Từ M kẻ các tiếp tuyến MD, ME đến đường tròn đường kính AB với D, E là các tiếp điểm.. Các tiếp tuyến đó cắt d tương ứng tại các điểm P, Q.. Gọi R và S lần lượt là giao điểm của d với cá
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN - Vòng 2
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Chứng minh rằng ∀ ∈m R, phương trình sau luôn có nghiệm thực:
m3sin4x – 2m3sin2x + sinx + m3 – m = 0
Câu 2 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P (a 1 1 )(b 1 1 )(c 1 1 )
b b ab c c bc a a ca
Câu 3 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì
2 1.2 n 2 1.2 n 3 2 1.2 n 3 2n1.3n
S =C + +C + − +C + − + +C + là tổng của hai số chính phương liên tiếp
Câu 4 Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng ( theo thứ tự đó ) Gọi d và ∆ lần
lượt là các đường thẳng vuông góc với đường thẳng AC tại A và C; M là một điểm
di động trên ∆ Từ M kẻ các tiếp tuyến MD, ME đến đường tròn đường kính AB với
D, E là các tiếp điểm Các tiếp tuyến đó cắt d tương ứng tại các điểm P, Q Gọi R và
S lần lượt là giao điểm của d với các đường thẳng BD và BE
a Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BRS luôn đi qua hai điểm cố định
b Xác định vị trí của điểm M trên ∆ để tam giác MPQ có chu vi nhỏ nhất
Câu 5 Cho đa thức f(x) với hệ số thực, có bậc không nhỏ hơn 1 và đồng thời thoả mãn
hai điều kiện sau: a Phương trình f(x) = 0 không có nghiệm bội
b ( ) ( ) [f( )] x,y R2
2
x y
Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm thực
_ HẾT _
Trang 2- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: