Tìm phần thực phần ảo số phức Bài tập 1.. Tìm m nguyên dương để z là số thuần thực, thuần ảo... Xác định phần thực, phần ảo của số phức 1.. Giải phương trình trên tập số phức Bài tậ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 2
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Dạng đại số
( , )
z = +a bi a b Î
+ Phần thực: Re( )z =a
+ Phần ảo: Im( )z =b
2 Số phức liên hợp:
+ Cho z = +a bi a b ( , Î ) Khi đó số phức z = - đgl số phức liên hợp với z a bi
+ Tính chất:
z =z
z +z =z +z
1 2 1 2
z z =z z
æ ö÷
ç ÷
ç ÷=
ç ÷÷
çè ø
2 Re( ); 2 Im( ); Re ( ) Im ( )
3 Mô đun số phức
+ Cho z = +a bi a b ( , Î ) Mô đun của z là z = a2 +b2
+ Tính chất:
2
z =z z
z = z
1 1
, : ; z z
" Î = =
Trang 2+ Tính chất: Với
(cos sin ); (cos sin ); (cos sin )
z =r j+i j z =r j +i j z =r j +i j
Ta có:
1 2 1 2(cos( 1 2) sin( 1 2))
z z =r r j +j +i j +j
cos( ) sin( ) ( 0)
(cos( ) sin( ))
n n
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 Tìm phần thực phần ảo số phức
Bài tập 1 Tìm phần thực, phần ảo các số phức sau:
a) z =(1-i 3)(1+ i)
1
i z
i
-=
2 2
z
i
=
49
(1 ) ( 3 )
i z
i
+
=
e)
12 9 (1 ) 3
i z
i
+
= +
f) cos sin 3(1 3)
3 3
z =æçç p-i pö÷÷i +i
÷
Bài tập 2 Cho số phức 7
4 3
m
i z
i
æ + ÷ö
ç ÷
= çç ÷÷
ç
-è ø Tìm m nguyên dương để z là số thuần thực, thuần
ảo
Hướng dẫn
Ta có:
4 4
m m
z = æçç p +i pö÷÷
÷
çè ø
Khi đó ta có:
4
= = với k =1,2,
4
m
p
= = + với k =1,2,
Trang 3
Bài tập 3 (TN_2010)
a) Cho hai số phức z1 = +2 5 ;i z 2 = -3 4i Xác định phần thực, phần ảo của số phức
1 2
z z
b) Cho hai số phức z1 = +1 2 ;i z 2 = -2 3i Xác định phần thực, phần ảo của số phức
1 2
z -z
Bài tập 4 (ĐH B_2011) Tìm phần thực, phần ảo của số phức
3
1 3 1
i z
i
æ + ö÷
ç ÷ ç
=çç ÷÷ + ÷
çè ø
4 4
2 2
z = æçç p +i pö÷÷= + i
÷
Bài tập 5 (ĐH A_2010) Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( ) (2 )
Bài tập 6 (CĐ_A,B_2009) Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết:
2
(1+i) (2-i z) = + +8 i (1+2 )i z
Hướng dẫn: Ta có 8 2 3
i
i
+
Dạng 2 Giải phương trình trên tập số phức
Bài tập 7 Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) z2 +2z+10=0
b) z2 +(2i+1)z + -1 5i =0
c) 4z 3 7i z 2i
=
d) (2-3 )i z2 +(4i-3)z + - =1 i 0
e) (1-i z) 2-2(1+2 )i z- =2 0 f) (z2 +z)2+4(z2+z) 12- =0 g) 4 3 1 2
1 0 2
z -z + z + + = z
h) z5+z4 +z3+z2+ + =z 1 0
Hướng dẫn
a Ta có D = -9 nên phương trình có hai nghiệm là z1 = - -1 3 ;i z 2 = - +1 3i
b Ta có D =(2i+1)2-4(1-5 )i = - +7 24i =(3+4 )i 2
(3 4 )i
+ là một căn bậc hai của D
Vậy phương trình có hai nghiệm là z1 = +1 i; z2 = - -2 3i
c Điều kiện z ¹ Khi đó phương trình tương đương với: i
Trang 4d Ta có (2 3 ) (4- i + i-3)+ - =(1 i) 0 nên phương trình có một nghiệm z =1 1 và một
z
f Đặt t =z2+z, ta có 2 6
2
t
t
é = -ê + - = ê =êë Vậy phương trình đã cho tương đương với
2 2
1 23
6 0
2
2 0 1; 2
i
é -
é + + = ê =
ê + - = ê
g Vì z =0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có:
2
æ ö÷ æ ö÷
ç ÷ ç ÷
- + + + = çç - ÷ -çç - ÷+ =
è ø è ø (1)
Đặt t z 1
z
= - thì pt (1) có dạng
1 3
1 3 2
2
i t
i t
ê = ê
-ê = ê ë
Bài tập 8 (TN_2011) Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) (1-i z) +(2- = -i) 4 5i
