15 bài toán hình học phẳng hay có lời giải

Cho tam giác ABC, AB AC,> O, I theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.. Chứng minh rằng tâm đẳng phương của các đường tròn XA1A2, YB1B2, ZC1C2 thuộc OI.. Các đường p

I Các bài toán

Bài toán 1 Cho tam giác ABC nuông tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp BI, CI

theo thứ tự cắt AC, AB tại E, F D là hình chiếu của I trên BC Dựng hình bình hành AIDS Chứng minh rằng S thuộc EF

Bài toán 2 Cho tam giác ABC, AB AC,> (O), (I) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của (I) và BC, CA, AB S là giao điểm của BC và EF T là giao điểm thứ hai của AS và (O) M là trung điểm của BC

TM lại cắt (O) tại K.Các đường thẳng đi qua E, F và song song với AK theo thứ tự cắt BC tại P, Q Chứng minh rằng AI là trục đẳng phương của các đường tròn (ABP), (ACQ)

Bài toán 6 Cho tam giác ABC, (O), (I) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và

đường tròn nội tiếp X, Y, Z theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB D, E, F theo thứ tự

là tiếp điểm của (I) và BC, CA, AB EF, FD, DE theo thứ tự giao với (O) bằng {A , A1 2},

{B , B1 2} {, C , C1 2} Chứng minh rằng tâm đẳng phương của các đường tròn (XA1A2), (YB1B2), (ZC1C2) thuộc OI

Bài toán 7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các đường phân giác

ngoài của các góc DAB, ABC, BCD, CDA theo thứ tự cắt đường phân giác ngoài của các góc ABC, BCD,CDA, DAB tại X, Y, Z, T E, F theo thứ tự là trung điểm của XZ, YT Chứng minh rằng

1) Từ giác XYZT nội tiếp và XZ⊥YT

2) O, E, F thẳng hàng

Bài toán 8 Cho tam giác ABC và đường thẳng ∆ không đi qua A, B, C Điểm O

thuộc ∆ và không thuộc BC, CA, AB M, N, P theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng đối xứng với OA, OB, OC qua ∆ và BC, CA, AB Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

Bài toán 9 Cho hình chứ nhật ABCD Điểm P thuôc tia đối của tia CA sao cho

CBP BPD.= Tính PB

PC

Bài toán 10 Hai tam giác ABC, A1B1C1 có cùng trọng tâm và AA1,BB1,CC1 đồng quy tại O Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp sáu tam giác OBC1, OB1C, OCA1,

OC1A, OAB1, OA1B cùng thuộc một đường tròn

Bài toán 11 Cho tam giác ABC P là trung điểm của BC Lấy các điểm X, Y, Z sao

cho sao cho A, X / BC; B / CA / Y; C / AB / Z và các tam giác XBC, YAC, ZBA đồng dạng YZ theo thứ tự cắt AC, AB tại N, M Chứng minh rằng YN ZM= khi và chỉ khi PAB XAC.=

Bài toán 12 Cho tam giác ABC, (O) là đường tròn ngoại tiếp Các điểm A1, B1, C1

theo thứ tự thuộc các đoạn BC, CA, AB Các đường tròn (AB1C1), (BC1A1), (CA1B1) theo thứ tự lại cắt (O) tại A2, B2, C2 Tìm A1, B1, C1 sao cho 1 1 1

2 2 2

S(A B C )S(A B C ) nhỏ nhất

Bài toán 13 Cho tứ giác ABCD, O = AC ∩ BD Phân giác của các góc

AOB, BOC, COD, DOA theo thứ tự cắt AB, BC, CA, AD tại M, N, P, Q X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm của QM, MN, NP, PQ Chứng minh rằng AX, BY, CZ, DT đồng quy

Bài toán 14 Cho tam giác ABC, trực tâm H (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác

HBC Điểm P thay đổi trên (S) Đường thẳng qua B vuông góc BA cắt PC tại M Đường thẳng qua A vuông góc AC cắt PB tại N Chứng minh rằng trung điểm MN thay đổi trên một đường thẳng cố định

Bài toán 15 Cho tam giác ABC, (O), (I) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và

đường tròn nội tiếp X, Y, Z theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB D, E, F theo thứ tự

là tiếp điểm của (I) và BC, CA, AB YZ, ZX, XY theo thứ tự giao với (O) bằng {A , A1 2},

