3 trong 4 vị khách
Bài 4.33 (B04) : Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu đó, có thể lập được
bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không
ít hơn 2
Bài 4.34 : Một chi đoàn có 20 đoàn viên, trong đó có 10 nữ Muốn chọn một tổ công tác có 5 người Có bao nhiêu cách
chọn nếu tổ cần ít nhất một nữ
Bài 4.35 : Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác, cần chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công
nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác
Bài 4.36 : Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cô giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 em trong
đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 4.37 : Một đội cảnh sát gồm có 9 người Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người làm tại B và 4
người còn lại trực tại đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công
Bài 4.38 : Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam Muốn lập một đoàn công tác có 3 người gồm
cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học lẫn nhà Vật lí Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác
Bài 4.39 : Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam Có bao nhiêu cách :
a) chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau ;
b) chọn 5 người, trong đó có không quá 1 nam ;
Bài 4.40 : Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3
tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn, một bì thư chỉ dán 1 tem thư Hỏi có bao nhiêu các làm như vậy
Trang 4Bài 4.41 : Có hai đường thẳng song song d1và d2 Trên d1lấy 15 điểm phân biệt, trên d2lấy 9 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho
Bài 4.42 : Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự hội nghị của trường
sao cho trong đó có ít nhất một cán bộ lớp
Bài 4.43 : Có 16 học sinh, gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành hai tổ, mỗi
tổ 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá
Bài 4.44 : Một người có 12 cây giống, trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi Người đó muốn chọn 6 cây giống để
trồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho :
a) mỗi loại có đúng 2 cây ; b) mỗi loại có ít nhất 1 cây ;
Bài 4.45 : Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn để lập một tốp ca Hỏi có bao
nhiêu cách chọn khác nhau và phải có ít nhất 2 nữ
Bài 4.46 : Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử.
Bài 4.47 : Một tổ có 20 sinh viên, trong đó có 8 sinh viên biết nói tiếng Anh, 7 SV biết nói tiếng Pháp, 5 SV biết nói tiếng
Đức (không SV nào biết nói cả 2 trong 3 ngoại ngữ trên) Cần chọn một nhóm đi thực tế gồm 3 SV biết tiếng Anh, 4 SV biết tiếng Pháp, 2 SV biết tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm
Bài 4.48 : Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau Chọn ngẫu nhiên
4 quả cầu trong hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu
Bài 4.49 : Một hộp có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng được
đánh số từ 1 đến 4
a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu ; 3 quả cầu cùng số ;
b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu ; 3 quả cầu khác màu và khác số ;
Bài 4.50 : Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau Có bao nhiêu cách chọn ra :
a) 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ ;
b) 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ ;
Bài 4.51 : Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau) Người
ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông Có bao nhiêu cách chọn bó hoa, trong đó :
a) có đúng một bông hồng đỏ ;
b) có ít nhất một bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ;
Bài 4.52 : Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống.
a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ;
b) Có bao nhiêu cách xếp, sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau ;
Bài 4.53 : Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn 4 viên bi từ hộp Hỏi có bao nhiêu
cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu
Bài 4.54 : Cho đa giác đều H có 20 cạnh Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ ba đỉnh của H.
Trang 5a) Có bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là hai cạnh của H ?
b) Có mấy tam giác có đúng một cạnh là một cạnh của H ? Có mấy tam giác không có cạnh nào là cạnh của H ?
Bài 4.55 : Trên mặt phẳng cho một thập giác lồi Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba đỉnh của thập giác Hỏi trong số
các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập giác
Bài 4.56 (B02) : Cho đa giác A1A2 .A 2n (n ∈ N và n ≥ 2) nội tiếp trong đường tròn (O) Biết rằng số tam giác có đỉnh là
3 trong 2n đỉnh A1,A2, ,A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh A1,A2, ,A 2n Tìm n.
Bài 4.57 : Trong một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu "cháu ngoan Bác Hồ" trong đó có 4 cặp anh em sinh
đôi Cần chọn một nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội "cháu ngoan Bác Hồ", sao cho trong nhóm không
có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy
Bài 4.58 : Một tập thể có 14 người, gồm 6 nam và 8 nữ, trong đó có An và Bình Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm
6 người Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau :
a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ ;
b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ ;
Bài 4.59 : Một Thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 sách Văn, 4 sách Anh văn và 3 sách Hóa Ông
lấy ra 6 cuốn và tặng 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn
a) Giả sử Thầy giáo chỉ muốn tặng các học sinh trên những cuốn sách thuộc loại Anh văn và Văn Hỏi có bao nhiêu cách tặng ;
b) Giả sử Thầy giáo muốn rằng, sau khi tặng xong, mỗi loại Văn, Anh văn, Hóa còn ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách tặng
Bài 4.60 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau Tính tổng tất cả các số đó.
