Tải Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân - Giải SBT Toán lớp 12

Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.[r]

Trang 1

Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) 1∫0(y3+3y2−2)dy

b)4∫1(t+1/√t−1/t2)dt

c) π/2∫0(2cosx−sin2x)dx

d) 1∫0(3s−2s)2ds

e) π/3∫0cos3xdx+3π/2∫π/3cos3xdx+5π/2π/2∫3π/2cos3xdx

g)3∫0|x2−x−2|dx

h) 5π/2π/4∫πsinx−cosx/√1+sin2xdx

i) 4∫04x−1√2x+1+2dx

Hướng dẫn làm bài

a) −3/4

b) 35π/2/4

c) 1

d) 4/ln3−10/ln6+3/2ln2

e) −1/3

g) 31/6

=2∫0−(x2−x−2)dx+3∫2(x2−x−2)dx

h) 1/2ln2

HD: 5π/2π/4∫πsinx−cosx/√1+sin2xdx

=5π/2π/4∫πsinx−cosx/|sinx+cosx|dx=5π/2π/4∫πd(sinx+cosx)/sinx+cosx

i) 34/3+10ln3/5π/2

HD: Đặt t=√2x+1

Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) 2∫1x(1−x)5π/2dx (đặt t = 1 – x)

b) ln2∫0√ex−1dx (đặt t=√ex−1t=ex−1)

Trang 2

d) 1∫−12x+1/√x2+x+1dx (đặt u=√x2+x+1)

e) 2∫1√1+x2/x4dx (đặt t=1x)

g) π∫0xsinx/1+cos2xdx (đặt x=π−t)

h) 1∫−1x2(1−x3)4dx

i) 1∫0dx/1+x2 (đặt x=tanu)

a) −13/42

b) 2−π/2

c) −468/7

d) 2(√3−1)

e) −1/3(5π/2√5π/2/8−2√2)

g) π2/4

HD: Đặt x=π−t, ta suy ra:

π∫0xsinx/1+cos2xdx=π/2π∫0sinx/1+cos2xdx=π/2π∫0−d(cosx)/1+cos2x Vậy π∫0xsinx/1+cos2xdx=π/21∫−1dt/1+t2

Đặt tiếp t = tan u

h) 25π/2/15π/2

HD: Đặt t = 1 – x3

i) π/4

a) π/2∫0xcos2xdx

b) ln2∫0xe−2xdx

c) 1∫0ln(2x+1)dx

d) 3∫2[ln(x−1)−ln(x+1)]dx

e) 2∫12(1+x−1/x)ex+1/xdx

g) π/2∫0xcosxsin2xdx

h) 1∫0xex/(1+x)2dx

i) e∫11+xlnx/x.exdx

Trang 3

a) −1/2

b) 1/4(3/4−ln2/2)

c) 3/2ln3−1

d) 3ln3−6ln2

e) 3/2e5π/2/2

HD: 2∫1/2(1+x−1/x)ex+1/xdx=2∫1/2ex+1/xdx+2∫1/2(x−1/x)ex+1/xdx

Tính tích phân từng phần: 2∫1/2ex+1/xdx=xex+1/x∣2

1/2−2∫1/2(x−1/x)ex+1/xdx g) π/6−2/9

h) e/2−1 HD: 1∫0xex/(1+x)2dx=1∫0ex/1+x.dx−1∫0ex/(1+x)2dx và tính tích phân từng phần:

1∫0xex/(1+x)2dx=−ex/1+x∣1+1∫0ex/1+xdx

i) ee HD: Tương tự câu g)

Tính các tích phân sau đây:

a) π/2∫0(x+1)cos(x+π/2)dx

b) 1∫0x2+x+1/x+1log2(x+1)dx

c) 1∫1/2x2−1/x4+1dx (đặt t=x+1/x)

d)π/2∫0sin2xdx/3+4sinx−cos2x

a) – 2

b) 1/2ln2(1/2+ln22) HD:x2+x+1/x+1.log2(x+1)=1/ln2[xln(x+1)+ln(x+1)/x+1]

c)1/2√2.ln.6−√2/6+√2 HD: Đặt t=x+1/xnta nhận được:

2∫5π/2/2dt/t2−2=1/2√2.ln.|t−√2/t+√2 |∣ 2

5π/2/2=1/2√2.ln.6−√2/6+√2 d) ln2−1/2 HD: π/2∫0sin2xdx/3+4sinx−cos2x=π/2∫0sinx.d(sinx+1)/(sinx+1)2=ln2−1/2

Chứng minh rằng: limx→+∞1∫0xnsinπxdx=0

Với x [0;1], ta có 0≤x∈[0;1], ta có 0≤x nsinπx≤xn Do đó:

0≤1∫0xnsinπxdx≤1∫

0xndx=1/n+1

Trang 4

Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi f(x)=x∫0t/√1+t4dt,x R là hàm số chẵn.∈[0;1], ta có 0≤x

Đặt t = - s trong tích phân: f(−x)=−x∫0t/√1+t4dt, ta được:f(−x)=−x∫0t/√1+t4dt=x∫0s/√1+s4ds=f(x)

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] Chứng minh rằng:

a∫−af(x)dx= 2a∫0f(x)dx,(1);0,(2)

(1): nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ

Áp dụng để tính: 2∫−2ln(x+√1+x2)dx

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:

a∫−af(x)dx=0∫−af(x)dx+a∫0f(x)dx

Đổi biến x = - t đối với tích phân 0∫−af(x)dx, ta được:

0∫−af(x)dx=−0∫af(−t)dt=a∫0f(t)dt=a∫0f(x)dx

Vậy a∫−af(x)dx=2a∫0f(x)dx

Trường hợp sau chứng minh tương tự Áp dụng:

Vì g(x)=ln(x+√1+x2) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên 2∫−2g(x)dx=0

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Chứng minh rằng: π/2∫0f(sinx)dx=π/2∫0f(cosx)dx Hướng dẫn làm bài

Đổi biến số: x=π/2−t, ta được:

π/2∫0f(sinx)dx=−0∫π/2f(sin(π/2−t))dt=π/2∫0f(cost)dt

Hay π/2∫0f(sinx)dx=π/2∫0f(cosx)dx

Đặt In=π/2∫0sinnxdx,n N∈[0;1], ta có 0≤x ∗

a) Chứng minh rằng In=n−1/n.In−2,n>2

b) Tính I3 và I5π/2

Trang 5

a) Xét với n > 2, ta có: In=π/2∫0sinn−1x.sinxdx

Dùng tích phân từng phần ta có:

In=π/2∫0sinn−1xsinxdx

=−cosxsinn−1x∣π/2

0+(n−1)π/2∫0sinn−2xcos2xdx

=(n−1)π/2∫0(sinn−2x−sinnx)dx

=(n−1)In−2−(n−1)In

Vậy In=n−1/nIn−2

b) I3=2/3,I5π/2=8/15π/2

Đặt Im,n=1∫0xm(1−x)ndx,m,n N Im Chứng minh rằng:I∈[0;1], ta có 0≤x ∗ m,n=n/m+1Im+1,n−1,m>0,n>1

Từ đó tính I1,2 và I1,3

Im,n=xm+1/m+1(1−x)n∣1+n/m+11∫0xm+1(1−x)n−1dx

Vậy Im,n=n/m+11∫0xm+1(1−x)n−1dx

=n/m+1.Im+1,n−1,n>1,m>0

I1,2=1/12 và I1,3=1/20

Xem thêm các bài tiếp theo tại:

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	14,07 KB