{B , B1 2} {, C , C1 2} Chứng minh rằng I là tâm đẳng phương của các đường tròn (DA1A2), (EB1B2), (FC1C2)

II Các lời giải

Bài toán 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp BI, CI

theo thứ tự cắt AC, AB tại E, F D là hình chiếu của I trên BC Dựng hình bình hành AIDS Chứng minh rằng S thuộc EF

Vậy AKS =DHI= ° =90 AKE

Kết hợp với AK⊥EF, suy ra S∈EK≡EF

Lời giải 2

Ta cần có một bổ đề

Bổ đề Cho tam giác ABC Điểm M thuộc đoạn BC Đường thẳng ∆ theo thứ tự cắt

các đoạn AB, AC, AM tại B’, C’, M’ Khi đó

M' C'B'

A

(h.1.2)

Trở lại giải bài toán 1

Gọi T là hình chiếu của A trên BC; S’ là giao điểm của AT và EF (h.1.3)

Theo bổ đề trên, chú ý rằng BAC 90 ,= ° ta có

TM lại cắt (O) tại K.Các đường thẳng đi qua E, F và song song với AK theo thứ tự cắt BC tại P, Q Chứng minh rằng AI là trục đẳng phương của các đường tròn (ABP), (ACQ)

Lời giải

Gọi L là giao điểm thứ hai của AD và (O); N là giao điểm của AI và BC (h.2.1, h.h.2.2)

Dễ thấy A(BCLT) A(BCDS) (BCDS)= = = −1

Do đó tứ giác BLCT điều hoà

Kết hợp với MB MC,= suy ra KAB KTB MTB LTC LAC DAC.= = = = =

K L

M

T

S D

I O A

D I

A

O

(h.2.2) Vậy, các điều kiện sau tương đương

1) AI là trục đẳng phương của (ABP), (ACQ)

7) NB QB EC DB .

NC= FB PC DC

8) AB sin QFB sin EPC S(ADB)

AC=sin FQB sin PEC S(ADC)

9) AB sin QFB AD.AB sin DAB

AC= sin PEC AD.AC sin DAC

10) AB sin KAB AD.AB sin DAB

AC=sin KAC AD.AC sin DAC

Gọi O là tâm đường tròn (ABC); T là giao điểm của BF và CE; Q là giao điểm của

KL và MN; S là giao điểm của các tiếp tuyến với (O) tại B, C (h.3)

T

S P

Q

F

E M

N L

K

O A

(h.3)

Dễ thấy ABT 90= ° =ACT

Do đó O là trung điểm của AT

Dễ thấy AETF là hình bình thành

Vậy O thuộc EF (1)

Vì ABKL, ACMN là các hình vuông và LAF 180= ° −BAC− ° =90 NAE nên các tam giác LAF, NAE đồng dạng

Do đó tứ giác NEFL nội tiếp

Vậy AL.AE AN.AF.=

Điều đó có nghĩa là PA /(LEM)=PA /( NFK)

Từ đó, chú ý rằng Q chính là giao điểm thứ hai của (LME), (NKF), suy ra A thuộc

PQ

Vậy APE=QPE 90= ° =QPF APF.=

Điều đó có nghĩa là P thuộc EF và AP⊥EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra OPA 90= ° (3)

Vì Q∈AP và ABKL, ACMN là các hình vuông nên

2 2

.S(PAC)= S(QAC)= S(NAC)= AC

Do đó AP là đường đối trung của ΔABC

Vậy AP đi qua S (4)

Bổ đề trên rất quen thuộc, không trình bày phép chứng minh ở đây (h.4.1)

Trở lại giải bài toán 4

Gọi O và O2 theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp của ΔABC và ΔA B C ;1 1 1 H1

là trực tâm của ΔA B C ;1 1 1 A4, B4, C4 theo thứ tự là điểm đối xứng của O2 qua B1C1, C1A1,

Vậy các tam giác ABC, A4B4C4 có các cạnh tương ứng song song và cùng nhận O

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Điều đó có nghĩa là O là tâm vị tự biến ΔABC thành ΔA B C 4 4 4

Bài toán 5 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) và có một cặp cạnh đối không song song Chứng minh rằng O là trọng tâm của ABCD khi và chỉ khi

OA.OC OB.OD.=

Lời giải (h.5.1)