b) (z-i)2+ =4 0
Bài tập 9 (TN_2009) Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) 8z2-4z+ =1 0
b) 2z2-iz + =1 0
Dạng 3 Tìm số phức thỏa mãn một điều kiện cho trước
Bài tập 10 Tìm số phức z sao cho z =5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo
Hướng dẫn
+ Giả sử z = +a bi a b ( , Î )
+ Theo giả thiết ta có:
2; 1 2
ïî
Trang 5
Bài tập 11 Tìm số phức z thỏa mãn:
1
ìï - = ïïí
ï = -ïïî b)
25
z z
ìï - + = ïï
íï =
c) z2+ z +8z =44 d)
( )
2 1 2
z
ìï +
ïïï + íï
ïïïî
Hướng dẫn
a) Gọi z = +a bi a b ( , Î ), ta có:
2
1 1
b
ï + - = + ï =
ï + - = - + ï =
ïî
b) Gọi z = +a bi a b ( , Î ), ta có:
25
ïî
c) Gọi z = +a bi a b ( , Î ), ta có:
4
0
a
b
ï
Giải hệ ta được 4 số phức thỏa mãn là: 11; 9 257; 4 3
2
d) Gọi z = +a bi a b ( , Î ), ta có:
2
2
z
+ = + = + =
Mặt khác:
(z +1) z-i = 5 a+1 +b a + b+1 =5
é = - é =
Trang 6
Bài tập 12 (A_2011)Tìm số phức z thỏa mãn: z2 = z2+z
Hướng dẫn: Gọi z = +a bi a b ( , Î ), ta có:
2
2
ìï - = + + ïï
Giải hệ ta được từ đó ta được các số phức sau thỏa mãn : 0; 1 1
z = z = - i
Bài tập 13 (B_2011)Tìm số phức z thỏa mãn: z 5 i 3 1 0
z
+
Hướng dẫn: Gọi z = +a bi a b ( , Î ), ta có:
1
3
a
z
b
ìé
ï = -ïê ï
ïï = -ïïî
Bài tập 14.Tìm số phức z thỏa mãn:
12 5
4 1 8
z
z z
ìï
ïï -ïïí
ï
ïï + ïïî
Đáp số: z = +6 8 ;i z = +6 17i
Bài tập 15 Tìm số phức z sao cho 1
3
z i
- = + và z +1 có một acgumen bằng 6
p
-
Hướng dẫn: Gọi z = +a bi a b ( , Î ), ta có:
+ Từ
1 3
a
b
ìï Î
íï =
+ Vì z +1 có một acgumen bằng
6
p
- nên z +1 luôn có dạng lượng giác:
3
1 cos sin
z réê æç pö÷÷ i æç pö÷÷ùú i
+ = ê ççç- ÷÷+ ççç- ÷÷ú =
-è ø è ø
Trang 7+ Do đó ta có
3
2 3 1 1
2
r
-ï- = - ïïî
ïïïî
Dạng 4 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ
Bài tập 16 Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
a) z+ +z 3 =5 b) z- + - =z 1 i 2
c) (2-z i) ( )+z là số thực tùy ý d) (2-z i) ( )+z là số ảo tùy ý
e) 2z- = - +i z z 2i f) z2-z2 =4
Hướng dẫn: Đặt z = +x yi x y ( , Î) = -z x yi, ta có:
4
x
x
é = ê + + = + = ê = -êë
Tập hợp các điểm thỏa mãn YCBT nằm trên hai đường thẳng x =1;x = -4
2
z- + - = z i + y- = =y
c) (2-z i) ( )+z =(2-x x) +y(1-y)+ié(2-x)(1-y)-xyù
2
2 4
- + Î - - - = - +çç - ÷÷ =
çè ø
Tập hợp điểm là đường tròn tâm 1;1
2
Iæçç ö÷÷
÷
ç ÷
çè ø , bán kính
5 2
4
z- = - +i z z i x + y- = - =y y x
f) 2 2
1
1
y x
y x
é
ê = ê
ê = -ê ë
Bài tập 17.(D_2009) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết rằng:
Trang 8 Tập hợp điểm là đường tròn tâm I(3; 4- ) , bán kính R =2
Bài tập 18 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết rằng:
a) z+2 = -i z b) z-4i + +z 4i =10
Hướng dẫn: Đặt z = +x yi ( ,x y Î ), ta có:
z + = - i z x +y +y = x + y- x + y+ =
9 25
Bài tập 19 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho 2
2
z z
-+ có một acgument bằng
3
p
Hướng dẫn: Đặt z = +x yi ( ,x y Î ), ta có:
2
i
- +
2
z
z
-+ có một acgument bằng
3
p
thì:
4
0 2
2 4
3
4 2
2
y
y y
-ïï - + ïïî
4
y
+ - = +çç - ÷÷ =çç ÷÷
Tập hợp điểm là đường tròn tâm 0; 2
3
Iæçç ö÷÷
÷
ç ÷
çè ø , bán kính
4 3
R = nằm phía trên trục
thực (Trục Ox )