Báo cáo bài tập lớn giải tích 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG TM TM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 GVHD Nguyễn Thị Hồng Nhung NHÓM GT2 L23 11 TP HCM, 06/05/2022 DANH SÁCH[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

TM TM

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

GVHD: Nguyễn Thị Hồng Nhung

NHÓM: GT2-L23-11

TP HCM, 06/05/2022

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 11

1 Trần Vũ Nguyên Khanh 2110253

NHẬN XÉT CỦA GVHD:

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

TP Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 05 năm 2022

Chữ ký Giáo viên hướng dẫn

NỘI DUNG CÂU HỎI

CHƯƠNG 1: BÀI DỊCH

S ource: Multivariable calculus 7th edition by james stewart

5

II BẢN DỊCH

Đồ thị mô tả chuỗi các kỳ trong mỗi xi lanh của động cơ đốt trong 4 kỳ Mỗi pít-tông di chuyển lên xuống và được nối bằng một tay quay với

trục khuỷu Gọi P(t) và V(t) là áp suất và thể tích bên trong một xi lanh tại thời điểm t, tại a ≤ t ≤ b thời gian cung cấp cần thiết cho hoành tất một

chu kỳ Biểu đồ thể hiện sự thay đổi của P và V trong một chu kỳ của động cơ 4 kỳ

Trong suốt kỳ nạp (từ 1 đến 2 ) , hỗn hợp không khí và xăng ở áp suất khí quyển được hút vào xi lanh thông qua van nạp khi pít tông di chuyển xuống dưới Sau đó, pít tông nén nhanh hỗn hợp nhờ đóng các van trong

kỳ nén (từ 2 đến 3) khi đó áp suất tăng và thể tích giảm Ở 3, bugi đốt cháy nhiên liệu, nhiệt dộ và áp suất tăng, thể tích gần như không đổi ở 4

Sau đó, khi các van đóng lại, quá trình giãn nở làm pít tông di chuyển trong suốt quá trình sinh công (từ 4 đến 5) Van xả mở ra, nhiệt độ và áp suất giảm, và năng lượng được tích trữ trong bánh đà sẽ đẩy pít tông lên trên đẩy các chất thải ra khỏi van xả trong kỳ thải Van xả đóng van nạp

mở Quay về lại 1 và chu kỳ bắt đầu lại

a) Chứng tỏ rằng công thực hiện trên pít-tông trong một chu kỳ của động

cơ bốn kỳ là W= ∫

C

P Vⅆ trong đó C là đường cong trong mặt phẳng PV

được biểu diễn trên đồ thị

Gợi ý: Gọi x (t) là khoảng cách từ pít-tông đến đỉnh xylanh và lưu ý rằng

lực tác dụng lên pít-tông là F = AP (t) i, trong đó A là diện tích đỉnh của pít-tông Khiấy W=∫

C1

F rⅆ , trong đó C 1 được xác định bởi r(t) = x(t)I, a ≤ t

≤ b Một cách thay thế khác là tính trực tiếp bằng các tổng Riemann

b) Sử dụng công thức 16.4.5 để chỉ ra rằng sự khác biệt của công ở các

diện tích được bao quanh bởi 2 vòng lặp của C.

7

CHƯƠNG 3: GIẢI CÂU (a)

I ĐỀ BÀI

Đồ thị mô tả chuỗi các kỳ trong mỗi xi lanh của động cơ đốt trong 4 kỳ Mỗi pít-tông di chuyển lên xuống và được nối bằng một tay quay với

trục khuỷu Gọi P(t) và V(t) là áp suất và thể tích bên trong một xi lanh tại thời điểm t, tại a ≤ t ≤ b thời gian cung cấp cần thiết cho hoành tất một

chu kỳ Biểu đồ thể hiện sự thay đổi của P và V trong một chu kỳ của động cơ 4 kỳ

Trong suốt kỳ nạp (từ 1 đến 2 ) , hỗn hợp không khí và xăng ở áp suất

khí quyển được hút vào xi lanh thông qua van nạp khi pít tông di chuyển

xuống dưới Sau đó, pít tông nén nhanh hỗn hợp nhờ đóng các van trong

kỳ nén (từ 2 đến 3) khi đó áp suất tăng và thể tích giảm Ở 3, bugi đốt

cháy nhiên liệu, nhiệt dộ và áp suất tăng, thể tích gần như không đổi ở 4

Sau đó, khi các van đóng lại, quá trình giãn nở làm pít tông di chuyển

trong suốt quá trình sinh công (từ 4 đến 5) Van xả mở ra, nhiệt độ và áp

suất giảm, và năng lượng được tích trữ trong bánh đà sẽ đẩy pít tông lên

trên đẩy các chất thải ra khỏi van xả trong kỳ thải Van xả đóng van nạp

mở Quay về lại 1 và chu kỳ bắt đầu lại

a) Chứng tỏ rằng công thực hiện trên pít-tông trong một chu kỳ của

động cơ bốn kỳ là W= ∫

C

P Vⅆ trong đó C là đường cong trong mặt phẳng PV được biểu diễn trên đồ thị

Gợi ý: Gọi x (t) là khoảng cách từ pít-tông đến đỉnh xylanh và lưu ý

rằng lực tác dụng lên pít-tông là F = AP (t) i, trong đó A là diện tích

đỉnh của pít-tông Khi ấy W=∫

C1

F rⅆ , trong đó C 1 được xác định bởi r(t)

= x(t)I, a ≤ t ≤ b Một cách thay thế khác là tính trực tiếp bằng các

tổng Riemann

Áp dụng các ý tưởng của chương này cho một trường lực liên tục F làm

chuyển động một vật dọc theo một đường C cho bởi r(t), a≤ t ≤b, trong đó

r(a)=A là điểm đầu tiên và r(b)=b là điểm uốn của C Dựa vào định luật II

Newton, lực F(r(t)) tại một điểm trên C được liên hệ với gia tốc a(t)= r ' '(t)

bằng phương trình:

15 F(r(t))=m r ' '(t)

Vậy công do lực tác dụng lên vật:

c F rⅆ =∫

a

b

F(r(t))⋅r '(t)ⅆ =t ∫

a

b

mr ' '(t)⋅r '(t)ⅆ = m t 2∫

a

b

d

dt[r '(t)⋅r '(t)]dt= m2∫

a

b

d

dt|r '(t)|2

dt=m2 [ |r '(t)|2

]a

b

= m2( |r '(b)|2

−|r '(a)|2

)

9

Vì vậy:

w= 12m|v(b)|2

−12m|v(a)|2

Trong đó: v=r 'là vận tốc

Đại lượng 12m|v(t)|2

, tức là một nửa khối lượng nhân với bình phương vận tốc được gọi là động năng của vật Do đó, chúng ta có thể viết lại phương trình 15 như sau

16 W= K(B) – K(A)

Điều này nói rằng công được thực hiện bởi trường lực dọc theo C bằng với sự sự thay đổi của động năng tại các điểm cuối C Bây giờ, chúng ta giả sử thêm F là một trường lực bảo toàn tức là, chúng ta có thể viết F=∇ f Trong vật lý, thế năng của một vật tại điểm (x,y,z) được xác định là P(x,y,z)= - f (x,y,z) nên ta có:

F = -∇ P

Theo đó, theo định luật II, chúng ta có:

III BÀI GIẢI

Xét C1 là đường cong được xác định bởi sự chuyển động của pít-tông A của xylanh A’ trong một chu kì của động cơ đốt 4 kỳ

Gọi x (t) là khoảng cách từ pít-tông đến đỉnh xylanh ở thời điểm t.

Khi đó C1 được xác định bởi r(t) = x(t), với ¿¿)

Áp lực tác dụng lên mặt bị ép của pít-tông A có diện tích S là F(t) = S.P(t), với¿¿) Trong đó P(t) là áp suất của xylanh A’ ở thời điểm t

Công thực hiện trên pít-tông A trong một chu kỳ của động cơ bốn kỳ là:

C1

❑

a b

SP(t)x '(t)dt ,vớia1≤ t ≤ b1(1)

Từ (1) và (3), ta được:

a

b

SP(t)x '(t)dt=∫

a

b

P(t)V '(t)dt ,vớia1≤ t ≤ b1(4)

Từ đó, với C là đường cong trong mặt phẳng PV được biểu diễn trên đồ thị, t ¿) là thời điểm trong một chu kì của động cơ đốt ta có:

a

b

P(t)V '(t)dt=¿∫

C

❑

PdV ,vớia≤ t ≤ b¿

Vì vậy, công thực hiện trên pít-tông trong một chu kỳ của động cơ bốn kỳ

là W= ∫

C

P Vⅆ (điều cần phải chứng minh)

11

CHƯƠNG 4: GIẢI CÂU (b)

Sử dụng Công thức 16.4.5 để chỉ ra rằng công là hiệu của diện tích được bao bởi hai vòng lặp C

II CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Định lý Green: Trong mặt phẳng xOy, cho D là miền đóng có biên là đường cong

đơn giản , khép kín , trơn từng khúc C Các hàm P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng

cấp một của chúng liên tục trong D Khi đó:

∮

C

❑

P(x, y)dx+Q(x , y)dy=±∬

D

❑

∂ x)−(∂ P

∂ y)dxdy

Dấu “+” nếu chiều lấy tích phân trùng với chiều quy ước Ngược lại, ta lấy dấu “-”

Chú ý: Như vậy, đi theo đường công C, thì miền D sẽ nằm bên trái đường cong C

thì chiều lấy tích phân sẽ là chiều dương

III BÀI GIẢI

Ta chia đường cong C thành 2 đường cong kín, đơn giản là C1 và C2

Theo công thức 16.4.5 và chiều của đường cong ta có:

Diện tích miền có biên C1 là:

A1=−∮

c1

P Vⅆ Diện tích miền có biên C2 là:

A2=− ¿

Từ câu a ta lại có:

c

P Vⅆ

c1

P Vⅆ +∮

c2

P Vⅆ

¿ − ¿

c2

P Vⅆ −¿

Từ đó suy ra:

W =A2− A1

Vậy, ta kết luận công thực hiện được chính là hiệu của diện tích 2 miền được đường cong C bao quanh ( A1v `a A2¿.

13

CHƯƠNG 5: TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]Problem Plus, Vector Calculus, Multivariable calculus 7th edition by james stewart

[2]Chương 7, phần 7.2.7 , Sách giáo trình giải tích 2 , Nhà Xuất Bản Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh - Nguyễn Đình Huy (chủ biên)