Vì ABCD có một cặp cạnh đối không song song nên hoặc AD, CB cắt nhau hoặc

AB, CD cắt nhau Không mất tính tổng quát giả sử AD, CB cắt nhau Gọi S là giao điểm của AD, CB

Điều kiện cần

Gọi K, L theo thứ tự là trung điểm của AD, BC (h.5.1)

Vì O là trọng tâm của ABCD nên O là trung điểm của KL

Kết hợp với OSK OSL,= suy ra SKLΔ cân tại S

Do đó KAOΔ ∼ΔLOB; KDOΔ ∼ΔLOC (kết quả quen thuộc)

OB = BO = LO= LO = CO =OC

Điều đó có nghĩa là OA.OC OB.OD.=

C D

L K

B A

Chú ý rằng OSK OSL,= suy ra ΔSKL cân tại S và OK OL.=

Do đó ΔKAO∼ΔLOB; KDOΔ ∼ΔLOC (kết quả quen thuộc)

C D

A

B

N Q

O M

Vậy, các điều kiện sau tương đương

1) O là trọng tâm của ABCD

Bài toán 6 Cho tam giác ABC, (O), (I) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và

đường tròn nội tiếp X, Y, Z theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB D, E, F theo thứ tự

là tiếp điểm của (I) và BC, CA, AB EF, FD, DE theo thứ tự giao với (O) bằng {A , A1 2},

{B , B1 2} {, C , C1 2} Chứng minh rằng tâm đẳng phương của các đường tròn (XA1A2), (YB1B2), (ZC1C2) thuộc OI

Lời giải 1

Ta cần có một bổ đề

Bổ đề Cho tam giác ABC, (O), (I) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và đường

tròn nội tiếp D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của (I) và BC, CA, AB Khi đó trực tâm H của tam giác DEF thuộc OI

Bổ đề trên rất quen thuộc, không trình bày phép chứng minh ở đây (h.6.1)

H

F

E D

I O

A

(h.6.1)

Trở lại giải bài toán 6

Gọi (Oa), (Ob), (Oc) theo thứ tự là các đường tròn (XA1A2), (YB1B2), (ZC1C2); S là giao điểm của AC và DF; D1, D2 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của A1A2 và (Ob), (Oc);

D0, E0 theo thứ tự là hình chiếu của D, E trên EF, FD; H là giao điểm của DD0, EE0 (h.6.2)

Định hướng các đường thẳng EF, FD, DE bởi các vectơ EF, FD, DE

O A

(h.6.2)

Từ (1) và (2) suy ra DD0 là trục đẳng phương của (Ob), (Oc)

Tương tự EE0 là trục đẳng phương của (Oc), (Oa)

Vậy, theo bổ đề trên, tâm đẳng phương của (Oa), (Ob), (Oc) chính là điểm H, thuộc

I O A

K O A

(h.6.4)

Trở lại giải bài toán 119

Gọi A3, B3, C3 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của AI, BI, CI và (O); Oa, Ob, Oc

theo thứ tự là trung điểmc của B3C3, C3A3, A3B3; A4 là giao điểm thứ hai của A3O và (O)

Do đó Oa là trung điểm của B3C3 và IA4

Kết hợp với A1A2B3C3 là hình thang cân và IDXA4 là hình thang, suy ra Oa thuộc trung trực của A1A2 và DX

Kí hiệu (XA1A2), (YB1B2), (ZC1C2) là (Oa), (Ob), (Oc); H là trực tâm của ΔDEF Theo lời giải 1,

Tương tự EH là trục đẳng phương của (Oc), (Oa)

Vậy, theo bổ đề trong lời giải 1, tâm đẳng phương của (Oa), (Ob), (Oc) là H, thuộc

3) Từ giác XYZT nội tiếp và XZ⊥YT

4) O, E, F thẳng hàng

Lời giải. (h.7)

Gọi α β γ δ, , , theo thứ tự là số đo của các góc DAB, ABC, BCD,CDA

1) Dễ thấy XAB 180 ; XBA 180

Điều đó có nghĩa là XYZT nội tiếp

Gọi K là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc CAB,CBA; I là giao điểm của XZ và YT

Dễ thấy (kí hiệu d(X, AB) chỉ khoảng cách từ điểm X tới đường thẳng AB)

T

Y

X A

Bổ đề Cho tứ giác ABCD E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, BD Các điểm

