Skkn toán học thpt (20)

Nếu hệ thống bài tập được khai thác và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới khả năng tìm nhiều lời

1

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Mỗi môn học ở trường phổ thông với đặc trưng của mình đều góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục trong đó có môn Toán Môn Toán ở trường phổ thông không chỉ trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản của bộ môn mà còn bồi dưỡng tư tưởng, tình cảm đúng đắn đồng thời giúp các em phát triển toàn diện Song để thực hiện chức năng đó cần thiết phải đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên

Quán triệt sâu sắc quan điểm chỉ đạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sở Giáo dục – Đào tạo Nam Định về đổi mới phương pháp dạy học, giáo viên trường THPT Giao Thủy đã từng bước tích cực áp dụng các phương pháp, hình thức dạy học theo

hướng phát triển phẩm chất, năng lực của học sinh

Năm học 2021 - 2022 là năm học thứ sáu Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT Quốc Gia môn toán dưới hình thức trắc nghiệm nên một số nội dung giảng dạy theo phương pháp truyền thống không còn phù hợp, cần có hướng khai thác mới phát huy tư duy học sinh để đạt hiệu quả cao nhất

Chuyên đề "Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng" là một nội dung quan trọng của hình học lớp 11 Nếu hệ thống bài tập được khai thác

và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán), khả năng sáng tạo ra

bài toán mới trên cơ sở những bài toán quen thuộc

Xuất phát từ lí do trên, qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và dự giờ học tập đồng nghiệp, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO

CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG;

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong các kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG và học sinh giỏi thì bài toán về Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng làm cho nhiều học sinh lúng túng vì nghĩ rằng nó trừu tượng và thiếu tính thực tế Có thể nói bài toán về Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng có sự phân loại đối

tượng học sinh rất cao

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Trong quá trình học tập, tôi khuyến khích HS sử dụng bất cứ nội lực nào, bất cứ

phương pháp nào, bất cứ kiến thức nào có thể, miễn sao phát hiện và giải quyết được vấn đề SKKN hướng đến việc phát triển phẩm chất, năng lực học sinh, rèn

luyện tính linh hoạt của tư duy, thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư duy Trước hết cần rèn luyện cho HS khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy

đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới Việc chuyển hướng quá trình tư duy không chỉ là đảo ngược quá trình này mà còn có thể là chuyển từ hướng này sang hướng khác không nhất thiết là ngược với hướng ban đầu Rèn luyện cho học sinh tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự xác định phương hướng và tìm ra cách giải quyết, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy nó thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc ý nghĩ và

tư tưởng của người khác và bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?” đúng chỗ, đúng lúc Như vậy qua việc nghiên cứu sâu bài toán có thể giúp HS sáng tạo ra được bài toán mới thể hiện tính sáng tạo của tư duy

Sau đây tôi trình bày những nội dung cụ thể của giải pháp trong sáng kiến

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO

CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG;

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

3

Những điểm mới mà sáng kiến của tôi đề cập đến bao gồm:

- Phần 1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: đưa ra thêm một số phương pháp

để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Trang 4)

Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói trên (Trang 8)

- Phần 2 Góc giữa hai mặt phẳng: đưa ra thêm một số phương pháp để tính góc

giữa hai mặt phẳng (Trang 39)

Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói trên (Trang 43)

- Phần 3 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo:

tìm ra nhiều cách giải khác nhau; đề xuất bài toán mới từ bài toán đã cho; phát hiện những sai lầm trong lời giải, nguyên nhân và cách khắc phục những sai lầm đó (Trang 60)

- Phần 4 Tứ diện vuông: khai thác - ứng dụng các tính chất cơ bản về Góc giữa

đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng để phát triển thêm một số bài toán (Trang 68)

PHẦN 1 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

I Phương pháp

1 Phương pháp 1 Dựng góc

SGK định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau:

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng d và

mặt phẳng bằng

+ Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường

thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng gọi là góc giữa đường thẳng

Lấy một điểm tùy ý trên d khác và

xác định hình chiếu của trên Khi

đó d’ là đường thẳng đi qua hai điểm và

Tuy nhiên việc xác định hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng không phải

lúc nào cũng thuận lợi Chính vì vậy, việc đưa ra thêm một số phương pháp để tính

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó

5

2 Phương pháp 2 Sử dụng quan hệ song song

a Hướng 1: Chọn một đường thẳng  d Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )P bằng góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( )P

b Hướng 2: Chọn một mặt phẳng ( ) ( )Q P Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )P bằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )Q

c Hướng 3: Chọn một đường thẳng  d Chọn một mặt phẳng ( ) ( )Q P Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )P bằng góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( )Q

Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh sẽ thay thế một trong hai đối tượng đường thẳng

và mặt phẳng nhằm mục đích xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng thuận

lợi

3 Phương pháp 3 Sử dụng khoảng cách

Nhận thấy ở Phương pháp 1 việc xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

không phải lúc nào cũng thuận lợi Chính vì vậy, việc sử dụng khoảng cách để tính

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó

Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng ( )P tại M

Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )P

Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh không cần xác định góc mà có thể tính ngay

được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua khoảng cách, và cách tính khoảng cách có thể đơn giản hơn nhiều so với cách xác định góc và tính góc

4 Phương pháp 4 Sử dụng dãy tỉ số bằng nhau của khoảng cách (KHÔNG CẦN TÌM GIAO ĐIỂM của đường thẳng và mặt phẳng)

Nhận thấy ở Phương pháp 3 việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng không phải lúc nào cũng thuận lợi Khắc phục khó khăn đó bằng cách lấy hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng và xem vị trí tương đối của hai điểm đó với mặt phẳng

P

A

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A, M

a Hai điểm A, M nằm về 2 phía của mặt phẳng ( )P

cos = sin = 1 cos − 

Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng thông qua tính góc giữa hai đường thẳng

d P

M

O K

7

6 Phương pháp 6 Sử dụng góc phụ

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

sin = cos , 0    90 

Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng thông qua tính góc giữa hai mặt phẳng

7 Phương pháp 7 Sử dụng phương pháp tọa độ không gian

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u

Sau đây tôi đưa ra một số bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói trên

II Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Tính góc giữa đường thẳng



AD và mặt phẳng (A BD )

Lời giải

Lời giải 1: Phương pháp 1

Tìm hình chiếu của A trên mặt phẳng (A BD )

Tìm giao điểm của AD và mặt phẳng (A BD )

Cụ thể: Ta có AI⊥(A BD ) tại I

Giao điểm của AD và mặt phẳng (A BD ) chính là giao điểm của AD và A D

Lời giải 2: Phương pháp 2

Ta có AD BC nên góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (A BD ) bằng góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (A BD )

Gọi  là góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (A BD )

Hướng 1: Hình chiếu của BC trên mặt phẳng (A BD ) là BI = C BI

Lời giải 3: Phương pháp 3

Tìm giao điểm của AD và mặt phẳng (A BD )

Lời giải 5: Phương pháp 5

Gọi  là góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (A BD )

Ta có AC ⊥(A BD ) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AD và AC

Gọi  là góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (A BD )

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (A BD ) và (A B CD  )

sin cos

Lời giải 7: Phương pháp 7

Chọn hệ trục tọa độ

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SD,  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC) Tính tan

Lời giải Lời giải 1: Phương pháp 2

+) Gọi I là giao điểm của DM và AB Ta có , 1

2 //

bình của tam giác AID nên M là trung điểm của ID Suy ra MN//SI

+) Ta có tứ giác BDCI là hình bình hành nên BD IC// , mà BD⊥(SAC) nên IC⊥(SAC) Suy ra hình chiếu của điểm I lên mặt phẳng (SAC) là điểm C

+) Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa đường thẳng SIvà mặt phẳng (SAC)cũng bằng góc giữa SI và SC hay góc ISC=

+) Ta có SC=a 3,IC =BD=a 2 tan 2 6

33

Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là n=BD= −( 1;1;0)

Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương là 1;0;1

Lời giải Lời giải 1: Phương pháp 1

Gọi H là hình chiếu của A lên SB

Hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) cắt nhau theo giao tuyến CD, AD(ABCD) và

AD⊥CD, SD(SCD) và SD⊥CD nên ( (SCD) (, ABCD) )=SDA= 45 

Tam giác SAD vuông tại A, có AD= 3a nên 3 3 2

cos45cos

13

Tam giác SDE vuông tại E nên

12

2 25

sin

5

3 2

a DE

Lời giải 2: Phương pháp 3

Ta có thể không cần xác định chính xác hình chiếu của D lên mặt phẳng (SBC) mà vẫn tính được góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) như sau:

