Tính độ dài các đoạn AB, BC.. c Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng.. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng... Tính độ
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG HÀ Lớp 6, 7, 8, cấp huyện, năm học 2020-2021 KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI
Môn kiểm tra: Toán 6 Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề kiểm tra này gồm 1 trang) Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A 1.2.3 .9 1.2.3 .8 1.2.3 .7.8 2
b)
B
1.4 4.9 9.16 16.31 31.50
Bài 2: (4 điểm).
a) Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + + 398 – 399 Tính S và tìm số dư khi chia 3100 cho 4.
b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
9 y 18 c) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2 Chứng tỏ rằng A – B là một số chính phương.
Bài 3: (3 điểm).
a) Tìm số tự nhiên x biết:
15
5
1000
1 2 3
ch� s� 0 b) Chứng tỏ rằng
12n 1 30n 2
là phân số tối giản với mọi số nguyên n.
Bài 4: (3 điểm).
a) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 Hỏi số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để: 3n + 6 là số nguyên tố.
Bài 5: (5 điểm).
a) Vẽ tia Ax Trên tia Ax xác định hai điểm B và C sao cho B nằm giữa A và C và
AC = 8cm, AB = 3BC Tính độ dài các đoạn AB, BC
b) Cho xOy� = 1200, � xOz = 500 Tính �yOz.
c) Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có
ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng Hỏi từ 20 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng ?
Bài 6: (1 điểm) Cho m, n , t là ba số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn:
Chứng minh rằng a chia hết cho 6.
Hết
-Họ và tên giám thị 1 -Họ và tên thí sinh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI
Lớp 6, 7, 8, cấp huyện, năm học 2020-2021
Môn kiểm tra: Toán 6
m
Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau :
a) A 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.8 2
b)
B
1.4 4.9 9.16 16.31 31.50
1
1a
( 2 điểm)
2
a) A = 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.8
1.2.3 7.8 9 1 8 1.2.3 7.8 0 0
1,0 đ 1,0 đ
1b
( 2 điểm)
B 1.4 4.9 9.16 16.31 31.50
1 4 4 9 9 16 16 31 31 50
đ
1 50 50 50 50
đ
Bài 2: (4 điểm).
a) Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + + 398 – 399 Tính S và tìm số dư khi chia 3100 cho 4
b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
9 y 18 c) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2
Chứng tỏ rằng A – B là một số chính phương
( 1,5 điểm) Ta có
S 1– 3 3 – 3 3 – 3 3S 3 – 3 23 – 33 4 3 – 399 100
S + 3S = 1 - 3100
4S 1 3 100
S 1 3100: 4
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Vì S 1 3100: 4
mà S là số nguyên
3100 chia cho 4 dư 1
Vậy 3100chia cho 4 dư 1
0,25đ
Trang 3( 1,5 điểm)
a) Từ
( ĐK y 0� )
2x 1 y 54
�
Vì x, y là số tự nhiên nên 2x – 1 là ước tự nhiên lẻ của 54
Ta có bảng sau:
Vậy x; y� 1; 54 ; 2; 18 ; 5; 6 ; 14; 2
0,5đ
0,25đ
0,5đ 0,25đ
2 ( 1,0 điểm) 2c
Ta có A – B
100 / 1 50 / 2
111 11 222 2 111 11.1000 01 2.111 11 111 11 1000 01 2
14 2 43 1 2 3
14 2 43 1 2 3 14 2 43 14 2 43 1 2 3
c s c s
0,5
50c/s1 50c/s9 50c/s1 50c/s3 50c/s3 50c/s3
111 11.999 99 111 11.3.333 3 333 3.333 3
2
50c/s3
333 3
Vậy A – B là số chính phương
0,25 đ 0,25đ
Bài 3: (3 điểm)
a) Tìm số tự nhiên x biết:
5
5
1
5 5 5 1 2 3 0 : 2
ch� s� 0
b) Chứng tỏ rằng
12n 1 30n 2
là phân số tối giản với mọi số nguyên n.
3a
(1,5 điểm)
5
5 1
x 2 1000
5 5 .5 142 430:2
ch� s� 0
53x + 3 = 1015 : 215
53x + 3 = 515
Suy ra: 3x + 3 = 15 3x = 12
x = 4 Vậy x = 4
0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
(1,5 điểm) Với n Z� , ta có 12n 1 Z, 30n 2 Z � � và 30n 2 0 �
Do đó
12n 1 30n 2
là phân số với mọi số nguyên n.
