Microsoft PowerPoint chuong 13 pptx Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 13 3/13/2015 Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM 1 CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ 2 Nguyên lý di ch[.]
Trang 12 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
NỘI DUNG
1 Khái niệm cơ bản
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Liên kết và cơ hệ không tự do
Liên kết là điều kiện ràng buộc chuyển động của cơ hệ, không phụ thuộc vào lực tác dụng lên nó và các điều kiện đầu của chuyển động
Những điều kiện ràng buộc đó thường được diễn tả dưới dạng những
hệ thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của các chất điểm hay vật rắn thuộc hệ và thời gian Người ta gọi đó là những phương trình liên kết và viết dưới dạng:
1, 2, 3
, , 0
1, 2, 3
j k k
k
f r V t
j
Trong đó k là số thứ tự của các chất điểm thuộc cơ hệ, j là số thứ tự của các hệ thức biểu thị các liên kết
Trang 2Ví dụ 1- Vật rắn là một cơ hệ gồm vô số chất điểm với vô số liên kết và liên
kết đó được biểu thị bằng đẳng thức: MN=const với MN là khoảng
cách của cặp điểm M, N bất kì thuộc vật
0(1) 0, A(1) A(2)
2- Hệ tay quay thanh truyền như hình
M N
3
O
A
B
x y
(3) 0, (2) (3)
y rr
Cơ hệ không tự do
Cơ hệ không tự do là cơ hệ chịu các liên kết được biểu diễn bằng biểu thức
1, , , ; , , , ;2 1 2 0
f r r r V V V t
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Di chuyển khả dĩ – Bậc tự do của hệ
Di chuyển khả dĩ (DCKD) của cơ hệ là tập di chuyển vô cùng bé của các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà vẫn thỏa mãn các liên kết tại vị trí đang xét
Để phân biệt dị chuyển thực vô cùng bé và DCKD người ta kí hiệu như sau
Di chuyển thực vô cùng bé : d r k
Di chuyển khả dĩ: r k
Để xác định chuyển động cơ hệ ta chỉ cần xác định số DCKD độc lập bằng với số bậc tự do của cơ hệ
Tại mỗi vị trí cơ hệ có vô số DCKD Các DCKD này không độc lập tuyến tính do phải thỏa mãn các phương trình Ta có thể chọn trong tập một hệ vector cơ sở các DCKD độc lập tuyến tính
rk
rk
Trang 3Ta có thể thấy di chuyển thực của hệ này là bằng 0 nhưng hệ có thể diu chuyển ảo một gócδθ
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Tọa độ suy rộng
Số tọa độ suy rộng độc lập để xác định hệ:
Tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính vừa đủ để xác định vị trí cơ hệ gọi
là hệ đầy đủ, kí hiệu là {q1, q2, q3,…, qn}
3
s dof N R
Ví dụ
A
1
1 2
q q
Trang 4Ví dụ hệ có 1 bậc tự do
1
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ hệ có 2 bậc tự do
1 1
2 2
q q
2 2
q s
q s
1 1
2 2
q q
Trang 5Ví dụ
D
s
C
C D
A B
Con lăn lăn không trượt
1 2
D C
q s
q
s
5
dof 21
3 4 5
q q q
q s q
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Lực suy rộng
Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực hoạt động Cho cơ hệ thực hiện một DCKD , các lực sẽ thực hiện công trên độ dời đó:
( a)
k F
( a)
k F
{rk}
a
Được gọi là công khả dĩ Chọn hệ tọa độ suy rộng {q i }, i=1,n
1 2
1
( , , , ) n k
r
q
r
q
1 1
r
Với
1
N
r
q
Trang 6Cách tính lực suy rộng
1 – Áp dụng trực tiếp định nghĩa:
1
N
r
q
2 – Áp dụng tính công khả dĩ
Cho hệ di chuyển khả dĩ sao cho:
Hệ số tính công chính là hệ lực suy rộng tương ứng
3 – Áp dụng tính công khả dĩ trong trường hợp lực hoạt động là lực thế
i
i
Q
q
Trong trường hợp lực hoạt động có cả lực thế và lực không thế ta
có thể tính
(luc khong the)
i
q
Là hàm thế năng
còn qi 0 Các DCKD phải độc lập tuyến tính
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ
1 2
q q
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b
1/ Tính lực suy rộng bằng định nghĩa
1
N
r
q
Biểu diễn vector
1 (0, )
F P P
F Q Q
3 ( , 0)
F F F
1 I sin cos
r r a i a j
Q
O
F
P y
x I
H
r r a b i a b j
r r a b i a b j
Trang 71 1 1
Tính các đạo hàm riêng
1 1 2
0
2 2 1
2 2 2
3 3 1
3 3 2
2 cos 2 sin
1 (0, )
F P P
2 (0, )
F Q Q
3 ( , 0)
F F F
Sử dụng công thức tính lực suy rộng ta được
3 1
1
k k
r
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Sử dụng công thức tính lực suy rộng ta được
3 1
1
k k
r
[ 2 cos 0 ( 2 sin )]
1 sin 2 sin 2 cos
3 2
1
k k
r
[ 2 cos 0 ( 2 sin )]
P
Q bQ bF
Trang 82/ Tính lực suy rộng bằng công khả dĩ
Di chuyển khả dĩ của hệ 1
2
q q
1 0, 2 0
Đểtính Q 1ta cho hệ chuyển động theo tọa độ suy rộng 1, tọa độ suy rộng 2 bằng 0:
k
( ) 1
N j
k
O
P
2
I
1
I
h
Ta thấy lực P làm vật chuyển động từ I1 I2 đoạn đường di chuyển làδh
A P aP
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
k
aP aQ aF
( aP sin 2 aQ sin 2 aF cos )
Q
O
I
H
k
Ta thấy lực Q làm vật chuyển động từ
H1H2đoạn đường di chuyển làδk
A Q aQ
Tương tự ta cũng được
( ) 2 cos
A F aF
Vậy ta được tổng công khả dĩ
1 sin 2 sin 2 cos
Trang 91 0, 2 0
Đểtính Q 2ta cho hệ chuyển động theo tọa độ suy rộng 2, tọa độ suy rộng 1 bằng 0:
k
Ta thấy lực Q làm vật chuyển động từ
H1H2đoạn đường di chuyển làδt
A Q bQ
A
B
O
H
t
Ta thấy lực P không làm thanh AB chuyển động nên A P ( ) 0
Tương tự ta cũng được
( ) 2 cos
A F bF
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
k
0 bQ sin 2 bF cos
Vậy ta được tổng công khả dĩ
( bQ sin 2 bF cos )
Trang 103/ Tính lực suy rộng bằng công của lực có thế và không thế
(luc khong the)
i
q
Là hàm thế năng
P
Q
P y
Q y
0
I
J
Chọn mức thế năng bằng 0 (bất kỳ)
0
y
cos
a
2 cosa bcos
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Tính hàm thế năng của hệ
sin 2 sin
Đạo hàm của thế năng theo tọa độ suy rộng
sin
Q b
( cos ) ( 2 cos cos )
P y Q y
Tính lực suy rộng do lực F gây ra
1' 2 cos
2' 2 cos
(Lưu ý rằng nếu ta chọn gốc thế năng đi qua O, lúc đó y O =0 )
Trang 11Vậy ta được lực suy rộng của hệ
1 1 1
'
q
(P a sin Q 2 sin ) 2a aFcos
1 sin 2 sin 2 cos
2 2
2
'
q
Q bsin 2bFcos
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ Tính các lực suy rộng biết con lăn lăn không trượt
Hệ tọa độ suy rộng đầy đủ và độc lập
D
s
C
C D
A B
1 2
D C
q s
q
M
D
P
A
P
B
P
Tính Q 1
Cho hệ DCKD với
1 0, 2 0
(Ròng rọc C không quay)
( )
A M
E
s
r
E
E
M
r
Trang 121
E
M
r
1 A B Dsin
E
M
r
Tính Q 2
Cho hệ DCKD với
1 0, 2 0
(Con lăn D đứng yên)
0 0
P r P r
( PA P rB) CC
(2)
2
2 ( A B) C
Q P P r
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Liên kết lý tưởng
Cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công của tất cả các phản lực liên kết đặt vào cơ hệ trên mọi DCKD đều bằng 0
1
0
N
k
Trong thực tế các hệ gồm vật rắn, dây mêm không dãn, bỏ qua ma sát đều là cơ hệ chịu liên kết lý tưởng
Trang 13Phát biểu nguyên lý di chuyển khả dĩ
Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học và lý tưởng cân bằng ở vị trí đang xét là tổng công của tất cả các lực hoạt động trên mọi DCKD kể từ vị trí đó đều bằng không
0
Nếu các tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính ta được
0
i
Q
Các loại bài toán áp dụng nguyên lý DCKD
- Tìm điều kiện cân bằng của hệ
- Tìm các thành phần phản lực liên kết của cơ hệ
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ
1 2
q q
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b Tính gócϕ và ψ theo
P, Q, F khi hệ cân bằng
Điều kiện để hệ cân bằng
Q
O
F
P y
x I
H
1 2
0 0
Q Q
sin 2 sin 2 cos 0 sin 2 cos 0
2 tan
2 2 tan
F
F Q
2 arctan
2 2 arctan
F
F Q
Trang 14Ví dụ:Cho hệ có cơ cấu như hình vẽ Tính lực P để hệ cân bằng nếu ta tác dụng moment ngẫu lực M vào thanh OA biết khối lượng các vật không đáng kể
Giải
Hệ có một bậc tự do nên ta chọn θ là góc quay của thanh OA là tọa độ suy rộng của hệ như hình vẽ dưới
Ta có độ dịch chuyển của A là
y a
Tam giác bên phải nối thanh AB
2 2 2
b x y
Lấy vi phân 2 vế ta được
0 2 xx2 yy y
x
x ya
x
1 Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Tính lực suy rộng Q 1
Tính công suy rộng
(1) ( ) ( )
k
A A P A M
P x M
y
x
(1)
k
y
x
1
y
Q P a M
x
Để hệ cân bằng Q10
0
y
P a M x
a y a h
Trang 15Ví dụ: Cho hệ có cơ cấu như hình vẽ Bỏ qua trọng lượng của dầm, hãy xác định áp lực lên gối B
Giải
Để tính phản lực liên kết tại B ta giải phóng liên kết và thay vào đó phản lực
NB Sau đó cho hệ di chuyển khả dĩ,
và ta có điều kiện sau:
1
B C
s l
Do đó:
1 2
b l
a l
Tính công khả dĩ ta được
( B) ( )
E
P
1
B s
s C
E s
E C
s l
A
D E
P B
N
N s P s
2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1 2
b l
a l
1 2
b l
a l
Điều kiện để hệ cân bằng Q0
1 2
B
b l
a l
1 2
0
B
b l
a l
1 2
B
b l
a l
Chú ý: Nếu ta dùng bằng phương pháp tĩnh học bình thường thì sẽ dài vì phải lập phương trình cân bằng cho 2 dầm AC và CD Vì thế
ta dùng cách này sẽ ngắn hơn rất nhiều
Trang 16Ví dụKhông kể đến ma sát, hãy xác định các lực suy rộng của hệ bao
gồm thanh AB đồng chất chiều dài l, trọng lượng P và có thể qua quanh
trục A trên mặt phẳng thẳng đứng Viên bi M trọng lượng Q chuyển động
trên thanh Chiều dài tự nhiên của lò xo AM là l 0, độ cứng bằng k
Q
B
A
P
0
l x
1 2
q
q x
Chọn tọa độ suy rộng
2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Cách 1:Tính lực suy rộng bằng định nghĩa (tự tính)
Cách 2:Tính lực suy rộng bằng công khả dĩ
Cho q10, q2x0 TínhQ 1:
Q
B
A
P
0
l x
Tính công khả dĩ
0
sin sin ( ) 2
l
P Q l x
0
sin sin ( ) 2
l
1 sin (0 )sin 2
Pl
Q Q l x
Trang 17Cho q10, q2x0 TínhQ 2:
Tính công khả dĩ
cos s
Q x F x
Qcos k xx
2 cos
Q Q k x
Q
B
A
s
F
0
l x x
Qcos x k x x
2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Cách 3:Tính lực suy rộng bằng hàm thế năng
( ) ( ) ( )s
V P V Q V F
2
1 2
P y Q y k x
2 0
1 ( cos ) ( ( ) cos )
l
2
l
Q Q P Q l x
A
cos 2
l
P B I
Q
P
y
Q
y
A
y
0 (l x) cos
Chọn mức thế năng bằng 0 (bất kỳ)