Bài 4.61 : Cho hai đường thẳng song song d1,d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n.
Bài 4.62 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, và mỗi số lập
được đều nhỏ hơn 25000
Bài 4.63 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có
đúng 2 chữ số lẻ và hai số lẻ đó đứng cạnh nhau
Bài 4.64 : Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học
sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy
Bài 4.65 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007, mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
Bài 4.66 : Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2 ;
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 ;
Bài 4.67 : Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 trong đó 1 và 6 đều có mặt đúng 2 lần, còn các chữ số
khác xuất hiện đúng 1 lần
Bài 4.68 : a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ;
Trang 6b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ;
Bài 4.69 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, còn
các chữ số khác có mặt không quá 1 lần
Bài 4.70 (B05) : Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội
thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ
Bài 4.71 (B06) : Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm
2 phần tử của A Tìm k ∈ {1, 2, , n} sao cho số tập con gồm k phần tử là lớn nhất.
Bài 4.72 (D06) : Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp
B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy
Bài 4.73 : Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D.
Tìm n, biết số tam giác có 3 đỉnh từ n + 6 điểm đã cho là 439.
4.2 Giải phương trình, bất phương trình, hệ
Bài 4.74 : Chứng minh rằng :
a) P n − P n−1= (n − 1)P n−1;
b) 1 + P1+ 2P2+ 3P3+· · · + (n − 1)P n−1= P n
Bài 4.75 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N có : n! ≤
n + 1
2
n
Bài 4.76 : Chứng minh rằng với mọi n, k ∈ N và 2 ≤ k < n thì :
a) A k
n = A k n−1+ kA k n−1−1; b) A n+2
n+k + A n+1 n+k = k2A n n+k;
Bài 4.77 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N và n ≥ 2 thì :
1
A22 + 1
A23 +· · · +A12 = n− 1
n .
Bài 4.78 : Cho n, k ∈ N và 2 ≤ k ≤ n Chứng minh rằng :
k(k − 1)C k n = n(n − 1)C n k−2−2.
Bài 4.79 : Cho 4 ≤ k ≤ n Chứng minh rằng :
C k n + 4C n k−1+ 6C n k−2+ 4C n k−3+ C k n−4= C k n+4
Bài 4.80 : Chứng minh rằng, nếu k ∈ N và 0 ≤ k ≤ 2008 thì :
C k2009+ C k+12009≤ C20091004+ C10052009
Bài 4.81 : Cho mọi n, k ∈ N và 0 ≤ k ≤ n Chứng minh rằng :
C n 2n+k.Cn 2n −k ≤ C n 2n
2
Bài 4.82 : Cho n nguyên dương cố định và k ∈ {0; 1; 2; ; n} Chứng minh rằng, nếu C k
n đạt giá trị lớn nhất tại k0 thì k0
thỏa mãn n− 1
2 ≤ k0≤ n + 12
Trang 7Bài 4.83 : Cho m, n ∈ N và 0 < m < n Chứng minh rằng :
a) mC m
n = nC m n−1−1;
b) C m
n = C n m−1−1+ C m n−2−1+· · · + C m−1
m + C m m−1−1
Bài 4.84 (B08) : Chứng minh rằng n + 1
n + 2
1
C k n+1 + 1
C n+1 k+1
= 1
C k
n (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n).
Bài 4.85 : Chứng minh rằng :
C20080 C20072008+ C12008.C20072006+· · · + C2008k C20072008−k −k+· · · + C20082007.C10= 1004.22008
Bài 4.86 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng :
C1n+ 2.C
2
n
C1 + 3.C
3
n
C2 +· · · + n C
n n
C n n−1 = n(n + 1)
2 .
Bài 4.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng :
C0n
C1
n+2
+ C
1
n
C2
n+3
+ C
2
n
C n+43 +· · · + C
n n
C n+1 2n+2 = 1
2.
Bài 4.88 : Chứng minh rằng :
1 C0
5C n k + C51C n k−1+· · · + C5
5C k n−5= C n+5 k , với 5 ≤ k ≤ n.
2 C n
2n=
C0
n
2 +
C1
n
2 +· · · + C n
n
2
3 C0
n C m k + C n1C m k−1+ C1n C k m−2+· · · + C k
n C0m = C k n+m
Bài 4.89 : Tính S =
C n0
1
2 +
C n1
2
2 +
C n2
3
2 +· · · +
C n n
n + 1
2
Bài 4.90 : Chứng minh rằng : 1
C12009 + 1
C20092 +· · · + 1
C20092009 = 1005
2009
1
C12008 + 1
C22008 +· · · + 1
C20082008
Bài 4.91 : Chứng minh rằng : Pn
k=1
(−1)k
1 + k2C 2n n+k<0
Bài 4.92 : Giải các phương trình :
1 C3
n = 5C1n;
2 C n
14+ C14n+2 = 2C n+114 ;
3 3C2
n+1 + nP2= 4A2n;
4 C2
n+1 − A2
n − 4n3 =
A12n
2
Bài 4.93 : Giải phương trình : x! − (x − 1)!
