Phương trình đạo hàm riêng

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER Từ hàm ban đầu chưa biết, ta biến đổi Fourier của hàm , sau đó sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược để ma àm.. Tùy vào điều kiện của bài toán

TÀI LIỆU LÝ THUYẾT-BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

(Tài liệu chỉ mang nh tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com)

CHƯƠNG 0: NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC CŨ

I Các ký hiệu đạo hàm và công thức

1 Giả thiết hàm : Ω → ℝ, ∈ Ω ⊂ ℝ Khi đó

∆ = = = ∇ ; ∇( ∇ ) = ∇ ∇ + ∇ (tích phân từng phần)

2 Giả thiết hàm : Ω → ℝ , > 1, ∈ Ω ⊂ ℝ : ( ) = ( ), ( ), … , ( ) ,

= + + ⋯ + = ∇ F trong đó =

3 Cho Ω ⊂ ℝ là một miền có biên Ω ∈ có vecto pháp tuyến tại các điểm trên mỗi mảnh Khi đó,

i Ω =

ii Ω = − Ω

iii div Ω = (công thức Divergence)

iv φdiv Ω = − ∇ Ω

v φ∆ Ω = − ∇ ∇ Ω (công thức Green 1)

vi (φ∆ − ∆ ) Ω = ( − ) (công thức Green 2)

Chứng minh:

Công thức iv (dựa vào công thức Divergence)

II Phương trình vi phân

1 Phương trình vi phân tuyến nh cấp 1:

+ ( ) = ( ) Nghiệm tổng quát:

2 Phương trình tuyến nh cấp 2:

Cách m nghiệm tổng quát

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến nh thuần nhất: + + = 0

Giải phương trình đa thức đặc trưng: + + = 0 (1)

 Trường hợp hợp (1) có hai nghiệm phân biệt , thì = +

III Biến đổi Fourier:

Có 3 cách biến đổi Fourier thông dụng

IV Biến đổi Laplace

Cặp biến đổi Laplace

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN

Sau đây là một số bài tập xét trong trường hợp điều kiện thuần nhất

Bài 1.1: Bằng phương pháp tách biến m hàm ( , ) thỏa

= ; < < , ( , ) = ( , ) = ,( , ) = ; < <

‖Φ ‖ = ∫ sin ( ) = ∫ (1 − cos (2 )) = − sin (2 ) =

B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có

( , ) = 〈 , Φ 〉

‖Φ ‖ Φ =

(−1) + 1

12

sin( )

=2 (−1) + 1sin sin( )

Bây giờ ta sẽ xét bài toán với điều kiện không thuần nhất | ≠ , | ≠ Ví dụ như ( , ) =

hay ( , ) =

Bài 1.3: Bằng phương pháp tách biến m hàm ( , ) thỏa

= ; < < , >

( , ) = , ( , ) = , ( , ) = ; < <

Giải:

Đặt ( , ) = ( , ) − ta được hệ

= ; 0 < < 1, > 0 (0, ) = 0, (1, ) = 0, ( , 0) = − ; 0 < < 1

Giải:

Đặt ( , ) = ( , ) − ta có hệ

+ = 0; 0 < , < 1, ( , 0) = (0, ) = 0, ( , 1) = 0, (1, ) = 1 −

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER

Từ hàm ban đầu (chưa biết), ta biến đổi Fourier ( ) của hàm , sau đó sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược để ma àm Tùy vào điều kiện của bài toán mà ta chọn biến đổi Fourier cho thích hợp, cụ thể:

 Bài toán có giả thiết (0, ) sử dụng biến đỗi Fourier sin

 Bài toán có giả thiết (0, ) sử dụng biến đỗi Fourier cos

 Các trường hợp khác sử dụng công thức dạng phức trong biến đổi Fourier

Sau đây là một số bài tập tham khảo,

Bài 2.1: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm ( , ) thỏa:

+ = , ( , ) = ; , > , ( , ) = ( ), à ( , ) ị ặ

Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier sin ta có

( , ) =1

+ ( − ) − + ( + ) ( )

Bài 2.2: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm ( , ) thỏa:

= , ( , ) = ; , > ,( , ) = ( )

Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier sin ta có

Bây giờ ta xét bài tập với hàm ( ) cho cụ thể

Bài 2.3: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm ( , ) thỏa:

= , ( , ) = ; , > ,( , ) =

Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier sin ta có

( , ) sin( ) = 2 ( , ) sin( )

⇔ ( , ) sin( ) = 2[ ( , ) sin( ) − ( , ) cos( )] →→ − 2 ( , ) sin( )Giả sử ( , ) → 0, ( , ) → 0 khi → ∞ khi đó ta có

( , ) sin( ) = −2 ( , ) sin( ) Đặt

( , ) =2

Bài 2.4: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm ( , ) thỏa:

= , ( , ) = − ; , > ,( , ) =

Giải:

Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier cos ta có:

( , ) cos( ) =1 ( , ) cos( )

⇔ [ ( , ) cos( ) + ( , ) sin( )] →→ − ( , ) cos( ) = 1 ( , ) cos( ) Giả sử ( , ) → 0, ( , ) → 0 khi → ∞ khi đó ta có

