Báo cáo bài tập lớn giải tích 1

Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1Báo cáo bài tập lớn giải tích 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 1

Lớp: L28

Nhóm thực hiện: Nhóm 16

Giáo viên hướng dẫn: Th.S Nguyễn Hữu Hiệp

MỤC LỤC

Lời nói đầu 2

Phần 1: Direction Field và phương trình Logistic 3

1.1 Tìm hiểu về Direction Field: 3

1.2 Tìm hiểu về phương trình Logistic: 4

Phần 2: Công cụ Slope Field Plotter để vẽ Direction field Vẽ minh họa direction field cho phương trình y’ = 2y 2 – x và hàm nghiệm của bài toán y’ = 2y 2 – x, y(2) = 2 10

2.1 Slope Field Plotter (Công cụ vẽ trường độ dốc) 10

2.1.1 Định nghĩa 10

2.1.2 Một số chức năng của công cụ vẽ Slope Field Plotter 10

2.2 Vẽ minh họa Direction field cho phương trình vi phân cấp 1 y '=2 y 2−x và hàm nghiệm của bài toán y '=2 y 2−x, y(2) ¿ 2 13

Lời nói đầu



nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt trong khoa học kinh tế Các nghiên cứu

và phân tích kinh tế về mặt định lượng thường được tiến hành thông qua các quy

mô kinh tế toán Vì thế các nhà nghiên cứu ngày càng có nhu cầu sử dụng nhiều hơn các công cụ toán học, đặc biệt là công cụ giải tích

Đề tài báo cáo đề cập đến một số ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến Việc tìm hiểu những kiến thức này là hoàn toàn cần thiết và hữu ích Giúp hiểu sâu hơn về các công cụ giải tích, tối ưu hóa và vận dụng tốt hơn trong thực tiễn giảng dạy toán cho các đối tượng kinh tế

Các nội dung được đề cập đến trong bài báo cáo không qua hình thức mà gần gũi với tư duy kinh tế, với nhiều ứng dụng minh họa cụ thể, vẫn giữ được tính chính xác, chặt chẽ về mặt toán học Bài toán cực trị là bài toán rất quan trọng trong giải tích toán học và có nhiều ứng dụng khác nhau trong toán học và cũng như trong

nhiều ngành khoa học khác như: Kinh tế, khoa học công nghệ… Để giải bài toán cực trị hàm nhiều biến có rất nhiều phương pháp khác nhau Mục đích của bài báo cáo là giới thiệu và đưa ra phương pháp giải, cho bình luận đồng thời đưa ra một số ứng dụng cơ bản

Phần 1: Direction Field và phương trình Logistic

1.1 Tìm hiểu về Direction Field:

Direction field (Trường hướng hay trường độ dốc) là một đồ thị được tạo thành từ rất nhiều đường nhỏ, mỗi đường nhỏ xấp xỉ độ dốc hàm trong khu vực đó hay còn

có thể hiểu là đồ thị biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 của hàm vô hướng và có dạng:

y’ = f(x,y) (1) Nếu (a,b) là điểm bất kì trên đường cong nghiệm của phương trình (1) thì độ dốc của đường tiếp tuyến của đường cong này tại (a,b) được cho bởi:

y’|(a,b) = f(a,b) Những điểm như vậy được biểu diễn thành 1 đường thẳng nhỏ và ghép chúng lại lần lượt thành một đổ thị nghiệm và nó sẽ xấp xỉ hệ số góc hay độ dốc của hàm số tại điểm đang xét (a,b) nào đó trên đồ thị

Từ những đường thẳng chỉ hướng đó ta sẽ vẽ được đồ thị theo hướng thay đổi của các đường thẳng đó và khi ta biết được hình dạng của đồ thị thì ta có thể suy ngược lại biểu thức của hàm nghiệm hoặc ước lượng được 1 hàm tương đương

Cách biểu diễn: Lấy ý tưởng tại mỗi điểm trên hệ trục tọa độ Oxy thay vào phương trình (1) ta đạt được các giá trị của y’ Giá trị của y’ chính là độ dốc của hàm số tại điểm ta xét Giả sử y’=0 ta vẽ 1 đường thẳng nhỏ nằm ngang, tương tự thì y’>0 vẽ chếch lên, y’<0 vẽ chếch xuống so với phương ngang với 1 góc phụ thuộc vào

arctan(y’) Từ những đường thẳng nhỏ đã tạo nên 1 đồ thị mà từ các hướng của

đường thẳng ta sẽ vẽ được đồ thị hàm số

Trong các ứng dụng liên quan đến các phương trình vật lí khác nhau, trường độ dốc của phương trình đã làm sáng tỏ bản chất của những phương trình và công trình

nghiên cứu của các nhà khoa học Đơn cử như cho một vật nặng có khối lượng m rơi xuống tự do dưới sự tác động của trọng lực Giả sử sức cản của không khí tỉ lệ thuận với vận tốc của vật tại bất kì thờ điểm nào trong quá trình rơi tự do thì dựa vào định luật II Niu-tơn ta có phương trình:

F=ma=m dv

dt

Trong đó F là lực tác dụng lên vật trong khi vật rơi thẳng đứng Tuy vậy F được tạo nên bởi trọng lượng của vật thể mg trừ đi áp lực của không khí kv ( với k>0 là hằng

m dv

dt =mg−kv

Euler’s Method (Phương pháp Euler) được đặt tên theo tên của nhà toán học Thụy Sỹ Leonard Euler (1707 – 1783) là một phương pháp tính xấp xỉ

nghiệm của một phương trình vi phân thông thường với một giá trị ban đầu được cho trước

dy

dx =F(x , y)y(x o)= y0

Để mô tả phương pháp này, ta cho h là một con số bất kì tương ứng là kích thước của các bước và các số tự nhiên n không bị trùng nhau theo phương trình

x n =x0+nhn=1,2,3 ,……

Chúng ta bắt đầu bằng cách tìm một xấp xỉ y, với giá trị nghiệm thực tế cho

là f(x1) tại x= x1 Quan sát điều kiện ban đầu cho ta biết điểm đã cho thuộc đường cong nghiệm và phương pháp Euler sẽ cho ta biết được một phần của

đồ thị được xấp xỉ bằng những đoạn thẳng tiếp xúc đồ thị Vì vậy

y= y0+F(x 0, y0)(x−x0)

1.2 Tìm hiểu về phương trình Logistic:

Theo như chúng ta đã biết mô hình tăng dân số trong đó tốc độ thay đổi của dân số tại thời điểm bất kì tỉ lệ thuận với dân số hiện tại theo phương trình:

dP

Trong đó P(t) là dân số tại thời điểm t, và k, hằng số dương của tình trạng cân xứng

là hằng số tăng trưởng

Nhưng mô hình này không thực tế lắm bởi vì thực chất dân số lúc đầu sẽ tăng

nhanh rồi chậm dần lại do quá đông đúc và thiếu thốn các cơ sở vật chất sống và để thể hiện chính xác sự thay đổi ta dùng phương trình Logistic

Chúng ta có thể viết lại phương trình 1 ở dạng :

dP dt

P = k

Điều này cho chúng ta biết được rằng tốc độ tăng dân số tương đối trong mô hình tăng trưởng không giới hạn là một hằng số dương Giả sử quần thể không thể vượt quá một con số L nào đó, gọi là sức chứa của môi trường Sau đó có một giả định tương đối hợp lí rằng tốc độ tăng trưởng tương đối của dân số bắt đầu từ k khi P nhỏ và tiến tới 0 khi P gần bằng với L Nói cách khác chúng ta muốn một mô hình mang dạng :

dP dt

Khi f thỏa mãn f(0) = k và f(L0) = 0 Hàm số đơn giản nhất f thỏa mãn những điều kiện này là hàm số tuyến tính có đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm (0,k) và

(L,0) (Nhìn hình minh họa H1.) Bạn có thể kiểm chứng rằng hàm số mong muốn

là :

f(P) = k( 1 -

P

L )

(H1)

Từ chính những thông tin thảo luận trên đây dẫn đến một phương trình dành cho sự gia tăng dân số bị hạn chế gọi là phương trình Logistic :

dP

P

L )

Có thể thấy được rằng nếu P là nhỏ so với L , thì P/L là nhỏ và dP/dt ≈ kP ; đó là, các mô hình logistic hoạt động giống như mô hình tăng trưởng không hạn chế

Nhưng khi P tiến đến L, thì P/L tiến đến 1, và tỉ lệ tăng trưởng của P , dP/dt, tiến đến 0

Như vậy, phương trình Logistic thể hiện cả tính chất tăng trưởng nhanh ban đầu và tính chất bão hòa cũng như giảm đi về sau Cũng vậy , ghi chú rằng nếu dân số ban đầu P vượt quá ngưỡng chứa của L, thì 1 - (P/L) là số âm và dP/dt < 0, vì thế dân

số giảm

Ví dụ sau đây về phương trình vi phân logistic kiểm chứng các đặc tính đồ họa này

Ví dụ 1 : Hàm số tăng trưởng logistic : Phác thảo trường hướng cho phương trình vi phân với k = 0.05 và L = 1000 Sau đó vẽ đường cong nghiệm phương trình gần đúng thỏa mãn các yêu cầu ban đầu P(0) =100, P(0) = 1400, và P(0) =1000 chồng lên trên các đường định hướng

Lời giải : Xét phương trình vi phân :

dP

P

1000 )

Sử dụng một phần mềm, chúng ta thu được trường hướng cho phương trình này thể hiện ở hình 2a Chú ý rằng độ dốc là giống nhau trong bất cứ đường nằm ngang nào Điều này xảy ra bởi vì phương trình vi phân logistic là tự động; điều đó nghĩa là P’ chỉ phụ thuộc vào P Đường cong nghiệm phương trình thỏa yêu cầu ban đầu P(0)

=100, P(0) = 1400, và P(0) =1000 thể hiện trên hình 2b-d

Chú ý rằng ở trong hai trường hợp khi mà dân số ban đầu không bắt đầu ở 1000, ngưỡng chứa của môi trường, cả dân số hướng đến 1000 bởi vì t tăng mà không bị ràng buộc Nhưng trong trường hợp khi mà dân số là 1000, dân số vẫn ổn định ở mức đó cho tất cả giá trị của t

* PHÂN TÍCH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LOGISTIC

Ví dụ 2 : Giải phương trình vi phân logistic :

dP

P

Lời giải : Đầu tiên , P = 0 và P = L là nghiệm , bởi vì bạn có thể kiểm chứng bằng cách thay giá trị vào phương trình vi phân Tiếp theo, giả sử rằng P ≠ 0

và P ≠ L Ta thấy rằng phương trình có thể tách được Tách biến ta được :

dP P(1−P L)

= k dt Tích phân 2 vế phương trình theo biến thích hợp, ta được :

∫ dP

P(1−P L)

= ∫kdt (3)

∫( 1

P+ 1L−P )dP=∫kdt

ln|P |- ln|L-P| = kt + C1 ln|L-P| - ln|P | = -kt - C1 ln|

L−P

L−P

P = e−kt−C 1

= e−kt

e−C1

)

L−P

P = Ce−kt

(4)

L

P −1=C e −kt L

P =1+C e

−kt

P = 1+C e L −kt

Để tìm C , ta dùng điều kiện ban đầu P(0) = Po, với Po là dân số ban đầu Đặt t = 0

và P = Po và thay vào phương trình (4)

L−P0

P0 =C e0=C

Vậy, nghiệm của giá trị vấn đề ban đầu là

P(t) = 1+( L L

P0−1)e −kt (5)

Chú ý rằng

lim

t → ∞ P (t) = limt → ∞

L

1+( L

P0−1)e −kt

=L

(6)

Như dự đoán Đồ thị của phương trình (5) được gọi là đường cong logistic

* ĐƯỜNG CONG LOGISTIC

Ví dụ 1 gợi ý hình dáng của đường cong logistic , chúng ta đang ở vị trí để xác

nhận sự phân tích quan sát này

Chúng ta bắt đầu xác định các khoảng khi P đang tăng và khoảng nó đang giảm

Để làm điều này , chúng ta tính toán P’(t) từ phương trình (5) , nhưng điều này sẽ rất tẻ nhạt và không cần thiết Thay vào đó , chúng ta sẽ làm việc với phương trình (2) , cái mà thể hiện P’ trong khoảng Quan sát thấy

P’ = kP( 1 -

P

L )

thị được biểu diễn trong hình (H3)

(H3)

Ta thấy rằng dấu của đồ thị này không giống với dấu của đồ thị chúng ta đã gặp ở chương 3 Ở đây, P phụ thuộc theo biến , và nó phụ thuộc vào trục tung

Từ dấu của đồ thị P’ ta kết luận rằng P đang tăng nếu 0<P<L và P giảm nếu P>L Tiếp theo chúng ta tính toán

(H4)

L/2, L Dấu của đồ thị P’’ thể hiện ở hình (H4) Từ dấu của đồ thị P’’ chúng ta kết luận rằng đồ thị của P lõm lên nếu 0<P<L/2 và P>L và lõm xuống nếu L/2<P<L Cũng vậy, P có 1 điểm uốn tại P=L/2.Chúng ta có hai trường hợp So sánh với dấu của P’ và P”, ta thấy như sau :

1 Nếu 0<P<L, thì P tăng , bề lõm hướng lên với 0<P<L/2, và bề lõm hướng xuống nếu L/2 <P<L Cũng vậy, P có 1 điểm uốn tại P=L/2 ( hình H5)

2 Nếu P>L, thì P giảm và bề lõm hướng lên

Điều này thể hiện, mặc dù chúng t sẽ không làm ở đây , rằng không có đường cong nào có thể vượt qua đường nằm ngang P = 0 và P = L

Phần 2: Công cụ Slope Field Plotter để vẽ Direction field Vẽ minh họa direction field cho phương trình y’ = 2y2 – x và hàm nghiệm của bài toán y’ = 2y2 – x, y(2) = 2

2.1 Slope Field Plotter (Công cụ vẽ trường độ dốc)

2.1.1 Định nghĩa

Slope Field Plotter là công cụ phác họa những đường cong giải pháp cho phương trình vi phân cấp 1 Từ đó, có thể phán đoán được nghiệm và đồ thị của phương trình vi

phân đó

2.1.2 Một số chức năng của công cụ vẽ Slope Field Plotter.

Hình ảnh tổng quan về công cụ:

Hình 2.1 Giao diện công cụ Slope Field Plotter

Numerical solution tables, and timeplots (for systems): Dùng để xác định được độ dốc từ việc cho (x,y ) ban đầu.

Hình 2.2 Bảng nhập giá trị đầu vào

Bảng dy dx =f ( x, y) : dùng để nhập phương trình bậc nhất ở dạng dy dx =f ( x, y) hay ta

có thể đổi biến bằng cách thay đổi ở “Variables”

Hình 2.3 Bảng nhập phương trình cần xử lý

Bằng cách chỉ định các giá trị ban đầu, người dùng có thể thấy các đường cong giải pháp gần đúng với phương trình vi phân ban đầu, với một số lựa chọn cho phương pháp giải như:

o Phương pháp Euler

o Phương pháp Euler cải tiến (Heun's)

o Phương pháp điểm giữa

o Runge-Kutta (RK4 và "Quy tắc 3/8").

Lựa chọn phương pháp là một sự thích nghi tạo ra các giải pháp tốt hơn trong một

số trường hợp đồng thời ảnh hưởng đến tất cả các phương pháp số cho phương trình với ngoại lệ là phương pháp RKF.

Cụ thể: Nếu, tại bất kỳ thời điểm nào, |dy dx| > 3, phương pháp này sẽ chuyển đổi vai trò của x và y do các đường tiếp tuyến quá dốc Ví dụ: đối với phương trình dy dx = - x y có hình dạng như một vòng tròn, đây là các đường cong giải pháp cho RK4 với h = 0,05 mà không cần chuyển đổi (Trái) và có chuyển đổi (Phải):

Hình 2.4 Bảng so sách trạng thái trước và sau chuyển đổi

Tương ứng với những phân đoạn đã cho, có thể đặt các giới hạn cho giá trị x và y bất kỳ

để có thể phác họa đồ thị của phương trình vi phân cấp 1.

Hình 2.5 Bảng nhập giới hạn các giá trị bất kỳ ứng và số phân đoạn mong muốn

Sau khi nhập phương trình vi phân vào dx dy và cho các giá trị x, y tương ứng, chọn

“Submit” thì sẽ thể hiện đồ thị của phương trình đó (Đường cong giải pháp).

Hình 2.6 Minh họa kết quả đường cong giải pháp của phương trình vi phân.

2.2 Vẽ minh họa Direction field cho phương trình vi phân cấp 1 y ' =2 y2−x và hàm nghiệm của bài toán y ' =2 y2−x, y(2) ¿ 2

Ta vẽ được direction field phương trình y ' =2 y2−x trên công cụ như sau:

Hình 2.7 Direction field của phương trình vi phân y ' =2 y2−x

Với M(x , y) =(2,2) ứng với y(2) = 2, vẽ được đồ thị Slope field như sau:

Hình 2.8 Slope field của hàm nghiệm bài toán y ' =2 y2−x , y(2) = 2