(x + 1)! =
1
6
Bài 4.94 : Giải bất phương trình : P n+4
P n P n+2 <
15
P n−1
Bài 4.95 : Giải phương trình : P x A2x + 72 = 6(A2x + 2P x)
Bài 4.96 : Tìm x, y ∈ N thỏa mãn hệ :
8
<
:
A2x + C y3= 22
A3y + C2x = 66
Bài 4.97 : Giải bất phương trình : A3
x + 5A2x ≤ 21x.
Bài 4.98 : Giải bất phương trình : C n n−3−1
A4
n+1
< 1
14P3
Trang 8Bài 4.99 : Giải phương trình : 1
C4x − C1x
5
= 1
C6x
Bài 4.100 : Tìm số nguyên dương x thỏa mãn phương trình :
C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2− 14
Bài 4.101 : Giải bất phương trình : 1
2A
2
2x − A2
x≤ 6x C3
x+ 10
Bài 4.102 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện sau :
8
>
>
C n4−1− C3
n−1<
5
4A
2
n−2
C n+1 n−4≥ 7
15A
3
n+1
Bài 4.103 : Giải hệ phương trình :
8
<
:
2A y x + 5C y x= 90
5A y x − 2C y x= 80
Bài 4.104 : Giải hệ phương trình :
8
<
:
5C y x−2= 3C y x−1
C y x = C y x−1
Bài 4.105 (D05) : Tính giá trị của M = A4n+1 + 3A3n
(n + 1)! , biết rằng C2
n+1 + 2C2n+2 + 2C n+32 + C n+42 = 149
Bài 4.106 : Tìm số nguyên n > 1 thỏa mãn đẳng thức : 2P n + 6A2
n − P n A2n= 12
Bài 4.107 : Tìm k ∈ {1, 2, , 2005} sao cho C k
2005đạt giá trị lớn nhất
4.3 Hệ số của xk trong khai triển
4.4 Hệ số của xk trong khai triển nhị thức (a + b)n
Bài 4.108 (D07) : Tìm hệ số của x5trong khai triển thành đa thức của : x(1 − 2x)5+ x2(1 + 3x)10
Bài 4.109 : Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển
x
2+ 4
x
18
Bài 4.110 : Tìm hệ số của x5trong khai triển : P = (2x + 1)4+ (2x + 1)5+ (2x + 1)6+ (2x + 1)7
Bài 4.111 (A03) : Tìm số hạng chứa x8trong khai triển
1
x3 + √
x5
n , biết : C n+1
n+4 − C n n+3 = 7(n + 3).
Bài 4.112 : Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhị thức
3
√
16 + √
3
7
Bài 4.113 : Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ :√
3− √45
124
Bài 4.114 (D04) : Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) trong khai triển
3
√
x + √41
x
7
Bài 4.115 : Trong khai triển
x√3
x + x−
28 15
Ǒ
n hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng C n
n + C n n−1+ C n n−2= 79
Bài 4.116 : Biết rằng tổng các hệ số của khai triển (x2+ 1)n bằng 1024 Hãy tìm hệ số a của số hạng ax12trong khai triển đó
Bài 4.117 : Tìm n > 5, biết trong khai triển
x + 1
2
n thành đa thức đối với biến x, hệ số của x6bằng 4 lần hệ số của x4
Trang 9Bài 4.118 (A02) : Cho
2x−12 + 2−x
n
= C0n
2x−12
n + C n1
2x−12
n−1
2−x
+· · · + C n n−1
2x−12
2−x
n−1
+ C n n
2−x
n
Biết rằng C3
n = 5C n1và số hạng thứ tư bằng 20n Tìm n và x.
Bài 4.119 : Cho
1
3+ 2
3x
10
= a0+ a1x + · · · + a9x9+ a10x10
Tìm số hạng a k lớn nhất
Bài 4.120 (A08) : Cho khai triển (1 + 2x) n = a0+ a1x + · · · + a n x n , trong đó n ∈ N∗và các hệ số a0,a1, ,a nthỏa mãn
a0+ a1
2 +· · · +a2n n = 4096 Tìm số lớn nhất trong các số a0,a1, ,a n
Bài 4.121 (CĐ08) : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
2x + √51x
18
, (x > 0).
