113 đề hsg toán 8 lạng giang 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) 1) Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là thỏa mãn thì tam giác đó là tam giác vuôn[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG GIANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (5,0 điểm)

1) Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a b c, , thỏa mãn

5a 3b 4c 5a 3b 4c  3a 5b2thì tam giác đó là tam giác vuông

2) Tìm giá trị của tham số m để phương trình 6x 5m10 3 mxcó nghiệm gấp 3 lần nghiệm của phương trình x3 7x2 13x 15 0 

Bài 2 (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức P với

2 2

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là một số nguyên tố

2) Cho x y z, , thỏa mãn x3 y3 z xy z3  2

và x y z  3.Tính giá trị biểu thức

 2021 2021 2021

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Cho 2 số tự nhiên a b; Chứng minh rằng nếu tích a b. là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a2b2c2là số chính phương

2) Cho số nguyên tố p 3và hai số nguyên dương a b, sao cho p2a2b2 Chứng minh rằng achia hết cho 12

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho ABCcó ba góc nhọn Gọi H là giao điểm hai đường cao AD BE, .Gọi M, N thứ

tự là trung điểm của BC AC, Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC a) Chứng minh OM AB AH NM.  .

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.Chứng minh HO3GO

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho a b c d, , , là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của

a c b d c a d b

A

a b b c c d d a

ĐÁP ÁN Bài 1 (5,0 điểm)

3) Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a b c, , thỏa mãn

5a 3b 4c 5a 3b 4c  3a 5b2

thì tam giác đó là tam giác vuông

Ta có :

2

Vậy tam giác có độ dài ba cạnh thỏa mãn điều kiện (*) thì tam giác đó là tam giác vuông

4) Tìm giá trị của tham số m để phương trình 6x 5m10 3 mxcó nghiệm gấp

3 lần nghiệm của phương trình x3 7x213x15 0

Ta có :

 

Vậy để phương trình 6x 5m10 3 mxcó nghiệm gấp 3 lần nghiệm của phương trình (1) Thì x 3.5 15 là nghiệm của phương trình 6x 5m10 3 mx Tức là :

6.15 5 m10 3 15 m 90 5 m10 45 m50m100 m2

Vậy m 2là giá trị cần tìm

Bài 2 (5,0 điểm)

3) Cho biểu thức P với

2 2

P

c) Rút gọn biểu thức P

       

   

2

2

2

P



Vậy

6 2

x

P

x





 với x1;x2

d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là một số nguyên tố

Ta có

x

P



  để giá trị biểu thức P là một số nguyên tố thì P là một số

4

2 (4) 1; 2; 4

x         Do đó ta có :

Vậy x   1;0;2 thì giá trị của biểu thức P là một số nguyên tố

4) Cho x y z, , thỏa mãn x3 y3 z xy z3  2

và x y z  3.Tính giá trị biểu thức

 2021 2021 2021

A x y z 

3

1

0 2

x y z     x y  y z  z x 

Từ (1) và (2) suy ra x  y z 1

Vậy A673.x2021y2021z2021 2 673 1 1 1    2 2019 2 2021 

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Cho 2 số tự nhiên a b; Chứng minh rằng nếu tích a b. là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a2b2c2là số chính phương

Vì a, b là số chẵn nên xảy ra các trường hợp sau :

Th1: a, b đều là số chẵn  a2b24

Do a,b thuộc N nên a2 b2 4 ,k k N  k 1 N

2

c  k k  k k N

2

là một số chính phương

Vì k N  k 1 Z luôn tìm được số k 1 Z sao cho  

2

a b c  k là một số chính phương

Th2: nếu a chẵn b lẻ  a24,b2: 4dư 1, với a,b thuộc N

Nếu a2b2: 4dư 1, với a,b thuộc N thì a2b2 4k1với k N

2



chính phương (vì 2k 1 Nmà kN).Vậy luôn tồn tại số nguyên c để a2b2c2là một

số chính phương Với a, b là một số chẵn a b N, 

4) Cho số nguyên tố p 3và hai số nguyên dương a b, sao cho p2a2 b2 Chứng minh rằng achia hết cho 12

Từ giá trị p2a2 b2 b a b a     Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có hai khả năng

b a q





 



2

1

Th

b a q





 

 , vì b a b a a b Z   , ,  nên 2a q 2 1 q1 q1

Vì q lẻ nên q1;q1là hai số chẵn liên tiếp , một số là bội của 2, một số là bội của 4

2

2

a

  (1) Lại có từ  *  2qaq1 q q 1 3

Mà (2,q)=1 ; q a ,  1nên 2aq3 a3 2 ; 3,   q 1

Từ (1) và (2) suy ra a12.Vậy a12với mọi p q q, , là số nguyên tố q3,b N a N *,  *

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho ABCcó ba góc nhọn Gọi H là giao điểm hai đường cao AD BE, .Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC AC, Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC

và AC

G

H

O M

N

D

E A

B

C

c) Chứng minh OM AB AH NM.  .

Ta có trong ABC M, là trung điểm BC, N là trung điểm AC

MN

 là đường trung bình của ABC MN/ /AB

  (đồng vị) (1) mà ABE BAC90 2 , ONM  MNC 90 3 

Từ      1 , 2 , 3  ABEONM

Chứng minh tương tự ta có BADOMN

Xét AHB&MON:BADOMN cmt ,ABEONM

OM MN

d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.Chứng minh HO3GO

Theo ý a, ta có

AH AB AHB MON

OM MN

mà

1 2

MN  AB

AH AB

OM MN 

Lại có 2

AG

GM  Vì G là trọng tâm của ABC 5

Từ (4) và (5) suy ra

AH AG

OM GM mà HACGOM  AGH∽ MGO c g c( )

180

, ,

H G M

HG

OH OG

HO   

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho a b c d, , , là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của

a c b d c a d b

A

a b b c c d d a

a c 4 b d 4 4.a b c d 4

a b c d a b c d a b c d

  

Vậy

b c d a

  



  

