Công phá kĩ thuật Casio More than a book

Trang 1

Công phá kĩ thuật Casio More than a book

MỤC LỤC

Phần 1: Tổng quan về các tính năng Casio 13

I Giới thiệu về máy tính cầm tay fx-570VN Plus 13

II Các tính năng Casio 18

Phần 2: Các chủ đề toán sử dụng Casio 48

Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng 48

I Tính đơn điệu của hàm số 48

Bài tập rèn luyện kỹ năng 58

II Cực trị của hàm số 69

III Đạo hàm 88

IV Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 102

V Tiệm cận của đồ thị hàm số 115

VI Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 130

VII Sự tương giao của hai đồ thị hàm số 143

Chủ đề 2: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 154

Đọc thêm: Giải một số phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay 166

Chủ đề 3: Tổ hợp - Xác suất - Nhị thức Newton 185

Chủ đề 4: Giới hạn 226

Chủ đề 5: Hàm số lũy thừa - Hàm số mũ - Hàm số logarit 246

Chủ đề 6: Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng 279

Chủ đề 7: Số phức 338

Chủ đề 8: Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình 368

Chủ đề 9: Phép biến hình trong mặt phẳng 388

Chủ đề 10: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 411

Chủ đề 11: Phương pháp tọa độ trong không gian 434

Phần 3: Các phụ lục 463

Phụ lục 1 Kĩ thuật CALC đơn vị 463

Phụ lục 2 Hình học không gian cổ điển với hệ trục Oxyz 467

Phụ lục 3 Tuyển tập công thức giải nhanh trắc nghiệm toán 475

Trang 2

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A Kiến thức nền tảng

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên K.

a, Nếu f x     0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x   đồng biến trên K.

b, Nếu f x     0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x   nghịch biến trên K.

Cách 2: Sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm (với bài toán không chứa tham số) Hoặc tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình

đạo hàm, cô lập m và đưa về dạng m  f x   hoặc m  f x   Tìm min, max của hàm số f x   rồi kết luận.

Cách 3: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm Sử dụng tính năng giải bất phương tình INEQ của máy tính Casio để giải bất

phương tình từ đó tìm được điều kiện của x

Do ở các phương án có các khoảng ;   ;1 ; 1;     nên ta sẽ sử dụng TABLE trên đoạn từ  2 đến 2 với STEP bằng 0,5

Ta thực hiện nhập w7Q)^3$a3$pQ)d+Q)==z2= 2=0.5=

Ta thấy giá trị của hàm số tăng khi x chạy từ  2 đến 2 Do vậy ta chọn A

Cách 2: Sử dụng đạo hàm tại một điểm

Thực hiện kiểm tra giá trị của đạo hàm tại x  1; x  0; x  2

PHẦN 2

Các chủ đề

toán sử dụng

Casio

Trang 3

Ta nhập qyaQ)^3R3$pQ)d+Q)$1=!! o0=!!o2=

Ta thấy tại cả ba trường hợp thì f x     0 Do vậy ta loại cả B; C; D Từ đây ta chọn A

Cách 3: Giải toán thông thường

Từ các phương án ta sẽ sử dụng TABLE trên đoạn từ  2 đến 2 với STEP bằng 0,5

Ta thực hiện nhập w72Q)^4$+1==p2=2=0.5=

Từ bảng giá trị hiện trên màn hình ta thấy trên   0; 2   hàm số đồng biến Do vậy ta chọn B

Cách 2: Sử dụng đạo hàm tại một điểm

Với A: Kiểm tra trên khoảng ; 1

f       

qy2Q)^4$+1$z1a2$p0.1=

Đạo hàm của hàm số âm, do vậy ta loại A

Với B: Kiểm tra trên khoảng  0;   ta tính f   0 0,1   qy2Q)^4$+1$0+0.1=

Kết quả ra 1 0

125  do vậy ta chọn B mà không cần thử C và D nữa.

Đáp án B

Ví dụ 3: Cho hàm số y    x4 2 x2 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng    ;0 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;  

Lời giải Cách 1: Sử dụng bảng giá trị

STUDY TIPS

Lí do ta thực hiện tính giá

trị đạo hàm tại các điểm đó

bởi vì trong các phương án

chỉ xuất hiện hai khoảng

1;  và ;1 

Trang 4

Từ các phương án ta sẽ sử dụng TABLE trên  2 đến 2 với STEP 0,5

w7zQ)^4$+2Q)d+1==z2=2= 0.5=

Từ bảng giá trị kết quả hiện ra ta thấy trên     2; 1   giá trị của hàm số tăng dần,

do đó hàm số đồng biến trên 2; 1       Do vậy A đúng.

Ta có thể xét thêm các khoảng còn lại

Với B, nhìn vào bảng giá trị ta thấy trên   1;0  giá trị của hàm số giảm dần, do vậy B sai Ta loại B

Với C ta thấy trên   1; 2 thì giá trị của hàm số giảm dần, do vậy ta cũng loại C,

từ đây ta cũng loại được D

Với bài toán này ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay chức năng đạo hàm

Nhập biểu thức mx3 3 x2   m  2  x  3 vào máy tính và thay m Y 

Với A: Ta CALC cho Y   1; X  10

Với B: Ta không cần thử do nếu m  thì hàm số trở thành hàm số bậc hai, 0 không thể nghịch biến trên

Với C: Ta CALC cho Y  100; X  10

Với D: Ta CALC Y   100; X  100

Ta có qyQnQ)^3$p3Q)d+(Qnp2)Q )+3$10rz1=10=r100==rz10 0==

Từ đây ta thấy C không thỏa mãn do C ra đạo hàm dương, còn A và D thỏa mãn, ta chọn D

Do đề bài cho nghịch biến

trên nên ta sẽ tìm đạo

giá trị rất xa so với biên xem

có thỏa mãn hay không

Trang 5

max f x



Ta nhập w7a2Q)p3R3Q)d==z3=0=0 2=

Ta thấy hàm số f x   nghịch biến trên 3; 0  max3;0     3 1

Do ở bài toán này, đề bài yêu cầu xét trên 1; 0      là một đoạn ngắn nên ta sử dụng TABLE để giải quyết

Ta thay m bằng các giá trị thử và nhập vào TABLE

Với B: Ta thay m  5

Ta nhập w7Q)^4$+(2p5)Q)d+4p2O5=

Với C: Ta thay m  2

Ta nhập w7Q)^4$+(2p2)Q)d+4p2O2=

=z1=0=0.1=

Ta thấy với m  thỏa mãn hàm số đã cho nghịch biến trên 2    1; 0   Ta chọn C.

2 Giải toán thông thường.

Cách 1: Ta đặt t  x2, do x     1; 0   nên t    0;1 

Với B

Với C

STUDY TIPS

Với những bài toán cho

khoảng rộng thì ta ưu tiên

sử dụng chức năng tính đạo

hàm, còn những bài toán

cho khoảng hẹp thì ta sử

dụng TABLE

Trang 6

Khi đó để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì y  f t     t2  2  m t    4 2 m phải đồng biến trên   0;1  

Để hàm số đã cho nghịch biến trên    1; 0   thì y      0, x   1; 0  

Ta có 2 x     0, x   1; 0   , nên để thỏa mãn điều kiện thì

 2 x2  2 m      0, x   1; 0        2 m 0 m 2

Đáp án C Nhận xét:

Xét hàm số f x g u x    trên I (với I là khoảng (đoạn), nửa khoảng) Đặt

  ; 

u x t t K (với K là một khoảng (đoạn), nửa khoảng được tính chặt chẽ theo

điều kiện của x)

1 Nếu u x  là hàm số đồng biến trên I thì hàm số thu được sau khi đặt ẩn phụhay chính là hàm g t  cùng tính đơn điệu trên K với hàm số ban đầu

2 Nếu u x  là hàm số nghịch biến trên I thì thường hàm số thu được sau khi đặt

ẩn phụ hay chính là hàm g t  ngược tính đơn điệu trên K với hàm số ban đầu.Thường trong trường hợp này ta không đặt ẩn mà giải quyết bài toán bằng cách đạo hàm trực tiếp

Ví dụ 7: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y  sin x  cos x  2017 2 mx

đồng biến trên

A. m  2017 B. m  0 C 1

2017

Khi giải toán thông

thường, rất nhiều độc giả

gặp vấn đề trong việc sau

khi đặt t, lại giải quyết bài

toán theo hướng sau

“để thỏa mãn yêu cầu đề

bài thì

phải nghịch biến trên ”

Đây là một hướng giải sai

Cũng với bài toán này,

trong sách Công phá Toán

trang 35 tôi đã rút ra nhận

xét Tôi sẽ nhắc lại ở phần

cuối cùng trong ví dụ này

CHÚ Ý

Trang 7

Ta nhập w7azjQ))pkQ))R2017s2== 0=2qK=2qKa19=

Quan sát bảng giá trị của F X   ta thấy max f x     f 3,9683   4,9.10 4Đây là một giá trị 1

2017

m   đáp án C.

Tính đạo hàm y ' cos  x  sin x  2017 2 m

 

sin cos 0

* Lúc này để thử hai phương án A và D ta sẽ thử như sau:

Chọn m  3, thì ta sử dụng TABLE như sau w7a3pjQ))R(kQ)))d==0=q Ka6=qKa19=

Ta thấy giá trị của hàm số lúc tăng lúc giảm, do vậy ta loại A và D

* Với B và C ta sẽ thử một giá trị nằm trong khoảng 5 5 ;

Vì chu kì của hàm số trên là

2 nên ngoài cách thiết lập

Start, End, Step như ở trên

ta có thể thiết lập Start  ;

End 

Trang 8

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m m

Quan sát toàn bảng giá trị ta thấy tại x   1 thì f x     1 là giá trị nhỏ nhất của hàm số nên min 22 1.

1

x

 Vậy m   1.

Cách 2: Để ý 4 phương án thì nếu ta thử m là một số nhỏ hơn  1 hoặc lớn hơn

1 ta sẽ biết được loại C; D hay loại A; B, sau đó chỉ cần thử thêm 1 giá trị m nữa

để chọn đáp án chính xác

Ta thử với m   2 lúc này hàm số trở thành y  ln  x2   1  2 x  1 Sử dụng TABLE để kiểm tra ta có

w7hQ)d+1)+2Q)+1==z10=9= 1=

Trang 9

Quan sát bảng giá trị ta thấy m   2 thỏa mãn hàm số đồng biến trên , do vậy ta loại C; D

Để phân biệt A; B ta chỉ cần thử thêm trường hợp m   1

Với m   1, sử dụng TABLE ta có w7hQ)d+1)+Q)+1=z10=9=1=

Quan sát bảng giá trị ta thấy m   1 thỏa mãn, ta chọn A



Để hàm số y x  3   2  m x  2   2 m  3  x  1 đồng biến trên thì 0,

y     và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm x

2 Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay.

Phân tích suy luận: Với bài này ta sẽ gán m  100 và giải phương trình y  0 bằng máy tính.

Trong máy tính cầm tay Fx-570 VN plus khi giải phương trình bậc hai với chức năng w53 thì máy tính sẽ hiện giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của tam thức bậc hai trên toàn trục số Mà ta có kết luận sau:

Xét tam thức bậc hai f x    ax2  bx c a  ,   0 

- Nếu a  0 thì giá trị nhỏ nhất của tam thức trên là

b f

Phân tích:Trong bài toán

này ta sẽ giải toán theo

cách suy luận thông

thường trước, từ đó đưa

ra cách làm bằng máy

tính, do cách sử dụng

máy tính dựa trên cơ sở là

suy luận tự luận

Trang 10

Ta thấy nếu sử dụng máy tính cầm tay ta sẽ tìm được giá trị của

4a



 Từ đó tìm được  tính theo m  100 Từ giá trị đó ta phân tích theo phương pháp phân tích đa thức bằng cách gán 100 (phụ lục 1), từ đó tìm được  theo m, và

giải tìm điều kiện m

Lời giải theo hướng sử dụng máy tính:

Thay 100 cho m thì y   3 x2  2 2 100     x  2.100 3  

Sử dụng w53 để giải phương trình y  0 ta được w533=2O(2p100)=z(2O100p 3)====R

Máy hiện Y-Value minimum 10195

Do 1 0   nên để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên thì   (dấu bằng 0 xảy ra tại hữu hạn điểm)  m2       9 0 3 m 3.

Vì hệ số của y có a   nên đồ thị y là parabol quay bề lõm lên trên (hình 6 0

ở trang trước) Kết hợp hình dạng này với yêu cầu y  0 trên   0;1   (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) thì ta cần tìm m sao cho y   0  và 0 y   1  0.

1 Gán m  100 sau đó sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm để tìm

Trang 11

2 Nhập vào màn hình

100qJnqy2Q)^3$p3Q)dpQn Q)+5$0=

!!o1=

Cả hai trường hợp đều cho kết quả 100         m m 0 m 0.

Đáp án B Kết luận và chú ý: Từ các ví dụ từ ví dụ 11 đến ví dụ 13 ta thấy phương pháp

gán m này có thể giải quyết nhanh bài toán, tuy nhiên chú ý ta chỉ nên áp dụng

khi bài toán là hàm số bậc ba có các hệ số chứa tham số m có bậc 1 (bởi khi bậc lớn hơn 1 thì m biến thiên sẽ dễ ra kết quả sai)

Trang 12

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 1:Cho hàm số yx32x2 x 1 Mệnh đề nào

C.Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;

D.Hàm số đồng biến trên khoảng 1 ;1

A.Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 

C.Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

D.Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2

Câu 3: Hàm số y2x33x21 nghịch biến trên

khoảng (hoặc các khoảng) nào sau đây?

A. ; 0 và 1; B.1;0 

Câu 4:Hàm số nào trong các hàm số sau có bảng biến

thiên như hình phía dưới

A.Hàm số đồng biến trên khoảng 5; 0 và  0; 5

B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 0 và

1;

C.Hàm số nghịch biến trên khoảng 5;1 

D.Hàm số nghịch biến trên khoảng 6;0 

1

y x

A.Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;

C.Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2

D.Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 

Câu 9:Cho hàm số y 2x21 Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A.Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 

B.Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

C.Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 

D.Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx33m x2 đồng biến trên

 với m là tham số Gọi

S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

Câu 15: Cho hàm số y  x3 3x2mx1 Tất cả cácgiá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên là

Câu 16:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 3

Trang 13

m m

 

 



Câu 21: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để

hàm số y x2 1 mx1 đồng biến trên khoảng

Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

hàm số ysinxcosx mx đồng biến trên

A m  1. B 3

.4

m   C 3

.4

m   B. m  2 3

.2

Trang 14

Câu 34: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị thực của tham

số m để hàm số 1 3   2  2 

3

y x  m x  m  m xnghịch biến trên khoảng 1;1 

biến trên khoảng 17; 37 

.4

m  

Trang 15

Đáp án bài tập rèn luyện kỹ năng

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy khi x chạy từ 0 đến 2 thì

giá trị của hàm số tăng dần, do vậy hàm số đồng biến

Ta thấy khi cho x chạy từ 1 đến 0 thì giá trị của hàm

số giảm dần, do vậy hàm số đã cho nghịch biến trên

Ta thấy với hàm số f x (tức phương án A) thì

 0 1

f  không thỏa mãn, ta loại A

Với hàm số g x ( tức phương án B) thì g  2  7 3không thỏa mãn, do đó ta loại B

Với C và D ta cũng thiết lập tương tự như với A và B

CQ)^3$+3Q)dp1=3Q)^3$+9Q)dp1===

=

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy f x (tức phương án C) thỏa mãn (có sự biến thiên như bảng biến thiên đề bài cho), do vậy ta chọn C

Trang 16

số giảm, do vậy ta loại A

số giảm, do vậy hàm số không đồng biến trên 1;0 ,

ta loại B

số giảm dần, do vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

Ta thấy khi x chạy từ 0 đến  giá trị của hàm số giảm,

do vậy hàm số nghịch biến trên 0;,ta chọn A

Cách 2: Giải toán thông thường

hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  và đồng

biến trên khoảng ; 0  Ta chọn A

Trang 17

Do m nên m1; 2; 3 Vậy có 3 giá trị m

nguyên thỏa mãn bài toán

974

Trang 18

Vậy giá trị nhỏ nhất của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Nhìn vào bảng giá trị kết hợp với các phương án A; B; C; D ta thấy

w7a2Q)p1R2sQ)dpQ)+1==p10=9=1=

Từ bảng giá trị và kết hợp với các phương án ta đưa

Hàm số đã cho đồng biến trên y  0, x ,

dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm

chu kì 2 nên ta xét trên 0; 2 

Trang 19

Sử dụng TABLE với thiết lập Start 0; End 2 ; Step

Ta thấy ba phương án B; C; D đều xuất hiện 1, nên ta

sẽ thử m 1.Do lệnh TABLE có thể hiển thị bảng giá trị của hai hàm số cùng một lúc nên ta sẽ thử cùng với 1 phương án khác luôn, ta chọn m 2(vì có thể xét được cả A và D)

Sử dụng lệnh TABLE với thiết lập Start 1; End 3; Step 0,2

w7Q)^4$p2Q)^3$p3+1=Q)^4$p4Q)dp3O2+1=1=3=0.2=

Ta thấy với m  1 thì hàm số đồng biến trên

y    x  thì ta cần tìm m sao cho y 1 0

1 Gán m 100sau đó sử dụng chức năng tính đạohàm tại một điểm để tìm y 1

100qJn

2 Nhập vào màn hình

qya1R3$Q)^3$+(Qnp1)Q)d+(2Qnp3)Q)p2a3$$1=

Trang 20

Gán 100 cho Y sao đó dùng chức năng tính đạo hàm

tại một điểm để tìm y 0 và y 3

thị y  là parabol quay bề lõm lên trên (dạng chữ U)

Kết hợp hình dạng này với yêu cầu y 0 trên

Ta thấy m 4 thỏa mãn, do vậy ta loại C, chọn A

Câu 32: Đáp án A

Gán 100 Y

Tìm y   1 ;y 3

qya1R3$Q)^3$pQnQ)d+Q)+Qndp4Qn+1$1=

!!o3=

m m

Trang 21

2

m m y

m m m

Ta thấy với 1

4

m  khi cho x chạy như thiết lập thì

giá trị của hàm số lúc tăng lúc giảm, do vậy 1

Trang 22

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy m 3 thì khi x chạy từ

6

 đến 2, giá trị của hàm số lúc tăng lúc giảm, do

vậy không thỏa mãn yêu cầu, loại C, chọn D

Với m 0 thì không thỏa mãn, do vậy ta xét m 0

Từ đây ta cũng có thể loại được A

Nhìn vào các phương án còn lại ta thấy đều là số âm,

qyQ)^3$+(Qnp1)Q)$0=

!!o1=

m m

=2qK=2qKP19=

Ta thấy m  3 thỏa mãn, do vậy ta loại B và C; D Vậy ta chọn A

Trang 23

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A Kiến thức nền tảng Định lý

Định lý 1

Giả sử hàm số y  f x   liên tục trên khoảng K   x0  h x ; 0  h  và có đạo hàm

trên K hoặc trên K \   x0 , với h  0.

a Nếu f x     0 trên khoảng  x0  h x ; 0 và f x     0 trên khoảng

 x x0; 0  h  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x  

b Nếu f x     0 trên khoảng  x0  h x ; 0 và f x     0 trên khoảng

 x x0; 0  h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x  

Định lý 2

Giả sử hàm số y  f x   có đạo hàm cấp 2 trong khoảng  x0  h x ; 0  h  , với 0.

h  Khi đó

a Nếu f x   0  0, f    x0  0 thì x0 là điểm cực tiểu;

b Nếu f x   0  0, f    x0  0 thì x0 là điểm cực đại

4 Dựa vào dấu của f    xi ta suy ra tính chất cực trị của điểm xi

B Các phương pháp cơ bản sử dụng máy tính giải bài toán liên quan đến cực trị của hàm số

Có hai cách cơ bản để tìm cực trị của hàm số

Cách 1: Sử dụng lệnh tính đạo hàm tại một điểm của hàm số

Cách 2: Sử dụng TABLE

C Các ví dụ minh họa Dạng 1: Các bài toán cơ bản về cực trị của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số y   x  5 3x2 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

kết luận “nôm na” về cực trị

của hàm số như sau

Để tìm điểm cực trị của

hàm số bằng máy tính ta có

thể sử dụng chức năng đạo

hàm để xét sự đổi dấu của

đạo hàm qua điểm đó, từ

đó đưa ra kết luận về cực trị

của hàm số

Trang 24

Với B: Ta nhập tiếp tục trên màn hình của phương án A !!o2=

Ta thấy tại đây y   2  0 Ta tiếp tục kiểm tra điều kiện để x  là điểm cực 2 tiểu Để x  là điểm cực tiểu của hàm số 2 y   x  5 3x2 thì đạo hàm của hàm

số đổi dấu từ âm sang dương qua x  2

Kiểm tra y  2 0,1   ta tiếp tục nhập trên màn hình trước đó

y  do vậy x  là điểm cực tiểu của hàm số 2 y   x  5 3x2 Đáp án B

Ta sẽ sử dụng TABLE với một khoảng khá rộng để xét tính đơn điệu của hàm

số y  x3  4 x2  từ đó xét được số điểm cực trị của hàm số 3

Ta sẽ áp dụng Start -10; End 10; Step 1,5

Cách nhập

w7qcQ)$^3$p4Q)d+3==z10

=10=1.5=

Trang 25

Từ kết quả hiện trên màn hình ta phân tích như sau:

- Ta thấy giá trị của hàm số giảm dần khi cho x chạy từ 10  đến  2,5.

Sau đó giá trị hàm số lại tăng khi x chạy từ  1 đến 0,5 Do vậy ở đây ta

có một điểm cực trị x  x0 với x  0  2,5; 1  

- Sau đó khi cho x chạy từ 2 đến 3,5  thì giá trị của hàm số lại giảm Do

đó hàm số lại có một điểm cực trị x  x1 với x 1  0,5; 2 

- Tiếp theo giá trị của hàm số lại tăng khi x chạy từ 5 đến 9,5 thì giá trị của hàm số tăng dần, tức hàm số lại có một điểm cực trị x  x2 với

Do vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Cách 2: Tính đạo hàm sau đó sử dụng máy tính giải phương trình

Số điểm cực trị của hàm số ứng với số nghiệm của phương trình y  0

Ta sử dụng chức năng MODE 7 để dò nghiệm và sự đổi dấu của y qua nghiệm

w73Q)qcQ)$p8Q)==p9=10= 1=

Ta thấy y đổi dấu 3 lần  hàm số đã cho có 3 điểm cực trị, ta chọn C

Ta sẽ sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của máy tính

Ấn qyY thì máy hiện như hình bên.

ta sẽ dễ xét tính đổi dấu qua

các dấu dương âm, còn

cách 1 dễ nhầm lẫn khi xét

tính đơn điệu

Trang 26

\Nhập hàm số 1 3 2 3 5

3 X  X  X  3 tại giá trị X   1 (Ta lần lượt thử các phương án)

Tại x   1 thì y   0 suy ra x   1 là một điểm cực trị của hàm số

Tương tự ta giữ nguyên màn hình và thay x   1 thành x  3 thì được kết quả tương tự Từ đó ta chọn A

Tiếp theo với m  thì 2 y ' 1    2.1 2.2     2 0 thỏa mãn.

Với m  thì 1 y   1  không thỏa mãn Vậy ta chọn C 0

Ta thấy nếu ta thử với m  thì có thể so sánh giữa A và D 0

- Kiểm tra khi m  thì hàm số có đạt cực đại tại 0 x  không. 1

qyQ)^3$p3Q)+5$1=

Tiếp theo ta lần lượt kiểm tra dấu của đạo hàm tại x   1 0,1 và tại x   1 0,1.

!!p0.1=

!!!!!o+=

Trang 27

Ta thấy dấu của y đổi từ âm sang dương khi qua x    không phải là 1 x 1 điểm cực đại của hàm số Do vậy ta loại A và D

- Tương tự ta kiểm tra khi m  2.

m m

Trang 28

- Ta có y   3 x2  2 x m  Để hàm số có đúng hai điểm cực trị thì y  0 có hai

f x f x     m không thỏa mãn, từ đây ta loại được A và C

- Chỉ còn hai phương án B và D, ta thử với m  0.

Lời giải tổng quát

Giả sử hàm bậc ba y  f x    ax3 bx2 cx d a  ,   0  có hai điểm cực trị là

1; 2

x x Khi đó thực hiện phép chia f x   cho f x '   ta được

         

f x Q x f x Ax B Khi đó ta có  

Ta có y 3ax22bx c ; y 6ax2b Xét phép chia y cho y thì ta được:

Trang 29

Một công thức khác về phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

đồ thị hàm bậc ba là:

Cho hàm số y ax  3 bx2  cx d a ,   0  Sau khi thực hiện phép chia tổng quát thì ta rút ra được công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba theo a, b, c, d là        

Tiếp theo ta có một bài tham số:

Ví dụ 2: Cho hàm số y x  3 3 x2 3 1   m x    1 3 m, tìm m sao cho đồ thị hàm

số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho

này, ta lưu ý rằng trước

tiên, ta cần tìm điều kiện

để hàm số có hai cực trị

Trang 30

Máy hiện M? nhập 100 = Khi đó máy hiện kết quả là 202 200i 

Ta thấy 202 200 2.100 2 2.100  i    i   y 2 m   2 2 mx Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có dạng 2 mx   y 2 m   2 0

Ví dụ 3: Cho hàm số y    x3 3 mx2  3 m  1 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm

số đã cho có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

18

y

a ta có w2zQ)^3$+3QnQ)dp3Qnp1p (z3Q)d+6QnQ))Oaz6Q)+6Q nR18Op1

Ấn r Máy hiện X? nhập i = Máy hiện Y? nhập 100 = rb=100=

Ta có  301 20000  i   3.100 1 2.100   2i    y 3 m   1 2 m x2

2: 2 m x y 3 m 1 0

      là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y    x3 3 mx2  3 m  1.

Để đồ thị hàm số y    x3 3 mx2 3 m  1 có hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : d x  8 y  74 0  thì đường thẳng d vuông góc với

đường thẳng  và d đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của

Với bước cuối cùng, ta

cần có kĩ năng khai triển

Hệ phương trình phía dưới

được tạo nên bởi

1 Áp dụng định lí Viet cho

phương trình y 0. 

2 Hai điểm A; B nằm trên

đường thẳng 

Tiêu đề	Công phá kĩ thuật Casio
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	3,08 MB