Tổng hợp lý thuyết

 Số cạnh thuộc đỉnh x của đồ thị vô hướng là bậc của đỉnh x, ký hiệu là degx..  Các tính chất quan trọng khi tiếp cận bài toán Đồ thị Vô hướng: + Với mọi đồ thị vô hướng, G=V,E ta có

BHT CNTT 1

Tổng hợp Lý thuyết cơ bản

Cấu trúc Rời rạc

1 Chương I: Cơ sở Logic

a) Dùng quy luật logic để chứng tỏ hằng đúng

b) Mô hình suy diễn

BHT CNTT 2

Link tham khảo: https://www.slideshare.net/kikihoho/chuong-1-co-so-logic

2 Chương II: Phương pháp đếm

BHT CNTT 3

 Chỉnh hợp: một chỉnh hợp chập k từ n phần tử (k<=n), là mẫu:

+ Có thứ tự

+ Không lặp

 Chỉnh hợp lặp: một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử(k<=n || k >n),

là mẫu:

+ Có thứ tự

+ Có lặp

 Hoán vị: một hoán vị cỡ mẫu n là:

+ Có thứ tự

+ Không lặp

+ Gồm đủ mặt n phần tử ban đầu

 Tổ hợp: một tổ hợp chập k từ n phần từ (k<=n), là mẫu:

+ Không thứ tự

+ Không lặp

 Tổ hợp lặp: một tổ hợp lặp chập k từ n phần tử (k<=n || k>n tùy ý), là

mẫu:

+ Không thứ tự

+ Có lặp

 Nguyên lý Bù trừ:

Kết Quả = Số cách của trường hợp tổng quát – (số cách lập mẫu cỡ k

có điều kiện trái ngược với yêu cầu của đề bài)

b) Nguyên lý Chuồng Bồ câu

BHT CNTT 4

Ta cần phân bố n phần tử vào k hộp (với n>k) thì có một hộp nào đó phải chứa ít nhất [n/k] phần tử, trong đó:

[n/k] = phép toán lấy phần nguyễn của số thực (n/k), là số nguyên nhỏ nhất >= (n/k)

3 Chương III: Quan hệ

a) Kiểm tra các tính chất của quan hệ:

 Tính phản xạ - Reflexive

Ta gọi quan hệ R có tính phản xạ khi và chỉ khi xRx, với mọi x Є X

 Tính đối xứng - Symmetrick

Ta gọi quan hệ R có tình đối xứng:

Giả sử xRy => yRx với x,y Є X

 Tính phản đối xứng – Anti Symmetrick

Ta gọi quan hệ R có tính phản đối xứng:

Giả sử: + xRy + yRx

 x = y

 Tính truyền (tính bắc cầu) – Transitive

Ta gọi R là quan hệ có tính truyền:

Giả sử: + xRy

+ yRz

 xRz ( với x, y, z Є X)

+ Tính phản xạ

+ Tính đối xứng

+ Tính truyền

+ Tính phản xạ

+Tính phản đối xứng

+ Tính truyền

b) Vẽ biểu đồ HASSE

 Biểu đồ HASSE:

BHT CNTT 5

tắc:

+ Mỗi điểm minh họa cho 1 phần tử x Є X trên mặt phẳng Oxy hoặc Oxyz

+ Mỗi cạnh minh họa cho mối quan hệ aRb (a có quan hệ R với b)

(có hướng)

4 Chương V: Lý thuyết đồ thị

a) Một số câu hỏi áp dụng dựa trên khái niệm, lưu ý, định nghĩa…

 Đồ thị không có lặp (loop) và không có cạnh song song (parallel) thì

ta gọi là đơn đồ thị (simple graph) Ngược lại, ta gọi là đa đồ thị

(multi graph)

 Số cạnh thuộc đỉnh x của đồ thị vô hướng là bậc của đỉnh x, ký hiệu

là deg(x)

 Các đỉnh có bậc 0 thì ta gọi là đỉnh cô lập (isolated vertex)

 Đỉnh có bậc 1 thì ta gọi là đỉnh treo (pendant vertex)

 G là đơn đồ thị, vô hướng, có n cạnh (n>1) thì trong G luôn có ít nhất

2 đỉnh cùng bậc

 Các tính chất quan trọng khi tiếp cận bài toán Đồ thị Vô hướng:

+ Với mọi đồ thị vô hướng, G=(V,E) ta có tổng số bậc (của mọi đỉnh) trong G luôn bằng 2 lần số cạnh (của G)

