Chuyên đề thể tích ôn thi đại học

-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.. -Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp

PhÇn 1.

ThÓ tÝch khèi ®a diÖn

A Lý thuyÕt

1 Kh¸i niÖm thÓ tÝch cña 1 khèi ®a diÖn (Sgk hh 12)

2 C¸c c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn

a) Gọi O là tâm ∆ABC đều

SO ⊥ OA ( vì SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:

Gọi A’ là trung điểm BC

Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = α

Tam giác vuông SOA có:

3 2

'

+

AA

S∆ABC = 21 21 sin3 4 3 sin3 4 2(sin323 4)

2 2

2

4 sin

sin 4

sin

3 3

4 (sin

sin 3

3

2 2

Bài 2 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A,

AB = a, AC = a 3 Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC Tính VA’ABC theo a?

1 AB AC = a

-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH

Tam giác vuông A’HA có:

A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - 14 (a2 + 3a2)

hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3

2a

C'A'

⇒VA’ABC = 13 S∆ABC A’H =

2

2 2

1 3

1 a 3 a 3 = a2

Bài 3 Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vuông cân có

AB = BC =a B’ là trung điểm SB C’ là chân đờng cao hạ từ A của ∆SAC

a) tính VSABC

b) Chứng minh rằng AB ⊥ (AB’C’) Tính VSAB’C’

Giải

2

1 2

1BA.BC = a ; SA =a

⇒ VSABC = 31 S∆ABC .SA = 16 a3

a

C A

a

a

B' C'

Bài 4 Hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC,

AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β Tính VSABC

Tam giác vuông SB có sinβ = BD SB (2)

Từ (1) (2) ⇒ cosABα = sinBDβ = ABsin2β−a2 ⇒ cos2α sin2 β 2

⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB = α β 2 cos α

sin cos

1 2

cosSinβ AD AB cosβ cosa sinα cosa sinβ

1

−

a

β α

β

2 2 2

sin cos

cos sin

−

a

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a các nửa đờng thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và

ở cùng một phía với mặt phẳng đó Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm

N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích của hình chóp BAMNC

Giải

Gọi I là giao điểm của AC và BD

2 2 ) ( 3

1 3

n m BI

*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc

vị trí chân đờng cao trên đáy.

-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó

-Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao của khối chóp sẽ song song hoặc nằm trờn với đờng thẳng đó

-Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh

đã nói ở trên

*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.

Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = α, các cạnh bên

nghiêng trên đáy một góc α Tính VSABC

Giải

- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC

- Ta có: ∆ABC = 12 AB.AC.sinα

mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = a 1 − cos2 α

2 2 1 2

2

α α

cot cos

2 2 4 3

1 3

3 2

.cot

D

-Hạ SO ⊥ (ABCD)

- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy ⇒ O là tâm đờng tròn đi qua 4

đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD

- Đặt AC = BD =x

Ta có ShcnABCD = 21 AC.BD.sin60o = . 2 3

4

3 2

3 2 2

Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o

a) Chứng minh rằng ∆ABC vuông

S

C a

60 ⇒ AB = a-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

-∆SAC có AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- 12 ) =3a2

-∆ABC có AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại B

a

AC =(Hoặc ∆SAC là nửa đều tam giác đều ⇒ SH = SA2 = 2a )

⇒VSABC = 61 2 12

2

1 3

1 3

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o

∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = 3

Tính thể tích khối chóp SABCD

Đáp số: VSABCD = 46

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a,

BC = 3a Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau Tính VSABCD

Giải

CD

HK

- Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)

- Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H

là tâm đờng tròn nội tiếp đáy

- Gọi K là hình chiếu của H lên AD

).

(AB+CD AD = a a =5a

⇒VSABCD =

3 5 2

3

1 3

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,

SB = a 3, (SAB) ⊥(ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính VSBMDN

⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)

S∆CDN = S∆MDA = 41 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 12 S⋄ABCD = 12 2a.2a = 2a2

∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S

4 3

1 1 1

1

1

a a

a SB SA

⇒VSBMDN = 31 S⋄BMDN.SH = 2 3

2 3 2 3

C B

-Trong ∆SBD kÎ SH b BD

V× (SBD) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD)-Tam giác vuông SBD có 1 2 1 2 1 2

SD SH

SH = +

hay 2 2 225 2

1 64

1 1

a a

1 a2. a = 170 3a3

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm

trong mặt phẳng ⊥ (ABCD) ∆SAB có SA = a, ASB = 2 α và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc α Tính thể tích khối chóp SABCD

Ta có HK ⊥ AB

AB ⊥SH (v× SH ⊥ (ABD))

⇒AB ⊥ (SKH) ⇒ AB ⊥ SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S

DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α

∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α

∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos2 α

KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα

= 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = 32 3 2

.

3SH1 S ABCD = a sin α

Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC) ACB =60 o,

BC = a, SA = a 3, M lµ trung ®iÓm SB TÝnh thÓ tÝch MABC

Gi¶i

H

C A

B

a M

1 2

1 AB BC = a o a= a

2

1 3

1 3

.3

=

= SM SB V

V

ASABC

mµ VSABC = 13SA.S∆ABC = 3 3 3 6

2 1 2

2

1 3

⇒Vmabc = 41a3

Bµi 15 : H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, SA ⊥ (ABCD),

AB = a, SA = a 2 H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh rằng: SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.

Giải

A

C O

H

a

N F E

Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF

Kéo dài AF cắt SC tại N

Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE ⊥(AHK)

Vì OA = OC; OE//CN OE = 21 CN

Tam giác vuông SAD có 1 2 1 2 1 2

AD AS

2

2 2

a a a AD AS AD

⇒OE =21SN =

2

1a

S∆AHK =

2

1KH

2 ( a a

3

2,3

2,0( a a

AK =

,0)

2

, 2 (a a

[AH , AK] =(

9

4 , 9

2 2 , 9

Bµi 16: H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = a, AD = a 2,

SA = a, SA ⊥ (ABCD) M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm AD vµ SC {I} = BM ∩ AC TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp ANIB

Gi¶i

a K

a

⇒ SANIB =31 NO.S∆AIB = 362

6 22 3

1.a.a2 = a3

Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

(SAD)⊥ (ABCD), ∆SAD đều Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD

D

P

B M

F E

S

y

x z

- Gọi E là trung điểm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE ⊥AD

Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng

chiều cao bằng a Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O’ lấy B sao cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

Bµi 19: Cho h×nh chãp cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt; AB = a.AD = 2a;

SA ⊥ (ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o §iÓm M thuéc c¹nh SA, AM = a33 .

N M

10 ).

(

2

BM BC

Bµi 20: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh thang; BAD = ABC = 90o;

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm SA vµ

SD Chøng minh r»ng BCMN lµ h×nh ch÷ nhËt vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.BCNM

Gi¶i

A D

S H

Ta có BC//AD ,BC= AD

2

1 ,MN//AD , MN= AD

3

3

a

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a;

AA1 = a 2 M là trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

Hớng dẫn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = a3122

+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1

a.Tính thể tích tứ diện theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

Giải

a

H C

B

C

D

Cách 1:

Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm

đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB

S∆ABC = CC'.AB 4 x .x 4 x2 x

4

1 4 2

1 2

1 1

4 cos sin 4 sin

C'

Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD ⊥ ABM

Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 23

VABCD = 2VCBMA = 2.31CM.S∆ABC = 21.S∆ABM

3 2

4

2 2

2

232

1x ( ) + (x) = x 3 −x

VABCD = x 3 x 3 x2.x

121

2 4

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ

SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất

GIảI

C A

S

M D

x a

a BM

a

+

=

∆SAH vuông ở A có SH= 2 2

2 2

2 2

x a

a h

AH SA

+ +

= +

x a

ax x

a

a a

AH AB

+

= +

2

1

2 2

3

x a

x a

+

3

6

1 3

1

x a

xh a SA

6

≤

Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với

đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM bằng α

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI

2 sin

2

3

α

α +

a

Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành

các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a,

AC = BD = b, AD = BC = c

Tính thể tích ABCD

Giải

H C P

Q

R B

+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lợt là trung điểm PQ, QR, PR.

