Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File word

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File word

- Số phức (dạng đại số): z a bi a b , ¡  a là phần thực, b là phần ảo của z Kí hiệu Re za, lm zb

- Số phức liên hiệp của số phức: z a bi a b, , ¡  là z a bi

- Cho số phức: z a bi với a b, ¡ ,z0, ta có rcosisin  với r0 là

dạng lượng giác của số phức: z a bi 2 2

Góc lượng giác Ox OM,   k2 tức là các acgumen sai khác k2 với k

Khi z0 không có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định

- Nếu zrcosisin , 'z r' cos '  isin '  thì có:

Với n là số nguyên, n1 thì rcosisin  n r ncosnisinn 

Đặc biệt: cosisin n cosnisinn

Căn bậc hai, bậc n của số phức

- Số phức z là một căn bậc hai của số phức wz2 w

Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai của w

- Số phức z là một căn bậc n của số phức wz n w

Đặc biệt căn của đơn vị: cosisin n 1

2cosn isinn cos 0 isin 0 k ,k 0,1, 2, ,n 1

i trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức Trục thực là trục

hoành và trục ảo là trục tung

- Nếu z z, ' biểu diễn bởi M M, ' thì zz' được biểu diễn bởi OMuuuurOM zuuuur', z' được biểu diễn bởi

OMuuuurOMuuuur M Muuuuuur

Tập điểm biểu diễn số phức:

- Gọi điểm M x y ; biểu diễn số phức z x yi x y , ¡ 

- Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập

Nên: 1 33 33  2 16

.1

i

i i i i i

z

z z

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Vậy có hai căn bậc hai là 5 2 2 , 5 2 2 i   i

Bài toán 10.5: Tìm các căn bậc hai của w a bi a b , ¡ 

0

a b a x

a b

12

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

AH OH

    

 2 2

2 2 3

2 tansin 2

Vậy acgumen của z 2 3i bằng 2  

thì không có dạng lượng giác

b) 1 cos isin 1 cos isin 

2sin sin cos 2cos cos sin

- Khi sin0: nó có dạng lượng giác không xác định

- Khi sin0: dạng lượng giác là 2sin cos sin

sin cos  cos sin

Vậy z có hai căn bậc hai là: 1 2 cos sin 1 3

x yi z

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Đặt x 3 sin , y 3 cos thì tìm được z lớn nhất khi z2 3i và z nhỏ nhất khi



và 7sin12

So sánh đồng nhất với kết quả trên, suy ra:

Bài toán 10.18: Cho a, b, c là ba số thực sao cho cos cos cosa b c0

Tìm phần ảo của số phức 1itana1itanb1itanc,

suy ra tanatanbtanctan tan tana b c   a b c k k¢

Hướng dẫn giải

Từ khai triển của 1itana  1itanb  1itanc thì phần ảo của số phức

1itana1itanb1itanc bằng tanatanbtanctan tan tana b c

Vậy tanatanbtanctan tan tana b c khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của 

Do đó: 1 i tan a1itanb1 i tan c có acgumen là a b c  l

Vậy: tanatanbtanctan tan tana b c   a b c k k¢

Bài toán 10.19: Giải các phương trình nghiệm phức:

Nên  có hai căn bậc hai là cosisin 

Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1cos , z2 isin

Bài toán 10.20: Giải các phương trình nghiệm phức

2 i 4 7i 1 7 24i 4 3i

         nên  có các căn bậc hai là  4 3i

Từ đó giải cho 2 nghiệm x 3 i x,   1 2i

Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x 2 i x,  3 i x,   1 2i

Bài toán 10.21: Giải phương trình nghiệm phức:

Vậy nghiệm của phương trình là 1 7

1; 2;

z  z  z  i b) Thay zi vào phương trình ta có m3

Vậy 3 nghiệm của phương trình là zi z,  2 i z,  1 i

Bài toán 10.22: Giải các phương trình nghiệm phức:

trình đã cho có bốn nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi ở hình 2

Bài toán 10.24: Giải phương trình nghiệm phức:     *

1 n 1 n 0,

z  z  n¥

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương: z1 n  z1n,

vì z1 không thể là nghiệm, do đó ta có thể viết: 1

11

n

z z

(Vì m 0 0  1 z không xác định nên ta loại bỏ 0)

Vậy phương trình có n1 nghiệm: z icotm

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Mà (1): 3 5

0

z w  nên: z   1 w 1 và z   1 w 1

Vậy hệ có hai nghiệm z w,  là: 1; 1  và 1;1

Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:

312

z

z i

z i i

 chứng tỏ phần ảo của z bằng 1 Vậy z 1 i

Bài toán 10.27: Không giải phương trình 2  

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục thực Ox

Bài toán 10.30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện:

 và 1

y x

 Vì với mỗi điểm  x y, của hyperbol này, tìm

a x y nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hyperbol đó

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn căn bậc hai là hyperbol 1

2

y x

Bài toán 10.32: Chứng minh rằng:

a) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w  z

b) Nếu z1 khác z2: z1  z2 khi và chỉ khi 1 2

2 3

n

i z

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

5

2 3

n

i z

n l

  , với l nguyên dương

Bài toán 10.34: Tính sin 4 và cos 4 theo các lũy thừa của sin và cos

sin 44cos sin4cos sin 

Bài toán 10.35: Cho zcosisin   ¡  Chứng minh rằng:

a) Trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Giả sử z1  z2  z3 Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi:

OGuuur  OA OBuuuruuurOCuuur

Vì OA OB OCuuur uuur uuur, , theo thứ tự biểu diễn z z z1, 2, 3 nên G biểu diễn số phức  1 2 3

1

3 z  z z

b) Ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn tâm O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G

của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức G0 hay z1  z2 z3 0

Bài toán 10.42: Giải hệ phương trình:

Bài toán 10.43: Phân tích thành

a) Nhân tử bậc nhất của: f x cosnarccosx

Bài toán 10.44: Chứng minh:

a) x3mx3n1x3p2Mx2 x 1 với m, n, p nguyên dương

a) Để chứng minh đa thức f x  chia hết cho đa thức g x , ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm của g x 

đều là nghiệm của f x 

Nếu gọi w là nghiệm của x2 x 1 thì w2  w 1 0

hay w2   w 1 nên w3  w2    w w 1 w 1

Thay w vào đa thức thứ nhất ta có: w3mw3n1w3p2   1 w w2 0

Vậy w cũng là nghiệm của đa thức x2 x 1 (đpcm)

b) Gọi  là nghiệm của g x , ta có:

Bài toán 10.45: Cho n là số nguyên dương đa và đa thức P x  với các hệ số thực như sau

Vậy có 8 đáp số của p x  là x21,x2 x 1,x22x1

Bài toán 10.47: Cho đa thức   3 2

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Từ điều kiện đề bài suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân x3 px2qx r 0 có 1 nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp

Giả sử ba nghiệm đó là a R, cosisin  ,R cosisin  với a0,R0 , 0   thì

i i

11

Bài tập 10.4: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a) cosisin ;cosisin

b) sinicos ;sin icos

Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa lượng giác và công thức lượng giác

Kết quả cos   isin   ;cos   isin 

b) Kết quả cos sin ;cos sin

b) Gọi z x yi x y, , ¡  và biến đổi tương đương Kết quả Elip

Bài tập 10.8: Chứng minh rằng:

a) Nếu phương trình a z n na n1z n1  a z2 2a z1 a0 0 với các hệ số thực có nghiệm phức là z0 thì z0

cũng là nghiệm của phương trình

b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số:    1 i; 1 i i;2 ;2 2 i cùng nằm trên một đường tròn

Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp

b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C và thử tọa độ D

Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vuông góc nhau nên thuộc đường tròn đường kính CD

Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:

z z

Bài tập 10.10: Chứng minh rằng đa thức P z  là hàm số chẵn của z£ khi và chỉ khi tồn tại Q z  thỏa mãn: P x Q z Q   z z, £

Hướng dẫn

Chứng minh bằng quy nạp theo m là số nghiệm khác 0 của đa thức P z , tức là tồn tại Q z  thỏa mãn

P z Q z Q z