044 đề hsg toán 8 hưng hà 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HÀ KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM 2022 2023 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Tìm đa th[.]

HƯNG HÀ CẤP HUYỆN NĂM 2022-2023

Môn :Toán lớp 8 Thời gian làm bài : 120 phút

Bài 1 (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử x2 x3 x4 x5 24

2) Tìm đa thức f x biết f x chia cho x  3thì dư 2, f x chia cho x 4thì dư 9 Còn f x chia cho x2 x 12được thương là x 2 3và còn dư

Bài 2 (4,0 điểm) Cho biểu thức

2

1

A

y xy x xy x xy x y y

1) Rút gọn A

2) Tính giá trị của Abiết 2x2y2 3xy

Bài 3 (3,0 điểm)

1) Cho các số x y z a b c, , , , , khác 0 thỏa mãn 0

a b c

x yz  và 1

a b c  Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2 1

a b c 

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A4x23y2  6xy6x12y20

Bài 4 (3,0 điểm)

1) Tìm x,biết :

10

2) Tìm số tự nhiên nđể S n2  82 36

là số nguyên tố

Bài 5 (5,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCDcó AB 2AD.Gọi E I, lần lượt là trung điểm của AB CD, .Nối D với E Đường thẳng vuông góc với DEtại D cắt tia BCtại M Trên tia đối của tia CE lấy điểm Ksao cho DM EK Gọi Glà giao điểm của DKvà EM

a) Chứng minh tứ giác DMEKlà hình chữ nhật

b) Chứng minh tam giác DBKlà tam giác vuông cân

c) Gọi Hlà chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM.Chứng minh bốn điểm

, , ,

A I G H cùng nằm trên một đường thẳng

Bài 6 (1,0 điểm) Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

a b c

a b c b c a a c b          

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

3) Phân tích đa thức thành nhân tử x2 x3 x4 x5 24

7 10 7 12 24

          

Đặt x2 7x 11 t, ta có :

2

          

Vậy x 2 x 3 x 4 x 5 24 x 1 x 6 x2  7x 16

4) Tìm đa thức f x biết f x chia cho x  3thì dư 2, f x chia cho x 4thì dư 9 Còn f x chia cho x2  x 12được thương là x 2 3và còn dư

Ta có f x   x 3  A x 2 1 

   4   9 2 

f x  x B x 

2

12

f x x x C x ax b

Thay x 3vào (1) ta có : f  3 2  4

Thay x 4vào (2) ta có f  4 9  5

Từ (3) ta có f x   x 3 x 4 x2  3ax b  6

Từ    4 , 6  3a b 2 7 

Từ    5 , 6  4a b 9 8 

Từ (7) và (8) ta có a1,b5

Vậy f x  x2  x 12 x2  3 x 5

Bài 2 (4,0 điểm) Cho biểu thức

2

1

A

y xy x xy x xy x y y

3) Rút gọn A

Điều kiện : x0,y0,x y x, y Ta có :

     

2 2

A

y xy x xy x xy x y y xy x y x x y x y x

x x y x y

xy x y y x xy x x

Vậy với x0,y0,xythì

x y x



4) Tính giá trị của Abiết 2x2y2 3xy

Ta có :

2

Vậy với y2 ,x x0 ta có

2 1

A x



Bài 3 (3,0 điểm)

3) Cho các số x y z a b c, , , , , khác 0 thỏa mãn 0

a b c

x yz  và 1

a b c  Chứng

minh rằng

2 2 2

2 2 2 1

a b c 

a b c

ayz bxz cxy

x yz     

Từ

2

        

2 2 2

2 2 2

1

2 2 2

2 2 2

2

1 2

cxy ayz bxz

a b c abc

Từ (1) và (2) suy ra

2 2 2

2 2 2 1

a b c 

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A4x23y2 6xy6x12y20

Ta có :

2 2

1

Min A

Bài 4 (3,0 điểm)

3) Tìm x,biết :

10

Ta có :

2044 2065 2082 2095

10

2019 2019 2019 2019

0

         

9

Vậy x 2019

4) Tìm số tự nhiên nđể Sn2  82 36là số nguyên tố

Ta có :

2

2

8 36 16 64 36

20 100 36 10 36

Với mọi số tự nhiên nthì n2 6n 10 n2 6n 10

Nên để Slà số nguyên tố thì n2 6n10 1  n 32  0 n3

Với n 3thì S 37là số nguyên tố Vậy n 3

Bài 5 (5,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCDcó AB2AD.Gọi E I, lần lượt là trung điểm của AB CD, .Nối D với E Đường thẳng vuông góc với DEtại D cắt tia BCtại

M Trên tia đối của tia CE lấy điểm Ksao cho DM EK Gọi Glà giao điểm của

DKvà EM

G

K

M

I

E

d) Chứng minh tứ giác DMEKlà hình chữ nhật

Ta có ADIEvà BCIElà các hình vuông (gt)

 

45 45 90 1

DEC DEI IEC

          

EK DE

  mà DM DE gt   EK/ /DM 2 mà EK DM 3

Từ (1), (2), (3) suy ra DMKElà hình chữ nhật

e) Chứng minh tam giác DBKlà tam giác vuông cân

Do AEIDvà EBCIlà các hình vuông bằng nhau nên DE EC

Vì DMKElà hình chữ nhật nên MK DE 4 và MKC 90 

MKC

 có MCK BCE 45 (đối đỉnh) MKCvuông cân tại K nên KC MK  5 Xét BDEvà BKCcó : DE KC (theo (4) và (5)), BE BC gt ( );BEDBCK135

 . 

BDE BCK c g c BD BK DBK

 7

Vì BDEBCK BEDCBK(hai góc tương ứng) (8)

Từ (7) và (8) suy ra DBK DBC EBD90 9 

Từ (6) và (9) ta được DBKvuông cân tại B

f) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM.Chứng minh bốn điểm

, , ,

A I G H cùng nằm trên một đường thẳng

1 2

AD AE  AB gt  A

  nằm trên đường trung trực của DE 10

DI IE AD gt  I nằm trên đường trung trực của DE 11

Vì DMKElà hình chữ nhật (cmt) , Glà giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật nên GD GE (tính chất hai đường chéo) nên Gnằm trên đường trung trực của DE 12

Vì CKM vuông cân tại K nên KHlà đường cao đồng thời là đường phân giác

45

HKM

    HKM vuông tại H có HKM  45   HKM vuông cân tại H

45

HM HK





 



Xét DHMvà EHK, ta có :

HM HK (Vì DM EK HM, HK),DMH HKE45

 . 

DHM EHK c g c MDH HEK

          

DHE

  cân tại H nên HD HE

H

 nằm trên đường trung trực của DE 13

Từ        10 , 11 , 12 , 13  A I G H, , , thẳng hàng

Bài 6 (1,0 điểm) Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

a b c

a b c b c a a c b          

Vì a b c, , là ba cạnh của một tam giác nên

0 0 0

a b c

b c a

c a b

  





  



   

x a b c

y b c a

z c a b

  





  



   



Ta có :

2 2 2

1

.

4

xy yz xz z xy yz xz x xy yz xz y

1

3

y x z z y x x z y

x y z

x y z y z x Co si x y z x y z a b c

                  

             

                 

Vậy

a b c

a b c b c a a c b          

Dấu bằng xảy ra khi

a b c 