XSTK tổng hợp công thức xác xuất thống kê UIT

KIỂM ĐỊNH Lưu ý: Về bản chất thì công thức này vẫn giống công thức đã train ở Youtube/ Fanpage, chỉ khác một chút ở cách thể hiện.. GIẢI MẪU Bài 1: Trong điều kiện chăn nuôi bình thường

CÔNG THỨC ÔN THI CUỐI KỲ XSTK

I VECTOR NGẪU NHIÊN 2 CHIỀU

1 Vector ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc:

(Xem thêm video Lý thuyết + Bài tập ứng dụng tại:

STUDY FROM HOME | [XSTK] Vector ngẫu nhiên rời rạc | BHT Khoa học & Kỹ thuật Thông tin -

YouTube)

2 Vector ngẫu nhiên 2 chiều liên tục:

2.1 Hàm mật độ xác suất đồng thời và hàm phân bố xác suất đồng thời:

- Nếu hàm phân bố xác suất đồng thời 𝐹(𝑥, 𝑦) liên tục tuyệt đối trên ℝ2 thì hàm mật độ xác suất đồng thời được xác định:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕

2𝐹(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦

- Tương đương với nó là:

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣

𝑦

−∞

𝑥

−∞

- Tính chất của hàm mật độ xác suất đồng thời:

{

𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1

ℝ 2

2.2 Hàm mật độ xác suất thành phần (Hàm mật độ xác suất biên):

- Hàm mật độ xác suất thành phần theo BNN X:

𝑓𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

+∞

−∞

⇒ 𝑃(𝑋 < 𝑥) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥

𝑥

−∞

- Hàm mật độ xác suất thành phần theo BNN Y:

𝑓𝑌(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 ⇒ 𝑃(𝑌 < 𝑦) = ∫ 𝑓𝑌(𝑦)𝑑𝑦

𝑦

−∞

+∞

−∞

- 2 BNN đó độc lập với nhau khi: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦)

2.3 Hàm mật độ xác suất có điều kiện:

𝑓𝑋(𝑥|𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑓𝑌(𝑦)

𝑓𝑌(𝑦|𝑥) =𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑓𝑋(𝑥)

II ƯỚC LƯỢNG

1 Ước lượng trung bình:

Ta có:

𝑋̅: Trung bình mẫu

𝜇: Trung bình tổng thể

𝑠 (hoặc 𝜎): Độ lệch chuẩn mẫu (hoặc Phương sai mẫu hiệu chỉnh)

Cách tính s:𝑠 = √ 1

𝑛−1∑𝑛 𝑛𝑖(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 𝑖=1

𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

: Giá trị tới hạn Student

1 − 𝛼: Độ tin cậy

√𝑛 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑠

√𝑛 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

Lưu ý:

- Nếu 𝑛 ≥ 30 thì tra 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

trong bảng Laplace với 𝜑 (𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

) = 1−𝛼

2

Ngược lại thì tra 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

trong bảng Student

- Thường thì đề sẽ cho một trong hai gái trị là 𝜎 hoặc 𝑠 nhưng nếu có cả

hai thì ưu tiên dùng 𝜎

2 Ước lượng tỉ lệ:

𝑓: tần suất/ tỉ lệ mẫu

𝑛: kích thước mẫu

𝑡1−𝛼

2

: Giá trị tới hạn chuẩn hóa (có thể tra trong bảng Laplace thông qua 𝜑 (𝑡1−𝛼

2

) = 1−𝛼

2

√𝑛 𝑡1−𝛼

2

< 𝑝 < 𝑓 + √𝑓(1−𝑓)

√𝑛 𝑡1−𝛼

2

III KIỂM ĐỊNH

Lưu ý: Về bản chất thì công thức này vẫn giống công thức đã train ở Youtube/

Fanpage, chỉ khác một chút ở cách thể hiện Các bạn có thể giải cách cũ hay cách

này đều được

Về việc sử dụng bảng thì trong bài này mình dùng bảng One Tail tức là bảng nằm

ở cuối slide này

Ở bảng này:

- 𝜇 là kiểm định giá trị trung bình

- 𝑝 là kiểm định tỉ lệ

𝑯𝟎- Tiêu chuẩn 𝑯𝟏 Miền bác bỏ 𝑾𝜶

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0

𝑇 = 𝑥̅ − 𝜇𝑠 0

√𝑛

2

(𝑛−1)

}

𝜇 > 𝜇0 {𝑇: 𝑇 > 𝑡𝛼(𝑛−1)}

𝜇 < 𝜇0 {𝑇: 𝑇 < −𝑡𝛼(𝑛−1)}

𝐻0: 𝑝 = 𝑝0

√𝑝0(1 − 𝑝0)

𝑛

2}

Lưu ý phần 𝒕𝜶 và 𝒛𝜶:

• Nếu 𝑛 < 30, tra bảng Student bình thường

• Nếu 𝑛 > 30:

o 𝑡𝛼

2

= 𝑡1−𝛼 2

▪ Ví dụ 𝑡0,05

2

= 𝑡1−0,05 2

= 𝑡0,475 rồi tra bảng Laplace

▪ (Xem thêm ở phần Giải mẫu)

o 𝑡𝛼 = 𝑡1−0,5−𝛼

▪ Ví dụ 𝑡0,05 = 𝑡1−0,5−0,05 = 𝑡0,45 rồi tra bảng Laplace

▪ (Xem thêm ở phần Giải mẫu)

GIẢI MẪU Bài 1: Trong điều kiện chăn nuôi bình thường, lượng sữa trung bình của 1 con

bò là 14kg/ngày Nghi ngờ điều kiện chăn nuôi kém đi làm cho lượng sữa giảm

xuống, người ta 116 điều tra ngẫu nhiên 25 con và tính được lượng sữa trung bình của 1 con trong 1 ngày là 12,5 và độ lệch tiêu chuẩn 2,5 Với mức ý nghĩa 5% Hãy kết luận điều nghi ngờ nói trên Giả thiết lượng sữa bò là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Giải:

Bài này thuộc kiểm định giá trị trung bình

Xử lý số liệu, ta được: 𝑛 = 25 (𝑛 nhỏ) 𝜇0 = 14 𝑥̅ = 12,5

Xét {𝐻𝐻0: 𝜇 = 𝜇0

1: 𝜇 < 𝜇0

Ta đặt 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 vì kiểm tra xem điều kiện chăn nuôi kém có làm cho lượng sữa giảm hay không (phần tô đậm ở đề)

Xét miền bác bỏ với công thức: {𝑇: 𝑇 < −𝑡𝛼(𝑛−1)}

Ta tìm đc: 𝑡0,0524 = 1,711 (bảng Student)

𝑠

√𝑛

= 12,5−142,5

√25

= −3

Vì 𝑇 < −𝑡𝛼(𝑛−1) (−3 < 1,711) Nên bác bỏ 𝐻0(hay nói cách khác chấp nhận 𝐻1)

Vậy điều kiện chăn nuôi kém làm cho lượng sữa giảm xuống

Bài 2: Đối với người nước ngoài, lượng huyết sắc tố trung bình là 138.3g/l Khám cho 80 công nhân ở nhà máy có tiếp xúc hoá chất, thấy huyết sắc tố trung bình là 120g/l; S 15g/l Từ kết quả trên, có thể kết luận lượng huyết sắc tố trung bình của công nhân nhà máy hoá chất này thấp hơn mức chung hay không ? Kết luận với mức ý nghĩa 5%

Giải:

Xử lý số liệu: 𝜇0 = 138,3 𝑠 = 15 𝑥̅ = 120

Ta thấy: “có thể kết luận lượng huyết sắc tố trung bình của công nhân nhà máy hoá chất này thấp hơn mức chung hay không”

Nên {𝐻𝐻0: 𝜇 = 𝜇0

1: 𝜇 < 𝜇0

Miền bác bỏ: {𝑇: 𝑇 < −𝑡𝛼(𝑛−1)}

Ta tìm được: −𝑡0,0579 = −𝑡1−0,5−0,05 = −𝑡0,45 = −1,645 (Vì 𝑛 lớn, nếu

khó hiểu xem lại phần lưu ý ở sau bảng công thức)