+ Tổng số bậc của các đỉnh bậc lẻ trong đồ thị G luôn là số chẵn

+ Với mọi đồ thị G vô hướng, ta luôn có một số chẵn các đỉnh bậc lẻ

+ Với đồ thị Kn, ta luôn có n(n-1)/2 cạnh

+ Đồ thị liên thông (connected) nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh

phân biệt của đồ thị Ngược lại thì đồ thị này gọi là không liên thông

(disconnected)

 Đồ thị đầy đủ: Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn là đồ thị mà mọi cặp

đỉnh bất kỳ luôn luôn kề nhau

 Ma trận liên kết của đồ thị G vô hướng là ma trận đối xứng, còn G có

hướng thì không

 Các tính chất quan trọng khi tiếp cận bài toán Đồ thị có hướng:

+ Mỗi cạnh e Є E có cặp đỉnh nối tương ứng từ u đến v theo thứ tự thì

ta gọi e là một cạnh có hướng

BHT CNTT 6

+ Số cạnh tới ngoài của đỉnh u trong G ta gọi là bậc ngoài

(degree-out) của u, ký hiệu là: degout(u) hay dout(u)

+ Số cạnh tới trong của v trong G ta gọi là bậc trong (degree-in) của v,

ký hiệu là: degin(v) hay din(v)

+ Một đồ thị có hướng được gọi là liên thông mạnh (strongly

connected) nếu mọi cặp đỉnh u, v trong G ta luôn tìm được (ít nhất)

một đường nối từ u đến v

+ Một đồ thị G có hướng được gọi là liên thông nếu đồ thị vô hướng

tương ứng của nó có liên thông

b) Đường đi, chu trình Euler, Hamilton Tìm đường đi ngắn nhất Tìm cây bao trùm, tính trọng số

 Đường đi Một đường đi trong G là một dãy luân phiên các đỉnh và

cạnh:

x1 u1 x2 u2 xm-1 um-11 xm (xi là đỉnh và ui là cạnh)

trong đồ thị thỏa mãn điều kiện ui liên kết với cặp đỉnh (xi, xi+1), nghĩa là:

ui=(xi, xi+1) nếu đồ thị có hướng,

ui={xi, xi+1} nếu đồ thị vô hướng

Khi đó ta gọi x1 là đỉnh đầu và xm là đỉnh cuối của đường đi

 Chu trình: một chu trình (cycle / circuit) là một đường đi P có đỉnh đầu trùng đỉnh cuối, ta lý hiệu là

C = x1 x2…xn-1 xn

 Đường đi Euler:

+ Một đường đi Euler trong G là một con đường đi qua tất cả các

cạnh của G, và mỗi cạnh đúng 1 lần (thường là đỉnh bắt đầu khác

đỉnh kết thúc)

+ Một chu trình Euler của G là 1 đường đi Euler của G, có đỉnh bắt

đầu trùng với đỉnh kết thúc

+ Các lưu ý quan trọng:

i) Nếu G có chu trình Euler  mọi đỉnh của G có bậc chẵn

ii) Nếu G có đường đi Euler  trong G có đúng 2 bậc lẻ (đỉnh

bắt đầu và kết thúc) iii) Nếu G có chu trình Euler  G cân bằng

BHT CNTT 7

+ dout(u) = din(u)+1 + din (v)=din(v) +1

Và mọi đỉnh còn lại đều cân bằng

+ Đường đi Halminton của G là một con đường đi qua mọi đỉnh của

G, và mỗi đỉnh đúng 1 lần

+ Một chu trình Hamilton của G là một đường đi Hamilton, có đỉnh đầu trùng với đỉnh kết thúc

+ Các lưu ý quan trọng:

i) Nếu G là một chu trình vô hướng, đầy đủ thì G có chu trình

Hamilton

ii) Nếu ta chọn được k đỉnh của G sao cho khi xóa k đỉnh này

(cùng các cạnh liên quan) ra khỏi G mà số thành phần còn lại của đồ thị khi đó là nhiều hơn k thành phần thì G không có chu trình Hamilton (nên chọn k <= n/2)

iii) Nếu mọi đỉnh của G đều có bậc >= n/2 thì G có chu trình

Hamilton

iv) Nếu G là đồ thị có hướng, đầy đủ thì G có đường đi Hamilton

 Cây bao trùm (cây khung): ta gọi cây T là một cây bao trùm (cây

khung) của G nếu T là một đồ thị con, chứa mọi đỉnh của G