Tam giác SAD vuông tại A, có AD= 3a nên 3 3 2

cos45cos

Ta có (SD SBC,( ) )=(CP SBC,( ) )=PCH

12

2 25

sin

5

3 2

a PH

B

D

A S

H P

E

Lời giải 1: Phương pháp 3

Lời giải học sinh lớp tôi dạy

Học sinh Mai Thị Ngọc Lan lớp 11A1

17

Học sinh Mai Anh Hoàng lớp 11A1

19

Học sinh Lê Hà Phi lớp 11A1

21

Lời giải 2: Phương pháp 4 (KHÔNG CẦN tìm giao điểm của CP và mặt phẳng

Cách 2 Ta có CO⊥(SBD)CO⊥OP Tính OP dựa vào OPD

Cách 3 Gọi F là hình chiếu của P trên BDCP= CF2+PF 2

Lời giải học sinh lớp tôi dạy

Học sinh Cao Mạnh Tuấn lớp 11A1

23

Học sinh Lại Xuân Diện lớp 11A2

25

Lời giải 3: Phương pháp 2

Lời giải học sinh lớp tôi dạy

Học sinh Doãn Anh Tuấn Sơn lớp 11A2

27

Học sinh Lại Thị Tú Anh lớp 11A1

29

31

Bài 5: Câu 4.c Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2021-2022 của SGD&ĐT Nam Định

Đáp án của sở Câu 4.c làm theo Phương pháp 1

Lời giải 2: Phương pháp 4 (KHÔNG CẦN tìm giao điểm của MN và mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O Gọi M và

N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng Tính cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD)

M

I

B'

B A

35

Lời giải

Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với

MN trong mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẻ tia song song với AC

cắt BD tại S

MP//SO nên MP⊥(ABCD), suy ra MNP=600

Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét 3 3

Dễ thấy Q là trọng tâm tam giác SAC nên 2

3

=

CQ MC

Tam giác SQR vuông tại S có 2: 10 5

Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ¢ ¢ ¢ có tất cả các cạnh bằng a Điểm M và N tương ứng

là trung điểm các đoạn AC, BB¢ Tính côsin góc giữa đường thẳng MN và (BA C¢ ¢)

C

A B

H

B'

D'

C' A

 1 2 2 2

góc giữa hai đường thẳng a và b

Chú ý: Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

Ta có 0     90

2 Phương pháp 2 Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Khi xác định được thì ta làm như sau:

+ Bước 1: Tìm mặt phẳng

+ Bước 2: Tìm

Khi đó:

Đặc biệt: Nếu xác định được hai đường thẳng sao cho

3 Phương pháp 3 Sử dụng công thức hình chiếu

Gọi S là diện tích hình H trên mặt phẳng ( )Q

Gọi S’ là diện tích hình chiếu H’ của hình H trên mặt phẳng ( )P

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

q p

b a

Q P

4 Phương pháp 4 Sử dụng quan hệ song song

a Hướng 1: Ta có ( ) ( )P R Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q bằng góc giữa hai mặt phẳng ( )R và ( )Q

b Hướng 2: Ta có ( ) ( ) ( ) ( )P R1 , Q R2 Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

bằng góc giữa hai mặt phẳng ( )R1 và ( )R2

5 Phương pháp 5 Sử dụng khoảng cách

+ ( )P cắt ( )Q theo giao tuyến m

+ M là một điểm thuộc ( )Q , M không thuộc m

+ Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q Khi đó ( ( ) )

, sin

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa hai mặt phẳng

thông qua tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a

41

7 Phương pháp 7 Sử dụng thể tích tứ diện

Cho tứ diện ABCD, khi đó 2 sin

Ta có AD=a DE, =a 2,EA=a 3  ADE vuông tại D

Gọi H là hình chiếu của S trên (ADE) suy ra H là trung điểm AE

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) suy ra ( ( ) )

, sin

8 Phương pháp 8 Sử dụng phương pháp tọa độ không gian

43

Sau đây tôi đưa ra một số bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói trên

II Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi H là trung điểm AB, SH=a và SH⊥(ABCD) Tính  là góc giữa (SAC) và (SBC)

Suy ra theo công thức Hê-rông: ( )( )( ) 3 2

S S

Lời giải 2: Phương pháp 5

Ở đây sử dụng lại các độ dài đoạn thẳng đã tính ở Lời giải 1

Dựng HE⊥AC E( AC)

Dựng HF⊥SE F( SE)

Gọi I J, lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên (SAC), SC

Suy ra ( (SAC) (, SBC) )=(IJ BJ, )=BJI

Lời giải 4: Phương pháp 8

Phương pháp tọa độ hóa

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a Cạnh bên

SAvuông góc với đáy ABCD, SA=2a Tính tang góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD)

Lời giải Lời giải 1: Phương pháp 5

Lời giải 2: Phương pháp 8

Phương pháp tọa độ hóa

Đặt hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