𝑇 = 𝑥̅−𝜇0

𝑠

√𝑛

= 120−138,315

√80

≈ −10,91

Vì 𝑇 < −𝑡𝛼(𝑛−1) nên bác bỏ 𝐻0

Vậy huyết sắc tố của công nhân nhà máy thấp hơn mức chung

Bài 3: Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương trung bình của 1 công nhân

thuộc xí nghiệp là 760 ngàn đ/tháng Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình là 700 ngàn đ/tháng, với độ lệch chuẩn σ = 80 Lời báo cáo của giám đốc có tin cậy được không, với mức có ý nghĩa là 5%

Giải:

“Lời báo cáo của giám đốc có tin cậy được không”

Nên xét: {𝐻𝐻0: 𝜇 = 𝜇0

1: 𝜇 ≠ 𝜇0

Miền bác bỏ: {𝑇: |𝑇| > 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

}

Ta tìm được: 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

= 𝑡1−𝛼 2

= 𝑡0,475 = 1,96

𝑇 = 𝑥̅ − 𝜇𝑠 0

√𝑛

= 700 − 76080

√36

= −4,5

Vì |𝑇| > 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

nên bác bỏ 𝐻0 Vậy lời báo cáo của giám đốc không đáng tin cậy

Bài 4: Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình một khách hàng mua 25 ngàn đồng thực phẩm trong ngày Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy trung bình một khách hàng mua 24 ngàn đồng trong ngày và phương sai mẫu hiệu chỉnh là 𝑠2 = (2 𝑛𝑔à𝑛 đồ𝑛𝑔)2 Với mức ý nghĩa

là 5%, thử xem có phải sức mua của khách hàng hiện nay có thay đổi không Giải:

Xử lý số liệu: 𝑠 = 2 (Bởi vì 𝑠2 = (2 𝑛𝑔à𝑛 đồ𝑛𝑔)2 nên s = 2 (ngàn đồng)

(Đừng nhầm lẫn 𝑠 = √2)

“Sức mua của khách hàng hiện nay có thay đổi không”

Nên ta xét: {𝐻𝐻0: 𝜇 = 𝜇0

1: 𝜇 ≠ 𝜇0

Miền bác bỏ: {𝑇: |𝑇| > 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

}

Ta tính được: 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

= 𝑡0,025(14) = 2,145

𝑇 = 𝑥̅ − 𝜇𝑠 0

√𝑛

= 24 − 252

√15

≈ −1,9365

Vì |𝑇| < 𝑡𝛼

2

(𝑛−1)

nên không thể bác bỏ 𝐻0 Vậy sức mua của khách hàng không thay đổi

Bởi vì mình đã làm 4 trường hợp của Kiểm định giá trị trung bình (gần như phủ toàn bộ) nên mình chỉ làm 1 bài Kiểm định tỉ lệ bởi vì nó cũng tương tự

Bài 5: Theo một nguồn tin thì tỉ lệ hộ dân thích xem dân ca trên Tivi là 80% Thăm dò 36 hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca Với mức có ý nghĩa là 5% Kiểm định xem nguồn tin này có đáng tin cậy không?

Giải:

Bài này thuộc bài kiểm định tỉ lệ

𝑝0 = 0,8 Kiểm tra nguồn tin có đáng tin cậy?

Nên ta xét: {𝐻𝐻0: 𝑝 = 𝑝0

1: 𝑝 ≠ 𝑝0

Miền bác bỏ: {𝑍: |𝑍| > 𝑧𝛼

2

}

Ta tính được: 𝑍 = 𝑓−𝑝0

√𝑝0(1−𝑝0)

𝑛

=

25

36 −0,8

√0,8.0,2

36

= −1,5833

𝑧𝛼

2 = 𝑧0,05

2

= 𝑡0,475 = 1,96

Vì |𝑍| < 𝑧𝛼

2

nên không thể bác bỏ 𝐻0

Vậy nguồn tin đáng tin cậy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giáo trình Xác suất thống kê, trường Đại học Công nghệ Thông Tin – ĐHQG TPHCM

2 Bài tập Xác suất thống kê, ThS Nguyễn Trung Đông

3 Eureka! Uni