M, N theo thứ tự thuộc các đoạn AB, CD sao cho AM CN

AB = CD Khi đó trung điểm của MN thuộc đoạn EF

Bổ đề trên chính là ví dụ 1.13, trang 14, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10

Trở lại giải phần 2

Gọi M, N, P theo thứ tự là giao điểm thứ hai của XY, YZ, ZT và (O)

Vì XY, ZT theo thứ tự là phân giác ngoài của các góc ABC,CDA nên, M, P theo thứ tự là trung điểm của các cung ABC,CDA

Do đó MP là đường kính của (O)

Nói cách khác O là trung điểm của MP (1)

Vì YZ là phân giác ngoài của góc BCD nên N là trung điểm của cung BCD

Do đó, chú ý tới phần 1, YMN BAN 1s®BCD BXK BXZ

Bài toán 8. Cho tam giác ABC và đường thẳng ∆ không đi qua A, B, C Điểm O thuộc ∆ và không thuộc BC, CA, AB M, N, P theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng đối xứng với OA, OB, OC qua ∆ và BC, CA, AB Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

Lời giải 1

Gọi M’, N’ theo thứ tự là giao điểm của OP và BC, CA (h.8.1)

M'

N' P

N M

Lời giải 2.

Để giải bài toán trên, ta cần có một định lí

Định lí Cho tam giác ABC, , ,α β γ theo thứ tự là vectơ định hướng của các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó

1) sin(AB, AC) sin(BC, BA) sin(CA, CB)

Trong phép chứng minh này, các kí hiệu ↑↑ và ↑↓ theo thứ tự chỉ sự cùng hướng

và sự ngược hướng của hai vectơ

Có hai trường hợp cần xem xét

Trường hợp 1. k> Chú ý rằng k0 α ↑↑ α ta có ,

0 1 ksin(k , ) sin((k , ) ( , )) sin( ( , )) sin( , ) sin( , ).

Trở lại chứng minh định lí sin dạng đại số

Không mất tính tổng quát giả sử ABCΔ có hướng dương và , ,α β γ là các vecctơ

đơn vị

Theo định lí sin và bổ đề trên, ta có

AB AC sin( , )

BC sin BAC sin(AB, AC) sin(AB , AC ) AB AC

A

B

C O

(h.8.2)

Vậy, theo định lí sin dạng đại số,

MB NC PA MB MO NC NO PA PO .

MC NA PB = MO MC NO NA PO PBsin(y, m) sin(z, ) sin(z, n) sin(x, ) sin(x, p) sin(y, )

Tóm lại, theo định lí menelaus, M, N, P thẳng hàng

Bài toán 9. Cho hình chứ nhật ABCD Điểm P thuôc tia đối của tia CA sao cho CBP BPD.= Tính PB

O

D C

sin CBD sin CPB sin CDP

sin sin cos cos sin cos cos tan cos sin

Do đó sin tan cos sin tan cos

cos sin cot cos sin cot

2

2Vậy

( tan ) tan .cos sin

Trở lại giải bài toán 10

Gọi Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OBC1, OB1C, OCA1, OC1A, OAB1, OA1B, X, Y, Z theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AbCb, BcAc; BcAc, CaBa; CaBa, AbCb H, K theo thứ tự là hình chiếu của X trên AcCa, AbBa; M, M1, N, N1 theo thứ tự là trung điểm của OB, OB1, OC, OC1 (h.10)

cos (x, y) (y, b) cos (x, y) 90

Điều đó có nghĩa là bốn điểm Ab, Ac, Bc, Cb cùng thuộc một đường tròn

Tương tự các bộ bốn điểm Bc, Ba, Ca, Ac; Ca, Cb, Ab, Ac cũng cùng thuộc một đường tròn

Tóm lại, theo bổ đề trên, Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb cùng thuộc một đường tròn

Bài toán 11 Cho tam giác ABC P là trung điểm của BC Lấy các điểm X, Y, Z sao cho sao cho A, X / BC; B / CA / Y; C / AB / Z và các tam giác XBC, YAC, ZBA đồng dạng YZ theo thứ tự cắt AC, AB tại N, M Chứng minh rằng YN ZM= khi và chỉ khi PAB XAC.=