Bài 2.5: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm ( , ) thỏa:

= ; ∈ ℝ, < < , ( , ) = ( ), ( , ) =

Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier tổng quát ta có

( , ) + ( , ) = 0

Đặt

Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier tổng quát ta có

( , ) + ( , ) = 0

( , ) = 1

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE

( , ) = ℒ − ( −

2) ( − 2) Suy ra

Ta có phương trình: − = − ( ) (1)

Phương trình đặc trưng: − = 0 ⇔ = ±

Nghiệm của phương trình − = 0 có dạng ( , ) = + (2)

Cho lần lượt = 0, = 1 vào (2) ta có

+ = (0, ) = 0 + = (0, ) = 0⇔ = = 0 ⇒ ( , ) = 0

Do ( ) = − ( )= − sin ( ) nên nghiệm riêng của (1) có dạng

( , ) = ( ) + ( ) ⇒ ( , ) = − cos( ) − sin( ) Thay vào (1) ta có

( , ) = (1 − cos( )) sin( )

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

Bài 4.1: Xét hệ

− + = , ( ) = ( ) =

Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m ,

Bây giờ ta sẽ xét từ bài toán nghiệm yếu nếu giả sử có điều kiện (*) ta có thể suy ra bài toán ban đầu

Bài 4.2: Xét hệ

− + = ; < < , ( ) = , ( ) =

Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m , Chứng minh bài toán nghiệm yếu suy bài toán ban đầu

Do đó sử dụng bài toán ban đầu, lấy ∈ ta có

Do đó sử dụng bài toán ban đầu, lấy ∈ ta có

a Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m , ,

b Áp dụng định lý Lax-Milgram để chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất,

c Chứng minh bài toán nghiệm yếu suy bài toán ban đầu

Giải:

a Lấy hàm ∈ (0,1) ta có

Ta có

(1) = [ ( )] = ( ( ))′ = ( ( ) + ′( ))

√3‖ ‖ Tương tự ta có (1) ≤

√ ‖ ‖

≤ 2 ( ) + ( ) ( ) + ( )

= 2‖ ‖ ‖ ‖ Suy ra

c Giả sử có ∈ thỏa (*), lấy hàm ∈ (0,1) ta có

( ) ( ) = [ ( ) ( ) − 2 ( ) ( )]

⇔ [ ( ) ( )] − ( ) ( ) = [ ( ) − 2 ( )] ( )

⇔ − ( ) ( ) = [ ( ) − 2 ( )] ( )

⇔ ( ) ( ) = (−1) [− ( ) + 2 ( )] ( ) Vậy tồn tại ′′ sao cho = − + 2

Do đó sử dụng bài toán ban đầu, lấy ∈ ta có

− (1) (1) + [ ( ) ′( ) + 2 ( ) ( )] = ( ) ( )

Từ (*) ta suy ra

− (1) (1) = 3 (1) (1) ⇔ (1) + 3 (1) = 0

Bài 4.5: Xét hệ

− + = ; < < ,

′( ) = ( ), ( ) = − ( )

Áp dụng định lý Lax-Milgram để chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất

√ ‖ ‖ (0) = [( − 1) ( )] = (( − 1) ( ))′ = ( ( ) + ( − 1) ′( ))

√3‖ ‖ Tương tự ta có (0) ≤

√ ‖ ‖

≤ 2 ( ) + ( ) ( ) + ( )

= 2‖ ‖ ‖ ‖ Suy ra

Theo định lý Lax-Milgram thì bài toán nghiệm yếu có nghiệm duy nhất

Chúng ta sẽ xét ếp các dạng bài toán cho hàm chứa nhiều ẩn (cụ thể là 2 ẩn), xác định trên tập

Bài 4.6: Xét hệ

− ( , ) = ( , ); = {( , )| < , < },

| =

a Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m , ,

b Áp dụng định lý Lax-Milgram để chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất,

c Chứng minh bài toán nghiệm yếu suy bài toán ban đầu

( + , ) = ∇( + )∇ Ω = ∇ ∇ Ω + ∇ ∇ Ω = ( , ) + ( , ) Tương tự ta cũng có ( , + ) = ( , ) + ( , )

c Giả sử có ∈ ∩ (Ω) thỏa (*), lấy hàm ∈ (Ω), áp dụng định lý Green 1 ta có

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG PHÁP CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM

I Cực ểu hóa phiếm hàm

Cho ⊂ , là không gian con của và + ⊂

Vì ∈ là điểm cực ểu nên [ , ] = 0, suy ra ( , ) = ( ), ∀ ∈

II Phương pháp xấp xỉ Rayleigh-Ritz

Tìm dạng

= Φ + Φ sao cho ( , , … , ) = Φ + Φ cực tiểu

Giải hệ = 0, = 1,

Bài 5.1: Sử dụng hàm thử = , = , = m công thức nghiệm xấp xỉ Rayleigh-Ritz của hệ

− ′′ + = − , ; < < ,( ) = ( ) =

2

43

541

3

54

2315⎠

Vậy công thức nghiệm xấp xỉ là: ( ) = 0,5384 − 0,0769