Giải SBT Toán 12 bài 2 Tích phân VnDoc com VnDoc Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải SBT Toán 12 bài 2 Tích phân Bài 3 10 trang 177 sách bài tập (SBT) Giải tích 12 Tính các tích ph[.]
Trang 1Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a)1∫0(y3+3y2−2)dy
b)4∫1(t+1/√t−1/t2)dt
c)π/2∫0(2cosx−sin2x)dx
d)1∫0(3s−2s)2ds
e)π/3∫0cos3xdx+3π/2∫π/3cos3xdx+5π/2∫3π/2cos3xdx
g)3∫0|x2−x−2|dx
h)5π/4∫πsinx−cosx/√1+sin2xdx
i)4∫04x−1√2x+1+2dx
Hướng dẫn làm bài
a) −3/4
b) 35/4
c) 1
d) 4/ln3−10/ln6+3/2ln2
e) −1/3
g) 31/6
=2∫0−(x2−x−2)dx+3∫2(x2−x−2)dx
h) 1/2ln2
HD:5π/4∫πsinx−cosx/√1+sin2xdx
=5π/4∫πsinx−cosx/|sinx+cosx|dx=5π/4∫πd(sinx+cosx)/sinx+cosx
i) 34/3+10ln3/5
HD: Đặt t=√2x+1
Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) -Giải tích 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a)2∫1x(1−x)5dx (đặt t = 1 – x)
b)ln2∫0√ex−1dx (đặt t=√ex−1t=ex−1)
Trang 2c)9∫1x dx (đặt )
d)1∫−12x+1/√x2+x+1dx (đặt u=√x2+x+1)
e)2∫1√1+x2/x4dx (đặt t=1x)
g)π∫0xsinx/1+cos2xdx (đặt x=π−t)
h)1∫−1x2(1−x3)4dx
i)1∫0dx/1+x2(đặt x=tanu)
Hướng dẫn làm bài
a) −13/42
b) 2−π/2
c) −468/7
d) 2(√3−1)
e) −1/3(5√5/8−2√2)
g) π2/4
HD: Đặt x=π−t, ta suy ra:
π∫0xsinx/1+cos2xdx=π/2π∫0sinx/1+cos2xdx=π/2π∫0−d(cosx)/1+cos2x
Vậyπ∫0xsinx/1+cos2xdx=π/21∫−1dt/1+t2
Đặt tiếp t = tan u
h) 25/15
HD: Đặt t = 1 – x3
i) π/4
Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
a)π/2∫0xcos2xdx
b)ln2∫0xe−2xdx
c)1∫0ln(2x+1)dx
d)3∫2[ln(x−1)−ln(x+1)]dx
e)2∫12(1+x−1/x)ex+1/xdx
g)π/2∫0xcosxsin2xdx
h)1∫0xex/(1+x)2dx
Trang 3Hướng dẫn làm bài
a) −1/2
b) 1/4(3/4−ln2/2)
c) 3/2ln3−1
d) 3ln3−6ln2
e) 3/2e5/2
HD:2∫1/2(1+x−1/x)ex+1/xdx=2∫1/2ex+1/xdx+2∫1/2(x−1/x)ex+1/xdx
Tính tích phân từng phần:2∫1/2ex+1/xdx=xex+1/x∣21/2−2∫1/2(x−1/x)ex+1/xdx
g) π/6−2/9
HD: Đặt u=x,dv=cosxsin2xdx
h) e/2−1 HD:1∫0xex/(1+x)2dx=1∫0ex/1+x.dx−1∫0ex/(1+x)2dx và tính tích phân từng phần:
1∫0xex/(1+x)2dx=−ex/1+x∣10+1∫0ex/1+xdx
i) ee HD: Tương tự câu g)
Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau đây:
a)π/2∫0(x+1)cos(x+π/2)dx
b)1∫0x2+x+1/x+1log2(x+1)dx
c)1∫1/2x2−1/x4+1dx (đặt t=x+1/x)
d)π/2∫0sin2xdx/3+4sinx−cos2x
Hướng dẫn làm bài
a) – 2
b) 1/2ln2(1/2+ln22) HD:x2+x+1/x+1.log2(x+1)=1/ln2[xln(x+1)+ln(x+1)/x+1]
c)1/2√2.ln.6−√2/6+√2 HD: Đặt t=x+1/xnta nhận được:
2∫5/2dt/t2−2=1/2√2.ln.|t−√2/t+√2∣ |25/2=1/2√2.ln.6−√2/6+√2
d) ln2−1/2 HD:π/2∫0sin2xdx/3+4sinx−cos2x=π/2∫0sinx.d(sinx+1)/(sinx+1)2=ln2−1/2
Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh rằng: limx→+∞1∫0xnsinπxdx=0
Trang 4Hướng dẫn làm bài
Với x∈[0;1], ta có 0≤xnsinπx≤xn Do đó:
0≤1∫0xnsinπxdx≤1∫0xndx=1/n+1
Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh
Bài 3.15 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi f(x)=x∫0t/√1+t4dt,x∈R là hàm số chẵn
Hướng dẫn làm bài
Đặt t = - s trong tích phân: f(−x)=−x∫0t/√1+t4dt, ta được:f(−x)=−x∫0t/√1+t4dt=x∫0s/√1+s4ds=f(x)
Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] Chứng minh rằng:
a∫−af(x)dx= 2a∫0f(x)dx,(1);0,(2)
(1): nếu f là hàm số chẵn
(2): nếu f là hàm số lẻ
Áp dụng để tính:2∫−2ln(x+√1+x2)dx
Hướng dẫn làm bài
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
a∫−af(x)dx=0∫−af(x)dx+a∫0f(x)dx
Đổi biến x = - t đối với tích phân0∫−af(x)dx, ta được:
0∫−af(x)dx=−0∫af(−t)dt=a∫0f(t)dt=a∫0f(x)dx
Vậya∫−af(x)dx=2a∫0f(x)dx
Trường hợp sau chứng minh tương tự Áp dụng:
Vì g(x)=ln(x+√1+x2) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên2∫−2g(x)dx=0
Bài 3.17 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Chứng minh rằng:π/2∫0f(sinx)dx=π/2∫0f(cosx)dx
Hướng dẫn làm bài
Đổi biến số: x=π/2−t, ta được:
π/2∫0f(sinx)dx=−0∫π/2f(sin(π/2−t))dt=π/2∫0f(cost)dt
Hayπ/2∫0f(sinx)dx=π/2∫0f(cosx)dx
Trang 5Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Đặt In=π/2∫0sinnxdx,n∈N∗
a) Chứng minh rằng In=n−1/n.In−2,n>2
b) Tính I3và I5
Hướng dẫn làm bài
a) Xét với n > 2, ta có: In=π/2∫0sinn−1x.sinxdx
Dùng tích phân từng phần ta có:
In=π/2∫0sinn−1xsinxdx
=−cosxsinn−1x∣π/20+(n−1)π/2∫0sinn−2xcos2xdx
=(n−1)π/2∫0(sinn−2x−sinnx)dx
=(n−1)In−2−(n−1)In
Vậy In=n−1/nIn−2
b) I3=2/3,I5=8/15
Bài 3.19 trang 179 sách bài tập(SBT) - Giải tích 12
Đặt Im,n=1∫0xm(1−x)ndx,m,n∈N∗ Im Chứng minh rằng:Im,n=n/m+1Im+1,n−1,m>0,n>1
Từ đó tính I1,2và I1,3
Hướng dẫn làm bài
Dùng tích phân từng phần với u=(1−x)n,dv=xmdx, ta được:
Im,n=xm+1/m+1(1−x)n∣10+n/m+11∫0xm+1(1−x)n−1dx
Vậy Im,n=n/m+11∫0xm+1(1−x)n−1dx
=n/m+1.Im+1,n−1,n>1,m>0
I1,2=1/12 và I1,3=1/20
Xem thêm các bài tiếp theo tại:https://vndoc.com/giai-bai-tap-lop-12