Bài 4.122 (B07) : Tìm số hạng chứa x10trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 + x) n, biết :
3n C n0− 3n−1C1n+ 3n−2C2n− 3n−3C3n+· · · + (−1)n C n n= 2048
Bài 4.123 : Tìm hệ số của x7trong khai triển đa thức (2 − 3x) 2n , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn : C1
2n+1 + C32n+1+
· · · + C 2n+1
2n+1 = 1024
Bài 4.124 : Tìm hệ số của x8trong khai triển (x2+ 2)n , biết : A3
n − 8C2
n + C n1= 49
Bài 4.125 (A06) : Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của
1
x4 + x7
n , biết rằng C1
2n+1 +
C 2n+12 +· · · + C n
2n+1= 220− 1
4.5 Hệ số của xk trong khai triển (a + b)n
Bài 4.126 : a) Tìm hệ số của x2trong khai triển (2 − 3x)5(1 + x)4
b) Tìm hệ số của x3trong khai triển ( √x + 3)6(1 + x)12
Bài 4.127 (D03) : Gọi a 3n−3là hệ số của x 3n−3trong khai triển thành đa thức của (x2+ 1)n (x + 2) n Tìm n để a 3n−3= 26n.
Bài 4.128 : Tìm hạng tử chứa x20trong khai triển : (1 + x + x3+ x4)10
4.6 Hệ số của xk trong khai triển (a + b + c)n
Bài 4.129 : a) Tìm hệ số của x2trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x2+ x− 1)6
b) Tìm hệ số của x3trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x2+ x− 1)5
Bài 4.130 : Tìm hệ số của x4trong khai triển (1 + x + 3x2)10
Bài 4.131 (A04) : Tìm hệ số của x8trong khai triển
1 + x2(1− x)
8
Bài 4.132 : Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển :
1 +6
x + x
10
4.7 Tính tổng các hệ số tổ hợp : Pn
k=0
akCk n
4.8 Phương pháp cơ bản với ak chỉ là hàm số mũ theo biến k
Bài 4.133 (D08) : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C1
2n + C 2n3 +· · · + C 2n−1
2n = 2048
Trang 10Bài 4.134 : Tính tổng C1
20+ C220+· · · + C10
20
Bài 4.135 : a) Khai triển nhị thức (3x − 1)16;
b) Chứng minh rằng : 316C016− 315C116+ 314C216− · · · + C16
16= 216;
Bài 4.136 : Chứng minh rằng :
a) 2n C0n+ 2n−1C n1+ 2n−2C n2+· · · + C n
n = 3n; b) 3n C0n− 3n−1C n1+ 3n−2C n2+· · · + (−1)n C n n= 2n;
Bài 4.137 : Chứng minh rằng :
n−1
X
k=1
C n k = 2(2n−1− 1);
n
X
k=0
C k n(−1)k= 0
Bài 4.138 : Chứng minh : C0
2n + C 2n2 32+ C42n.34+· · · + C 2n
2n.32n = 22n−1(22n+ 1)
Bài 4.139 : Tính các biểu thức sau :
1 A = C0
19− C2
19+· · · + C16
19− C18
19
2 B = C1
19− C3
19+· · · + C17
19− C1919
3 C = C0
2n − 3C2
2n + 9C42n − 27C6
2n+· · · + (−3)n C 2n 2n
Bài 4.140 (D02) : Tìm số nguyên dương n sao cho : C0
n + 2C n1+ 4C n2+· · · + 2n C n n= 243
4.9 Phương pháp đạo hàm với ak là tích hàm số mũ và đa thức theo k
Bài 4.141 : Chứng minh rằng :
a) C1
n + 2C2n + 3C3n+· · · + nC n
n = n.2 n−1;
b) C1
n − 2C2
n + 3C3n− · · · + (−1)n−1C n
n= 0 ; c) 2n−1C1n− 2n−1C2n+ 3.2n−3C n3− · · · + (−1)n−1nC n n = n ;
Bài 4.142 : Cho (x − 2)100= a0+ a1x + a2x2+· · · + a100x100 Tính :
a) a97;
b) S = a0+ a1+· · · + a100;
c) M = a1+ 2a2+ 3a3+· · · + 100a100;
Bài 4.143 : Cho f (x) = (1 + x) n với n ≥ 2.
a) Tính f′′(1);
b) Chứng minh : 2.1.C2
n + 3.2.C3n + 4.3.C n4+· · · + n(n − 1)C n
n = n(n− 1)2n−2
Bài 4.144 : Chứng minh : 2n−1C n1+ 2n−1C2n+ 3.2n−3C3n+ 4.2n−4C n4+· · · + nC n
n = n.3 n−1
Bài 4.145 : Chứng minh : C1
n.3n−1+ 2C2n.3n−2+ 3C3n.3n−3+· · · + nC n
n = n.4 n−1
Bài 4.146 : Tính A = C1
n − 2C2
n + 3C3n − 4C4
n+· · · + (−1)n−1nC n n