Hớng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện

đều bằng α AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

Giải

C A

-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C

-Gọi E là trung điểm AB ⇒ AB b SE

Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC

∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))

FS = FC

⇒FBC = α3Tam giác vuông EBC có CE = α2 tanα

Tam giác vuông FBC có BC = CE2 +EB2 2

cos cos 2cos

a

a EB

4

sin 2

2

2 2

2 2

3 2 sin α sin sin α

a

một số bài tập có thể giải bằng PP toạ độ vỚi việc chọn

hệ toạ độ dễ dàng Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC

cắt BD tại O SO ⊥ (ABCD), SA = 2 2 Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Giải Cách 1:

O C

D A

S

M N

1. = 2 2

4

1 2

1 2

1. = 2

⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3 2

Cách 2: Sử dụng phơng pháp toạ độ

O S

A

N M

B z

x y

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

DÔ thÊy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; 2)

VSABM = 61 [SA, SM ].SB = 232

VSAMN = 16 [SA, SM ].SN = 32

VSABMN = VSABM + VSAMN = 2

Bµi 2: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ cã AB = a, AD = b , AA ’= c

a)TÝnh thÓ tÝch A’C’BDb)Gäi M lµ trung ®iÓm CC’TÝnh thÓ tÝch MA’BD

1 2

1 3

1 '.

T¬ng tù ta cã: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ =

6

1V

⇒VA’C’DB = V - 4

6

1

V = 3

1V=

3 1abc

M lµ trung ®iÓm CC’ nªn M(a;b;

2

c

))

BM , BA' =(−a;0;c)

[BD, BM]= ; )

2

; 2 (bc ac −ab

3 6

A'

O a

Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC

A’A = A’B = A’C (gt)

⇒A’O⊥ (ABC)

(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600

A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC)

Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 600 = a

Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC =

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông

tại A, AC = b, C = 60o (BC’,(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích của khối lăng trụ

Giải

C

C' A'

A

B

B'

b b'

Dễ thấy AB⊥ (ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300

∆ABC vuông tại A có Cˆ=600, AC=b nên BC=2b và AB= 3b

vì AB ⊥ (ACC’A’) nên AB b AC’

∆ABC’ vuông tại A có AC’ = AB 3b

30 tan 0 =

∆ACC’ vuông tại C có (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2

⇒CC’ = 2 2b =AA’ S∆ABC = 21 CA.CBsin6oo = 32b2

⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ = 6b3

Bài 3

V

C B SA

SABC =

C A

B B'

C' A'

(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))

B Các bài tập

Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC mặt

phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Giải

B

O A

S

D

M

B' I D'

2 3

2 2

1 2

1 ' ' .

'

SO SI SD

SD CSB SB SC

2 3 2 ' ' ' .1

'

SB

SB SA

13

29

4

2 1 ' ' 2

SAB D

SMB

V

V V

V V

V V

V

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) (SC, (SAB)) = α Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Giải

N M

Q E

SN V

Tam gi¸c vu«ng SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN = SA SC2

Tam gi¸c vu«ng SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ = SA SB2

2 ) (

2

2 2

2

1

SC

SB SA SB

SA SC

α α

α

2 sinsin2

1 ) 2 sin 1 1 (

) 2 sin 1 (

Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đờng cao h Mặt phẳng qua AB

⊥ (SDC) chia chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 4: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh là a M là trung điểm CD, N là

trung điểm A’D’ Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phơng

Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho

Giải

A' C

A

B E

M

N

F

Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)

Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB

V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

9

2 3

2 3

1.

= CB CE CA

CF V

V SCEF

3 1 = =

SA

SE SE

SM V

V

SFEA

SFME

9 4.

=

CA FA S

S S

S S

S V

V

ABC

CEA CEA

FEA ABC

FEA SFEA

274

943

1 =

=

92 =

= SN SB SA

SM V

V

SABE

SMNE

3 1.

=

CE EB S

S S

S S

S V

V

ABC

CEA CEA

ABE ABC

ABE SABE

⇒VSABE = 272 V ⇒ V1 = 92 V + 274 V + 272 V = 94 V 54

2

1 =

V V

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều

bằng a M, N, E lần lợt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra

Giải

C'

C

B A

M

N A'

I

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI

Gọi V1, V2 tơng ứng là thể tích phần trên và phần dới của thiết diện, ta có

V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF

V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a {O} = AC ∩ BD, ox ⊥ (ABCD) Lấy

S ∈ Ox, S ≠ O Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

B A

3 3 3

2 3

=

=

a S

B A

S

C

M

a 3 2a

S∆ABC = 21 a 3 a 3 sin 60o = 3 43

2

3 2

2 2 3 5

3 2 3

=

=

a S

C A

B

D

4

5 3

M 5

DÔ thÊy ∆ABC vu«ng t¹i A S∆ABC = 21 AB.AC = 6 VDABC = 31 S∆ABC.DA = 8

∆ACD = ∆BCD Gäi M lµ trung ®iÓm CD

⇒AM = BM, DC ⊥ (ABM)

Gäi N lµ trung ®iÓm AB ⇒ MN ⊥ AB

MN2 = BM2 - BN2 = c2 + 4 4

4 4

2 2 2 2

b − = + −

S∆AMN = 2 2 2

4 2

4

a b c a a b c

VABCD = 2 VBCMA = 2.31CM.S(∆ABM) = 2 2 2

12 2 2 2 4 2 3

2 4

2 2 2 4

4

4 4

.

4 3

b c a b c b

c

a b c S

V

a

b ab BCD

ABCB

+−

+ +

− +

=

=

∆

Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD cã AB = CD = x c¸c c¹nh cßn l¹i b»ng 1.

a) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD theo x

Đa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc nh hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hớngtheo A1A

Trục A1y hớng theo A1C1 Trục A1x tạo với trục Oy góc 90o và nằm trong

2

15 2

5

9 2 2

a a

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đờng thẳng qua

M // với OA, OB OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lợt tại A1, B1, C1

Chứng minh rằng: 1 + 1 + MC OC1 = 1

OB

MB OA

MA

Giải

B

C A

O

K

A 1

M

Nối M với các đỉnh O,A,B,C Khi đó

VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA

1=

OABC

MOCA OABC

MOBC OABC

MOAB

V

V V

V V

V

OABC MOCA = 1

Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD Các đờng thẳng MA,

MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1

1

1 1

1 1

1 1

1 + + + MD DD =

CC

MC BB

MB AA MA

Giải

Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có:

V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC

1= V MBCD V + V MACD V + V MABD V +V MABC V

Xét V MBCD V

Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒ 11

AA

MA AH

MK V

V MACD = ; 11

CC

MC V

V MABD = ; 11

DD

MD V

V MABC =

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các

điểm A1, B1, C1 sao cho SA SA1 = 32

; SB SB1 = 21

; SC SC1 = 31

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1 Chứng minh rằng SD SD1 = 52

Giải

C D

1 1 1 1

1

1 = SC SC =

SB

SB SA

SC SD

SD SA

SA

VSADC

V SA1D1C1 1 1 1 1

.

SD SC

SC SB

SB VSBCD

.

1 = + ⇒ SD SD1 = 52

Phần 2.

Thể tích khối cầu, khối trụ, khối nón

A/ Lý thuyết.

1/Định nghĩa:

-Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44)

-Thể tích khối trụ (Sgk HH12 – Trang 50)

-Thể tích khối nón (Sgk HH12 – Trang 56)

2/Các công thức:

a)Thể tích khối cầu V = 34πR3, R: bán kính mặt cầu

b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)Thể tích khối nón V = 31Sđáy.h , h: chiều cao

B/.Bài tập

ở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các công thức trên

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a,

cạnh bên bằng b Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

Giải

a

C

C' O

2