Một số kiến thức bổ sung về hình học phẳng

Nếu đường tròn tâm O tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại T và tiếp xúc với các cạnh AB,AC của tam giác lần lượt tại E và F thì tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

1 Khi áp dụng cho tứ giác , định lí Menelaus chỉ phát biểu dạng thuận

bởi dạng đảo nói chung không đúng !

2 Các bạn thử suy nghĩ xem với dạng thuận như thế này thì có thể mở rộng

cho đa giác được không ? − Một vấn đề khá thú vị !

2 1 Định lý Ceva

□ Định lý

Cho tam giác ABC Gọi E , F , G là ba điểm tương ứng nằm trên BC , CA , AB

Ba đường thẳng AE , BF , CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi :

2 2 Định lý Ceva sin

□ Định lý

Gọi E , F , G là ba điểm tương ứng nằm trên các đường thẳng BC , CA , AB của tam giác ABC Ba đường thẳng AE , BF , CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi : ̂̂ ̂̂ ̂̂

□ Bổ đề

Cho góc xOy và các điểm A , B , C thuộc Ox ; D , E , F thuộc Oy Khi đó AD , BE , CF đồng quy khi và chỉ khi: ( OABC ) = ( ODEF )

Bổ đề trên bạn đọc tự chứng minh , bây giờ ta sẽ trở lại bài toán

Kí hiệu : là phép chiếu xuyên tâm E Gọi T, Q lần lượt là giao điểm của BX và AZ ; CX và BZ

Sử dụng bổ đề trên thì ta sẽ cần chứng minh : ( BTMX ) = ( BZPQ )

• Trường hợp a // b Chứng minh nhờ Thales

• Khi a không song song với b Gọi S là giao của a và b

Ta thấy : Với : FA : ( BTMX ) = ( SZYX ) với FC : ( SZYX ) = ( BZPQ )

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

4.2 Một trường hợp đặc biệt của định lí Pappus qua góc nhìn hình xạ ảnh

Ở phần này chúng tôi chỉ dùng hình xạ ảnh để dẫn dắt đến kết quả còn nội dung định lí

và cách chứng minh thì hoàn toàn phù hợp với kiến thức hình THCS !

Ta có kết quả sau liên quan đến hình xạ ảnh : Các đường thẳng song song với nhau thì gặp nhau tại một điểm ở vô cực và ngược lại

Vận dụng vào định lí Pappus ở trên , cho các điểm A , B , C ra vô cực thì theo kết quả về hình xạ ảnh ta có YM // ZN ( Vì YM , ZN cùng đi qua một điểm (A)

ở vô cực ) Tương tự thì :XN // YP , XM // ZP Và khi ấy M , N , P vẫn thẳng hàng

Ta phát biểu lại được một định lí đơn giản và hữu dụng sau đây:

Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp ( O )

Chứng minh rằng ba đường chéo lớn AD , BE , CF đồng quy

8 Định lí Miquel □ Định lí

Cho tam giác ABC và ba điểm M , N , P lần lượt nằm trên BC , CA , AB

Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác APN , BPM và CMN đồng quy

9 Công thức Carnot

□ Định lý

Cho ΔABC nội tiếp ( O , R ) Gọi x , y , z lần lượt là khoảng cách từ O đến BC ,

AC , AB Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có :

a Nếu Δ ABC nhọn thì công thức carno là : x + y + z = R + r

b Nếu ̂ thì công thức carno là : y + z – x = R + r

10 Định lí Carnot

□Định lý

Cho ΔABC gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BC , CA , AB

dM , dN , dP lần lượt là các đường thẳng đi qua M , N , P và vuông góc với BC , CA , AB dM , dN , dP đồng quy khi và chỉ khi :

12 Định lí Euler về khoảng cách giữa tâm 2 đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác

Cho tứ giác ABCD nội tiếp ( O , R ) Đặt các đường tròn α , β , γ , δ

là các đường tròn tiếp xúc với ( O ) tại các đỉnh A , B , C , D

Đặt : là độ dài đoạn tiếp tuyến chung của hai đường tròn α , β Trong đó là độ dài tiếp tuyến chung ngoài nếu hai đường tròn α , β cùng tiếp xúc trong hoặc cùng tiếp xúc ngoài với ( O ) , và là độ dài đoạn tiếp xúc trong nếu trong trường hợp còn lại Các đoạn : , , , được xác định tương tự Khi đó ta có:

Nếu đường tròn tâm O tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại T và tiếp xúc với các cạnh AB,AC của tam giác lần lượt tại E và F thì tâm đường tròn nội tiếp của tam giác nằm trên EF

Một đường tròn ( O' ) tiếp xúc với hai cạnh MA và MC tại E và F đồng thời tiếp xúc với cả đường tròn ( O ) tại K Khi đó ta có tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC nằm trên đường thẳng EF

18 Định lí Thébault

□ Định lí

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) là một điểm nằm trên cạnh BC

Đường tròn tâm P tiếp xúc với 2 đoạn AD , DC và tiếp xúc trong với ( O ) Đường tròn tâm Q tiếp xúc với 2 đoạn AD , DB và tiếp xúc trong với ( O )

Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC Ta có : P , I , Q thẳng hàng

19 Công thức Jacobi liên quan đến tâm tỉ cự , định lí Lebnitz

19 1 Công thức Jacobi

Nếu I là tâm tỉ cự của hệ điểm : A1 , A2 , , An ứng với các hệ số

a1 , a2 , , an thì với mọi điểm M trên mặt phẳng ta đều có:

22 Định lí con nhím

□ Định lí

Cho đa giác lồi A1A2 An và các vectơ : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

là các vectơ có độ dài bằng các cạnh A1A2 , A2A3 , , An A1

tương ứng vuông góc với các cạnh ấy và hướng ra phía ngoài đa giác

Thế thì : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

Trong tam giác đều ABC ta lấy 1 điểm S Ta sẽ có tổng các khoảng cách

từ điểm S tới ba cạnh sẽ có độ dài bằng một đường cao của tam giác

27 Đường thẳng Steiner

Định lí

Cho Δ ABC và điểm D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tâm O của tam giác

Gọi A2 , B2 , C2 lần lượt là điểm đối xứng với của D qua các đường thẳng

BC , CA , AB thì chúng cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng này

đi qua trực tâm H của tam giác ABC Đường thẳng đó được gọi là đường thẳng steiner ứng với điểm D của tam giác ABC

Còn điểm D được gọi là điểm anti steiner

28 Điểm Anti Steiner ( Định lí Collings )

□ Định lí 1

Cho Δ ABC và đường thẳng d đi qua H trực tâm của tam giác ABC Gọi da , db , dc lần lượt là đường thẳng đối xứng của d qua BC , AC , AB Các đường thẳng đó đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp Δ ABC ( điểm anti steiner của d )

Và d được gọi là đường thẳng steiner của điểm đó ( gọi là G )

29 Định lí Napoleon

□ Định lí

Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều BMC , CNA , APB và gọi

D , E , F lần lượt là tâm của ba tam giác ấy Khi đó ta có tam giác DEF đều

30 Định lí Morley

□ Định lí

Trong tam giác ABC D , E , F lần lượt là giao điểm của các đường chia ba góc trong và cùng kề các cạnh tam giác ABC

Khi đó ta có tam giác DEF đều và được gọi là tam giác Morley

31 Định lí con bướm với đường tròn

□ Định lí

Cho đường tròn ( O ) và dây cung AB I là trung điểm của AB

Qua I vẽ hai dây cung tùy ý MN và PQ sao cho MP và NQ cắt AB tại E , F Khi đó I là trung điểm của EF

32 Định lí con bướm với cặp đường thẳng

Cho hai điểm A và B cố định Khi đó quĩ tích điểm M sao cho : ( )

là một đường tròn cố định được gọi là đường tròn Apollonius

37 Định lí Blanchet

□ Định lí

Cho tam giác ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC Gọi I là một diểm tùy ý thuộc đoạn AH Các đoạn thẳng BI , CI cắt các cạnh tam giác tại E và F Chứng minh rằng HA là phân giác của góc EHF

38 Mở rộng của định lí Blanchet

□ Định lí

Cho tam giác ABC, lấy T , E , F lần lượt thuộc các đoạn BC , CA , AB sao cho 3 đường thẳng AT , BE , CF đồng quy tại một điểm

Gọi L là giao điểm của AT và EF Gọi H là hình chiếu của L xuống BC

Chứng minh rằng HL là phân giác của ̂

39 Định lí Jacobi

□ Định lí

Cho tam giác ABC và các điểm A1 , B1 , C1 trên mặt phẳng sao cho:

̂ ̂ α ̂ ̂ β ̂ ̂ γ Khi đó AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại điểm Jacobi N

Cho tam giác ABC nhận ( I ) là đường tròn nội tiếp

Ở phía ngoài tam giác lấy các điểm M , N , P sao cho IM = IN = IP

và IM , IN , IP tương ứng vuông góc BC , CA , AB Khi đó ta có AM , BN , CP đồng quy

43 Khái niệm tam giác hình chiếu , công thức Euler về diện tích tam giác hình chiếu

□ Định lí

Cho ( O , R ) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cho điểm M nằm trong tam giác Gọi A1 , B1 , C1 là hình chiếu của M lên ba cạnh BC , AC , AB

Khi đó ta gọi A1 B1C1 là tam giác hình chiếu của điểm M đối với tam giác ABC

Ta có công thức Euler về diện tích của tam giác hình chiếu :

| |

44 Khái niệm hai điểm đẳng giác

Định lí

Cho tam giác ABC M là một điểm nằm trong tam giác

1 Khi đó các đường thẳng đối xứng với AM , BM , CM qua tia phân giác đồng quy tại M' M' được gọi là điểm đẳng giác của M

2 Lần lượt đặt D , E , F và D' , E' , F' là chân các đường cao hạ từ M và M' xuống BC , AC , AB

a Khi đó D , E , F , D' , E' , F' cùng thuộc một đường tròn tâm O

Và O là trung điểm của M và M'

Một hình tứ giác toàn phần có 4 cạnh là 4 đường thẳng ấy, có 6 đỉnh

là 6 giao điểm của chúng và 3 đường chéo là 3 đoạn đi qua đỉnh đối diện ( chú ý hai đỉnh này không cùng thuộc một cạnh )

Chúng ta có một kết quả cơ bản và thú vị về tứ giác này như sau :

□ Định lí

Trong hình tứ giác toàn phần cặp đỉnh đối diện nằm trên một đường chéo

và cặp giao điểm của đường chéo đó với hai đường chéo còn lại lập thành một hàng điểm điều hòa

B1 , B2 , C1 , C2 định nghĩa tương tự Khi đó A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 cùng thuộc đường tròn tâm P

48 Định lí Van Aubel về tứ giác và các hình vuông dựng trên cạnh

□ Định lí

Về phía ngoài tứ giác ABCD ta dựng các hình vuông ABUI , BCQP , CDJW , DAFE với các tâm tương ứng là T , N , V , M Khi đó ta có TV và MN vuông góc với nhau

49 Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích

□ Định lí

Cho tam giác ABC và 3 điểm M , N , P lần lượt nằm trên BC , CA , AB Khi đó ta có : [ ] ⌊ ⌋ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

54 Bổ đề Haruki

□ Bổ đề

Cho AB và CD là hai dây cung không cắt nhau của cùng một đường tròn

và P là một điểm bất kì trên cung AB không chứa CD của đường tròn ấy Gọi E và F lần lượt là giao điểm của PC, PD với AB

Thế thì giá trị biểu thức sau là không đổi :

55 Bài toán Langley

□ Bài toán

Cho ΔABC cân tại A có : ̂ Trên cạnh AB , AC lấy điểm D , E sao cho : D̂ ̂ Tính D̂

56 Định lí Paul Yiu về đường tròn bàng tiếp

□ Định lí

Cho Δ ABC các đường tròn bàng tiếp góc A , B , C tiếp xúc với 3 cạnh lần lượt tại

M , N , P , Q , R , S Các đường thẳng qua MN , PQ , RS giao nhau tại

A1 , B1 , C1 Các đường thẳng qua NP , QS , MS giao nhau tại A2 , B2 , C2 Chứng minh rằng các bộ ba điểm : ( A , A1 , A2 ) , ( B , B1 , B2 ) , ( C , C1 , C2 ) , thẳng hàng và các đường thẳng qua chúng đồng quy

57 Định lí Maxwell

□ Định lí

Cho Δ ABC và một điểm P , các cạnh của Δ A'B'C' song song với các đường thẳng

đi qua một đỉnh ΔABC và điểm P Qua A' , B' , C' kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của ΔABC Khi đó ta có các đường thẳng này đồng quy tại một điểm P'

58 Định lí Brahmagupta về tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc

61 Định lí Pompeiu

□ Định lí

Cho tam giác ABC đều ,và một điểm D trên mặt phẳng tam giác Khi đó luôn tồn tại một tam giác với độ dài các cạnh là DA , DB , DC

67 Ðịnh lí Hansen

□ Ðịnh lí

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng các điều kiện sau tương đương :

1 Tam giác ABC vuông

Cho 3 đường tròn ( A , R1 ) , ( B , R2 ) , ( C , R3 ) có bán kính khác nhau

và không chứa nhau Tiếp tuyến chung ngoài của mỗi đường tròn giao nhau lần lượt tại M , N , P Chứng minh rằng : M , N , P thẳng hàng

*Chú thích : ( ) ( ) ( )

là phép vị tự tâm P tỉ số biến ( ) thành ( )

70 Định lí Monge & d'Alembert II

□ Định lí

Cho 3 đường tròn ( A , R1 ) , ( B , R2 ) , ( C , R3 ) có bán kính khác nhau

và không chứa nhau Tiếp tuyến chung trong của (A) và (C), (B) và (C) giao nhau lần lượt tại N , M tiếp tuyến chung ngoài của ( A ) và ( B )

giao nhau tại M Chứng minh rằng : M , N , P thẳng hàng

73 Đường thẳng Euler của tam giác

□ Định lí

Cho tam giác ABC gọi H , G , O là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng : H , G , O thẳng hàng

74 Đường tròn và tâm Euler

□ Bài toán

Trong một tam giác , trung điểm các cạnh của tam giác ,chân các đường cao

và trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn Euler của tam giác ấy

75 Đường đối trung điểm Lemoine

76 Điểm Gergonne , điểm Nobb , đường thẳng Gergone

□ Kết quả về điểm Gergonne

Tam giác ABC với đường tròn nội tiếp ( I ) Tiếp điểm của ( I ) trên

BC , CA , AB lần lượt là D , E , F Khi đó AD , BE , CF đồng quy tại một điểm gọi là điểm Gergonne của tam giác ABC

□ Kết quả về điểm Nobb và đường thẳng Gergonne ( Vẫn với các kí hiệu trên )

Một tam giác không cân có 3 điểm Nobb tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng EF và CB ,DE và AB , DF và AC Và 3 điểm Nobb cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường thẳng Gergonne của tam giác ABC

Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Khi đó 4 đường thẳng Euler của các tam giác IBC , IAC , IAB , ABC đồng quy tại điểm Schiffler của tam giác

80 Điểm Feuerbach

□ Bài toán

Trong một tam giác , đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của nó ,

và tiếp điểm đó được gọi là điểm Feuerbach của tam giác trên

81 Điểm Gergonne,điểm Nobb, đường thẳng Gergone

□ Kết quả về điểm Gergonne

Tam giác ABC với đường tròn nội tiếp ( I ) Tiếp điểm của ( I ) trên BC , CA , AB lần lượt là D , E , F Khi đó AD , BE , CF đồng quy tại một điểm

gọi là điểm Gergonne của tam giác ABC

□ Kết quả về điểm Nobb và đường thẳng Gergonne ( Vẫn với các kí hiệu trên )

Một tam giác không cân có 3 điểm Nobb tương ứng là giao điểm của các cặp

đường thẳng EF và CB , DE và AB , DF và AC Và 3 điểm Nobb cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường thẳng Gergonne của tam giác ABC

Hướng dẫn

Xét cực và đối cực đối với ( I ) Đường đối cực của A là EF đi qua M,nên đường đối cực của M đi qua A Mặt khác dễ thấy đường đối cực của M đi qua D nên suy ra

đường đối cực của M là AD Hoàn toàn tương tự ta có : Đường đối cực của N là BE và đường đối cực của P là CF Theo trên , do AD , BE , CF đồng quy nên sẽ có điều phải chứng minh

• Nhận xét :

Kết quả trên có thể mở rộng như sau : Cho tam giác ABC và 3 điểm D , E , F theo thứ tự thuộc BC , CA , AB sao cho AD , BE , CF đồng quy và D , E , F khác trung điểm đoạn thẳng Gọi M , N , P lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng

Cho tam giác ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O1 , O2 , O3

là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC , AOC , AOB Khi đó

ba đường thẳng AO1 , BO2 và CO3 đồng quy tại điểm Konista của tam giác

83 Điểm Feuerbach

□ Bài toán

Trong một tam giác ,đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của nó,

và tiếp điểm đó được gọi là điểm Feuerbach của tam giác trên

§ PHẦN HAI

Bài 1 ( KỲ THI LẦN II – 1963 − Chung khảo )

Tính cạnh a và diện tích s của một tam giác biết hai gĩc A và Bvà nửa chu vi p

Tính S với p ≈ 23 , 6 ; A ≈ 52° 42’ ; B ≈ 46° 16’

Bài 2 ( KỲ THI LẦN IV – 1965 )

Cho một vịng trịn lớn với hai dây cung song song AB và CD

Gọi M là một điểm chạy trên vịng trịn ấy

Đường thẳng M D cắt đường thẳng AB tại Q

1 Khi M tiến tới D hay tới C thì tâm vịng trịn MCQ tiến tới đâu ?

Tìm quỹ tích của tâm vịng trịn MCQ

2 Người ta lấy một điếm K cố định ngồi mặt phẳng của hình vẽ

Ta phải chọn điếm E như thế nào ( trên dường cong nào ) để cho quỹ tích

của tâm mặt cầu MCQE trùng với quỹ tích cùa tám vịng trịn MCQ ?

Bài 3 ( KỲ THI LẦN V – 1966 )

Trong một mặt phẳng P người ta cho hai đường thẳng cố định a , b

và hai đường thẳng biến thiên x , y ; trong khi biến thiên thì x và y

luơn luơn song song với nhau và theo thứ tự đi qua hai điểm A , B

nằm trên đường thẳng a ; x cắt b ở C ; y cắt b ở D

Qua giao điểm M của AB và DC , người ta dựng đường thẳng

song song với x , nĩ cắt a ở L và b ở N

1 Cĩ nhận xét gì về ba điểm L , M , N ? Chứng minh nhận xét đĩ Tìm quỹ tích của M

Các mặt phẳng Oa , Ob , Ox , Oy cĩ thể hoặc cắt P’ hoặc, song song với P’

trong trường hợp chúng cắt P’ thì các giao tuyến với P’ sẽ theo thứ tự gọi là a’, b’, x’, y’

của đường thẳng M với mặt phẳng P’ Hãy phát biểu bài tốn quỹ tích đĩ.

3 Tìm xem x và y phải ở vị tri nào thì x’, y’ song song với nhau,

ở vị trí nào thì A’D’ và B’C’ song với nhau

Bài 4 ( KỲ THI LẦN VI – 1967 )

Cho một đường trịn ( L ) tâm O nội tiếp trong hình thoi ABCD

Một tiếp tuyến biến thiên của đuờng trịn ( L ) cắt các đường thẳng AB , AD , BC , CD

theo thứ tự ở các điểm M , N , P , Q

1. Hãy đốn nhận hệ thức giữa hai đoạn thẳng BM và DN; chứng minh hệ thức đĩ

Trên hình vẽ cịn những hệ thức nào đáng chú ý ? ( càng phát hiện được nhiêu càng tốt ).

2 Bốn đường trịn cùng đi qua O và theo thứ tự cĩ tám là A , B , C , D cắt bốn đoạn thẳng

AB , BC , CD , DA ở tám điểm Hãy xét xem hình tám cạnh lồi nhận tám điểm đĩ làm đỉnh

cĩ tính chất gì đặc biệt , chứng minh tính chất đĩ Áp dụng vào việc dựng hình tám cạnh đều

3 Hãy phát biểu một bài tốn trong khơng gian bằng cách cho hình vẽ của bài tốn trên đây quay quanh trục AC

Bài 5 ( KỲ THI LẦN VII – 1968 )

Cho một đường trịn cố định O bán kính r Một tam giác biến thiên ABC luơn luơn ngoại tiếp

đường trịn đĩ và cĩ đỉnh A chạy trên một đường thẳng cố định x , cịn hai đỉnh B và C

thì chạy trên một đường thẳng cơ' định y song song với x

1 Cho trước đường trịn O , hai đường thẳng x , y và gĩc A , hãy dựng tam giác ABC

Biện luận

2 Tính các gĩc B và C theo gĩc A , bán kính r và khoảng cách h giữa hai đường thẳng x , y

 CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG KỲ THI VÔ ĐỊCH TOÁN QUỐC GIA