ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2009

Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F.. AI và BI cắt EF lần lượt tại

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009 _

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2008-2009

Bài 1 (4điểm)

Giải hệ phương trình:





1 2xy

2

x 1 2x y 1 2 y

9

Bài 2 (5điểm)

Cho dãy số x xác định như sau: n

 





 



1

2

n 1 n 1 n 1

n

1

x

2

x

2 Xét dãy số



n

i 1 i

1 y

x Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 3 (5 điểm)

Cho 2 điểm cố định A,B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho

 ACBa   o

0 a 180 không đổi cho trước Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F AI và BI cắt EF lần lượt tại M và

N

a) Chứng minh độ dài MN không đổi

b) CM đường tròn ( DMN ) luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 (3điểm)

Cho a , b , c là các số thực Với mỗi n nguyên dương, n n n

a b c là số nguyên Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các nghiệm của pt bậc ba

3 2

x px qx r 0

Bài 5 (3 điểm)

Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2 phần tử a,b nào thỏa mãn a b  1;n (chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên)

Copyright by Ly Tu Trong official website http://chuyenlytutrongct.com

H NG D N GI I THI H C SINH GI I QUÔC GIA MÔN

TOÁN N M 2009

Bài 1 Gi i h ph ng trình:

+

Gi i

+) K:

+ > ≤ ≤

− ≥ ⇔

≤ ≤

− ≥

+) V i i u ki n trên ta có ≤ và ≤ = + ≥ > <

+) M t khác∀ ∈ và < ta luôn có b t ng th c sau: + ≤

+

Th t v y b t ng th c (*) ⇔ + + − ≤

Theo b t ng th c B.C.S ta có + + ≥ + ≤

+

+

M t khác ta có: + − = − − ≤

+ + + + + + , vì ∈ và <

+ + luôn úng ∀ ∈ và <

+) Vì ≤ ≤ , ≤ ≤ và <

Áp d ng B T (*) cho = = ta có: + ≤

+

ng th c x y ra ⇔ =

+) V y h ph ng trình ban u

+) Gi i h này và i chi u v i các i u ki n ta có hai c p nghi m (x; y) nh sau:

GV: Ph m V n Quý

Tr ng THPT chuyên Quang Trung

T nh Bình Ph c

+ + ; − −

+) K t lu n: H có hai nghi m là + + và − −

=

=

=

Gi i

+) T gi thi t ta có > ∀ ≥

Do ó ( ) là dãy s t ng

+) Gi s ( )= > và ta có = + + ⇔ = , (vô lí)

V y → ∞ khi → ∞

+) M t khác ta có − + − + −

−

− = ∀ ≥

Do ó

+) T trên ta có < ∀ ≥ , (vì > ∀ ≥ ) M t khác = − + > − Do ó ( ) là dãy

t ng và b ch n trên hay ( ) có gi i h n h u h n khi → ∞

+) Ta có :

→∞ = →∞ − = , (vì → ∞ khi → ∞)

+) K t lu n :

→∞ =

t i M và N

a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có dài không i

Gi i

a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có dài không i

+) Ta có = = − = + = ANFI là t giác n i ti p

= = và = =

+) M t khác ta có ∆ ∆ , (g-g) = = = −α , (vì = )

α

−

= không i khi C thay i, ( pcm)

αααα

I

D

C

B A

Chú ý : Bài toán có m t s tr ng h p khác nhau v hình v , các b n t v hình nhé Tuy nhiên cách ch ng

minh không có gì thay i

b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN luôn i qua m t i m c nh

Cách 1:

+) G i K là trung i m c a AB ta ã có = = =

= + = = , (1)

+) M t khác t ∆ ∆ câu (a) ta có = = , (2)

IMEB là t giác n i ti p

= =

IMBD c ng là t giác n i ti p vì + =

= , (3)

+) T (2) và (3) = + = + = , (4)

+) T (1) và (4) = t giác NKDM n i ti p hay ng tròn ngo i ti p tam giác DMN luôn i qua i m K c nh, ( pcm)

Cách 2

Theo trên ta có = = D, M, N l n l !t là chân ng cao k" t các #nh c a tam giác ABI nên (DMN) chính là ng tròn Euler c a tam giác ABI Do ó ng tròn này ph i i qua trung i m c a K c a AB Vì AB c nh nên K c nh ( pcm)

Bài 4 Cho ba s th"c a, b, c tho mãn i#u ki n: v i m$i s nguyên d ng n, + +

là m t s nguyên Ch ng minh r ng t%n t i các s nguyên p, q, r sao cho a, b, c là ba

Gi i

+) Gi s t$n t i các s p, q, r tho mãn bài toán Theo nh lí Viet ta có :

+ + = −

= −

+) Nh v y ch ng minh bài toán ta ch# c n ch ng minh + + ∈+ + ∈

∈

+) Hi n nhiên + + ∈ , (1) Vì theo gi thi t + + ∈ ∀

+) Vì + + ∈ ∀ + + ∈ + + ∈ , + + ∈ + + ∈

+) Ta s% i ch ng minh ∈ Th t v y:

Ta có + + = + + − + + + + ∈

Ta có + + = + + − + + + + ∈

Ta có + + − = + + + + − − −

∈

Ta có + + − = + + + + − − −

∈

T các d ki n ∈ và ∈ ∈ , (2)

+) Ta s% i ch ng minh + + ∈ Th t v y:

Ta có ( + + ) = + + + + +

( + + ) ∈

T các d ki n + + ∈ và ( + + ) ∈ + + ∈ , (3)

+) T (1), (2) và (3) ta có bài toán !c ch ng minh

Bài 5 Cho s nguyên d ng n Kí hi u T là t'p h p g%m 2n s nguyên d ng u tiên H(i có bao nhiêu t'p con S c&a T có tính ch)t : trong S không t%n t i các s a, b mà

{ }

− ∈

Gi i

+) Tr c h t ta xét bài toán sau :

!c n i v i nhau, ngoài ra và c ng !c n i v i nhau Tính s cách ch n ra m t s i m mà không

có hai i m nào !c n i v i nhau

+) G i là s cách ch n th&a mãn i u ki n trên, nh ng có th ch a c và G i là s cách ch n

+) D' dàng l p công th c truy h$i cho là :

=

=

+) M t khác ta có:

−

+) Tr l i bài toán ang xét n u ta coi i m !c g(n s n + i và i m !c g(n s i thì ta có k t qu

c a bài toán s 5

H t