Gọi d��C12n 1, 30n 2 d Z �
0,25 đ 0,25 đ
Trang 4
5 12n 1 d
�
M
60n 5 – 60n 4 d �1 d
d 1; 1
� � Suy ra
12n 1 30n 2
là phân số tối giản với mọi số nguyên n.
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
4
4a
(1, 5 điểm)
Gọi số cần tìm là x x N *�
Vì x chia cho 7 dư 5 � x 2 7 M�x 2 7 7M�x 9 7 1 M
Vì x chia cho 13 dư 4 � x 9 13 2 M
Mà ƯCLN ( 7, 13 ) = 1 (3)
Từ (1), (2) và (3)
x 9 7.13 x 9 91 x 9 91 91 x 82 91
x 91k 82 k N
Vậy x chia cho 91 dư 82
0,25 đ
0, 25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
4b
(1, 5 điểm)
- Nếu n = 0 thì 3n + 6 = 30 + 6 = 1 + 6 = 7 là số nguyên tố
( chọn)
- Nếu n 1 thì 3n 3
Mà 63
3n + 6 3 mà 3n + 6 > 3
3n + 6 là hợp số ( loại) Vậy n = 0 thì 3n + 6 là số nguyên tố
0,5 đ
0, 25 đ
0,5 đ 0,25 đ
Bài 5: (5 điểm).
a) Vẽ tia Ax Trên tia Ax xác định hai điểm B và C sao cho B nằm giữa A và C và
AC = 8cm, AB = 3BC Tính độ dài các đoạn AB, BC
b) Cho xOy�
= 1200, xOz �
= 500 Tính �yOz
c) Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng Hỏi từ 20 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng ?
5a
(2 điểm)
a) Vẽ hình đúng
Vì B nằm giữa A và C nên AB +BC = AC
Mà AB = 3BC, AC = 8cm
� 3BC +BC = 8
� 4BC = 8
�BC=2cm
�AB =3.2=6 (cm) Vậy AB = 6 cm; BC = 2cm
0,25 đ
0,5đ
0,25 đ 0,25 đ
Trang 50,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
5b
(2 điểm)
Trường hợp 1: Hai tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox
( vẽ hình đúng)
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox có :
� xOz < xOy � 500 1200 nên tia Oz nằm giữa Ox và Oy
=>xOz yOz xOy� � �
� yOz
� = xOy – �xOz = 120� 0 – 500
� yOz
� = 700
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Trường hợp 2 :
Hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox
Vì 2 tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox nên xOy và �xOz là hai góc kề � nhau
Mà xOy xOz 50� � 01200 1700 1800
=>Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz
xOy xOz yOz yOz 170
�
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
5c
(1 điểm)
Giả sử trong 20 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng
Chọn 1 trong 20 điểm nối với 19 điểm còn lại ta được 19 đường thẳng
Làm như vậy với 20 điểm ta được 20.19 ( đường thẳng)
Nhưng làm như vậy mỗi đường thẳng được tính 2 lần, do đó số đường thẳng
0,25 đ
Trang 6thực có là : 20.19 : 2 = 190 đường thẳng.
Với 7 điểm thẳng hàng tạo thành 1 đường thẳng Nhưng với cách tính trên số đường thẳng tạo thành là : 7.6 : 2 = 21 đường thẳng
Vậy số đường thẳng vẽ được từ 20 điểm đã cho là :
190 – 21 + 1= 170 đường thẳng
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Bài 6: (1 điểm) Cho m, n , t là ba số ngyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn:m n n t a a N � *
Chứng minh rằng a chia hết cho 6
6 (1 điểm)
+) Vì m,n,t là ba số nguyên tố lớn hơn 3 nên m,n,t đều là số lẻ
�m n n t a chẵn
� a 2 M (1)
+) m, n, t là ba số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng có hai khả năng dư khi chia cho 3 , đó là dư 1 hoặc 2
Do đó khi chia m,n,t cho 3 sẽ có ít nhất hai số có cùng số dư -Nếu m và n hoặc n và t chia cho 3 có cùng số dư
� m n n Mt a 3
- Nếu m và t chia 3 có cùng số dư �m t m n n t 2aM3
a 3
� M ( Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau)
Do đó a 3 2M
Từ (1) và (2) suy ra a 6M.
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
CHÚ Ý :
- Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó
- Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó