Bài giảng Toán kinh tế: Chương 1 - Trường ĐH Tôn Đức Thắng

Bài giảng Toán kinh tế: Chương 1 Ma trận và hệ phương trình tuyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận; Hệ phương trình tuyến tính; Áp dụng các mô hình kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!

KHÁI NIỆM MA TRẬN (MATRIX)

ij

mna

MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN

65536 x 256

16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5

MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN

Pixel (picture element)

1.3 Megapixel (Mpx) = 1280 x 1024 pixel 14.1 Mpx = 4320 x 3240 pixel

MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN

16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 7

MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN

CÁC LOẠI MA TRẬN

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

Ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0

MA TRẬN ĐỐI XỨNG

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN PHÉP CHUYỂN VỊ

ij m p ij i

k kj k

PHÉP NHÂN

Cột j của

ma trận

B

1 2

n

j j

j

b b

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN PHÉP NHÂN

16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 23

TÍNH CHẤT

.

g

.

h

.

NHẬN XÉT

16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 25

MA TRẬN BẬC THANG

Là ma trận thỏa hai yêu cầu sau:

 Các phần tử khác 0 đầu tiên ở mỗi dòng (phần tử được đánh dấu) phải nằm thụt dần vào từ trái sang phải theo thứ tự dòng

 Các dòng 0 (nếu có) luôn nằm dưới các dòng ≠ 0

Tương tự, ta cĩ các phép biến đổi sơ cấp trên cột

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DỊNG

Đổi chỗ hai dòng cho nhau:

Nhân một dòng cho một số khác 0:

Cộng vào một dòng bội củ

(i) Nếu A là ma trận cấp mxn thì rank(A) ≤ min{m,n}

(ii) rank(A) = rank(AT)

MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

Cho A là ma trận vuông cấp n Ma trận A được gọi

là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cấp n B sao cho: A.B = B.A = In

Khi này ma trận B gọi là ma trận nghịch đảo của A

Cho A là ma trận vuông cấp n Định thức của A là

số thực đặc trưng của ma trận, kí hiệu det(A) hoặc

det(A n) = a11.a22.a33…ann

1( ) det( )

CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC

CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC

• Định lý Laplace về khai triển định thức

Cho ma trận a ij n) Gọi ( 1)i j det( )

Ma trận cột của hệ số tự do

1 2

1 1

( )i m m ( )

m

b b

•

1 2

Định lý Kronecker - Capelli

(i) Nếu rank(A) < rank(A|B) thì hệ vô nghiệm

(ii) Nếu rank(A) = rank(A|B) = n thì hệ có nghiệm duy nhất

(iii) Nếu rank(A) = rank(A|B) = r < n thì hệ có vô số nghiệm với (n-r) ẩn tự do

 Chú ý

Trong quá trình thực hiện bước 2, nếu:

i) có hai dòng tỉ lệ thì ta xóa đi một dòng;

ii) có dòng nào bằng không thì ta xóa đi dòng đó;

iii) có ít nhất một dòng ở dạng (0 0 | )b (b 0) thì ta kết luận hệ ( )I vô nghiệm

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

 Mô hình Input - Output

 Mô hình cân bằng thị trường

 Mô hình cân bằng giữa thu nhập quốc

dân, tiêu dùng, thuế

ỨNG DỤNG CÁC MÔ HÌNH KINH TẾ

Nền kinh tế có n ngành (mỗi ngành sản xuất một loại hàng hóa) liên quan, một ngành có thể là đầu vào của chính nó và các ngành còn lại Gọi:

 cij là sản lượng ngành i mà ngành j cần để sản xuất

ra 1 đơn vị sản lượng (để dễ dàng cho việc tính toán giữa các đơn vị tính khác nhau giữa các ngành, người

ta thường quy đổi theo đơn vị tiền tệ)

 di là lượng cầu tiêu dùng (cầu cuối cùng) ngành i

 xi là sản lượng ngành i

MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF

16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 53

Theo quy luật tổng cầu, ta có hệ phương trình:

MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF

d d D

x x X

Hệ phương trình (*) dạng ma trận:

X = C.X + D  (I – C).X = D

gọi là hệ phương trình IO

Để tính sản lượng cần xuất (đầu ra), ta tìm ma trận

X  giải hệ phương trình IO

MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF

16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 57

o mô tả số lượng một hàng hoá hay dịch vụ mà người tiêu dùng sẽ mua ở các mức giá khác nhau trong một thời gian cụ thể, trong điều kiện các yếu

tố không đổi Thường được biểu diễn bằng hàm

o Quy luật cầu: Cầu thị trường tỉ lệ nghịch mức giá

MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG

 Cung thị trường:

o mô tả số lượng một hàng hoá hay dịch vụ mà người tiêu dùng sẽ mua ở các mức giá khác nhau trong một thời gian cụ thể, trong điều kiện các yếu

tố không đổi Thường được biểu diễn bằng hàm

o Quy luật cầu: Cung thị trường tỉ lệ thuận mức giá

MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG

16/02/2016 C01120 - MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 59

 Giá cân bằng:

o Kí hiệu P0, là mức giá mà tại đó lượng sản phẩm

của những người muốn mua = lượng sản phẩm những người muốn bán: Qd (P 0 ) = Q s (P 0 )

o Nếu giá thị trường cao hơn giá cân bằng thì thị

thặng dư

MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG

MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG

Xét mô hình với n loại hàng hóa, trong đó hàm cung

và hàm cầu phụ thuộc tuyến tính vào giá Khi đó ta có các phương trình tuyến tính sau đây:

trong đó Q si , Q di , p i lần lượt là lượng cung, lượng cầu

và giá của hàng hóa thứ i

Theo tính chất kinh tế, mô hình cân bằng thị trường

đối với n loại hàng hóa được biểu diễn bởi các đẳng

I o là mức đầu tư cố định theo kế hoạch chính phủ

G o là mức chi tiêu cố định của chính phủ