N

Z

Y

X A

S M

ZM = ZH=YK = YNKết hợp với SY = SZ, suy ra ZM SM ZM SM SZ 1

Bài toán 12 Cho tam giác ABC, (O) là đường tròn ngoại tiếp Các điểm A1, B1, C1

theo thứ tự thuộc các đoạn BC, CA, AB Các đường tròn (AB1C1), (BC1A1), (CA1B1) theo thứ tự lại cắt (O) tại A2, B2, C2 Tìm M sao cho 1 1 1

2 2 2

S(A B C )S(A B C ) nhỏ nhất

Lời giải

Trong lời giải này các kí hiệu R(XYZ), r(XYZ) theo thứ tự chỉ bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp XYZ.Δ

Ta cần có ba bổ đề

Bổ đề 1 Cho tam giác ABC Các điểm A1, B1, C1 theo thứ tự thuộc các đoạn BC,

CA, AB Các điểm A2, B2, C2 theo thứ tự là điểm đối xứng của A1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB Khi đó S(A B C ) S(A B C ).1 1 1 = 2 2 2

Chứng minh (h.12.1)

Đặt BA1 CA2 CB1 AB2 AC1 BC2

BC = CB = CA = AC = AB = BA =

S(ABC)S(ABC) S(AB C ) S(BC A ) S(CA B )S(ABC).

Tương tự S(A B C ) S(ABC) 1 x2 2 2 = ( − − − +y z yz zx xy + + )

Vậy S(A B C ) S(A B C ).1 1 1 = 2 2 2

Bổ đề 2 Cho tam giác ABC, (O) là đường tròn ngoại tiếp Các điểm A1, B1, C1

theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB A2, B2, C2 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các đường tròn (AB1C1), (BC1A1), (CA1B1) và đường tròn (O) A3, B3, C3 theo thứ tự

là điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB Khi đó các tam giác

A2B2C2, A3B3C3 đồng dạng cùng hướng

Chứng minh (h.12.2)

Dễ thấy các tam giác A2BC1, A2CB1 đồng dạng cùng hướng (1)

Vì C3, B3 theo thứ tự là điểm đối xứng với C1, B1 qua trung điểm của AB, AC nên

A B BC

;(A B, A C) (BC , CB ) (AC , AB )(mod )

Do đó các tam giác A2BC, AC3B3 đồng dạng cùng hướng

Tương tự các cặp tam giác B2CA, BA3C3 ; C2AB, CB3A3 đồng dạng cùng hướng (4)

Tóm lại các tam giác A2B2C2, A3B3C3 đồng dạng cùng hướng

Bổ đề 3 Cho tam giác ABC Các điểm A1, B1, C1 theo thứ tự thuộc các đường

thẳng BC, CA, AB Khi đó R(A B C )1 1 1 ≥r(ABC) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A1, B1,

C1 theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC và BC, CA, AB

Dễ thấy các tam giác ABC, A’B’C’ đồng dạng (cùng hướng)

Từ đó, chú ý rằng ABCΔ nằm trong A ' B ' C ',Δ suy ra

1 1 1

r(A ' B ' C ') S(A ' B ' C ')R(A B C ) r(A ' B ' C ') r(ABC) r(ABC) r(ABC)

Vậy R(A B C )1 1 1 ≥r(ABC)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A1, B1, C1 theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABCΔ và BC, CA, AB

Trở lại giải bài toán 12

Gọi A0, B0, C0 theo thứ tự là điểm đối xứng của A1, B1, C1 qua trung điểm của BC,

CA, AB; D0, E0, F0 theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABCΔ và BC, CA, AB; D1, E1, F1 theo thứ tự là điểm đối xứng của D0, E0, F0 qua trung điểm của BC, CA,

AB

Theo bổ đề 1, S(A B C ) S(A B C ).1 1 1 = 0 0 0

Theo bổ đề 2, các tam giác A0B0C0, A2B2C2 đồng dạng (cùng hướng)

Theo bổ đề 3, R(A B C )0 0 0 ≥r(ABC)

Bài toán 13 Cho tứ giác ABCD, O = AC ∩ BD Phân giác của các góc

AOB, BOC, COD, DOA theo thứ tự cắt AB, BC, CA, AD tại M, N, P, Q X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm của QM, MN, NP, PQ Chứng minh rằng AX, BY, CZ, DT đồng quy

Trở lại giải bài toán 13

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, BD; K là điểm chia trong đoạn EF theo

tỉ số AC

BD (h.13)