033_Đề Hsg Toán 9_Bắc Ninh_Tỉnh_21-22.Docx

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021 2022 Môn TOÁN – Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức 2 2 1 1 2[.]

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2021-2022 Môn :TOÁN – Lớp 9

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (4,0 điểm)

1

P

    với x0,x1 2) Cho đường thẳng d y ax b a:    0 Tìm a b, biết dđi qua M1; 2 và cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại Avà B sao cho tam giác OABcân, O là gốc tọa độ

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình 5x26x 4 3x1 3 x24

2) Giải hệ phương trình

3 2

5 3 8 2 0





    



Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x y, của phương trình

10 x y 100

x  y    

2) Cho a b, là các số nguyên dương thỏa mãn p a 2b2là số nguyên tố và p  5chia hết cho

8 Giả sử x y, là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2chia hết cho p Chứng minh rằng cả hai

số x y, chia hết cho p

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCDnội tiếp đường tròn  O Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M khác C và D Đường thẳng MAcắt DB DC, theo thứ tự tại Hvà K, đường thẳng MB

cắt DC và AC theo thứ tự tại E và F Hai đường thẳng CH DF, cắt nhau tại N

1) Chứng minh rằng tứ giác DHEM nội tiếp và HElà phân giác của MHC

2) Gọi G là giao điểm của KFvà HE.Chứng minh rằng tứ giác GHOFlà hình chữ nhật và G

là tâm đường tròn ngoại tiếp KNE

3) Chứng minh rằng

Câu 5 (2,0 điểm)

1) Cho đường tròn tâm (O) Bước 1, lấy một đường kính của đường tròn đó, tại mỗi đầu mút của đường kính ghi số 1 Bước 2, tại điểm chính giữa của mỗi cung nhận được ghi số 2 Bước 3, coi 4 điểm đã ghi số ở trên là các điểm chia đường tròn Khi đó, đường tròn được chia thành 4 cung bằng nhau,tại điểm chính giữa của mỗi cung này ta ghi số có giá trị bằng tổng của hai số được ghi ở hai đầu cung tương ứng Cứ tiếp tục quá trình như vậy, hỏi sau 2021 bước tổng các số được ghi trên đường tròn là bao nhiêu ?

2) Cho ba số a b c, , không âm thỏa mãn a2b2c2  1 Chứng minh bất đẳng thức

 2 2 2 

2

a b b c c a

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

1

P

    với x0,x1

2

1

1

P

 

4) Cho đường thẳng d y ax b a:    0 Tìm a b, biết dđi qua M1; 2 và cắt các trục

,

Vì đường thẳng  d đi qua M1; 2nên a b  2.Đường thẳng  d cắt các trục Ox, Oy lần

b A

a



 và B0;b

OAB

b

a

      

Từ đó ta tìm được a b  ;    1;3 , 1;1   

Câu 2 (4,0 điểm)

3) Giải phương trình 5x26x 4 3x1 3 x24

Phương trình tương đương :

3x   4 3 x 1 3x   4 2x  6x 0

Đặt t 3x24được phương trình t2 3x1t2x26x0

3

t x

t x





          



Với

2

2

0

4 0

x

x





 



Với

2

2

2

2 6 5 0

x



  



Vậy phương trình có tập nghiệm

3 19 3 19

; 2;

S    

4) Giải hệ phương trình

3 2

5 3 8 2 0





    



ĐKXĐ:

5 2

y 

Từ phương trình 4x2 1y 3 5 2  y  0

2x3 2x  5 2y3 5 2 1y 

2x 5 2  y 2x  2x 5 2  y  5 2  y

2x 5 2  y  2x  2x 5 2  y  5 2  y

2x 5 2  y 2x  2x 5 2  y  5 2  y

0

2 5 2

2 5 4

x





   

 



Thay 2y 5 4x2vào phương trình x3 5x23x 8 2 y0được :

2

2

x  x  x   y    

Đối chiếu ĐKXĐ thì hệ phương trình có nghiệm

2

2 1 5 2 1

2

x y       

     

Câu 3 (4,0 điểm)

3) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x y, của phương trình

10 x y 100

x  y    

Ta có :

10 x y 100

x  y    

2

20 100

x y

             

Lập luận tương tự ta cũng có xlà số chính phương Đặt x a y b 2,  2với a b  , *

Ta có a b  10  a b;    1;9 ; 2;8 ; ; 9;1     

x y;   1;81 ; 4;64 ; ; 81;1     

4) Cho a b, là các số nguyên dương thỏa mãn p a 2b2là số nguyên tố và p  5chia hết cho 8 Giả sử x y, là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2chia hết cho p Chứng minh rằng cả hai số x y, chia hết cho p

Vì p 5 8  p8k5k Ta có :

ax24k2 by24k2ax2  by2p a4k 2 x8k 4 b4k 2 y8k 4 p

Nhận thấy

4k 2 8k 4 4k 2 8k 4 4k 2 4k 2 8k 4 4k 2 8k 4 8k 4

a  x  b  y  a  b  x  b  x  y 

Do a4k 2 b4k 2  a2 2k1  b2 2k1:a2 b2 p

và b pnên x8k 4 y8k 4 p *

Nếu trong hai số x y, có một số chia hết cho pthì từ  * suy ra số thứ hai cũng chia hết cho

.

8 4l p 1 1 mod

8k 4 p 1 1 mod 8k 4 8k 4 2 mod

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCDnội tiếp đường tròn  O Điểm M thuộc cung nhỏ CDcủa (O), M khác C và D Đường thẳng MAcắt DB DC, theo thứ tự tại Hvà K, đường thẳng MBcắt DC và AC theo thứ tự tại E và F Hai đường thẳng CH DF, cắt nhau tại N

N

F E

K

H D

C

B O

A

M

4) Chứng minh rằng tứ giác DHEM nội tiếp và HElà phân giác của MHC

, mà

5) Gọi G là giao điểm của KF và HE.Chứng minh rằng tứ giác GHOF là hình chữ nhật và G là tâm đường tròn ngoại tiếp KNE

Ta có

;

Suy ra tứ giác MKFCnội tiếp Lại có KMCAMC 90   KFC 90 hay KF AC

Ta có : HGF  90   HGK  90 và KGE90 , suy ra KGEvuông cân tại G,nên

 1

GK GE

MHC

;

6) Chứng minh rằng

 3

Do AB DK/ / nên  8

Từ            3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8

Câu 5 (2,0 điểm)

3) Cho đường tròn tâm (O) Bước 1, lấy một đường kính của đường tròn đó, tại mỗi đầu mút của đường kính ghi số 1 Bước 2, tại điểm chính giữa của mỗi

cung nhận được ghi số 2 Bước 3, coi 4 điểm đã ghi số ở trên là các điểm chia đường tròn Khi đó, đường tròn được chia thành 4 cung bằng nhau,tại điểm chính giữa của mỗi cung này ta ghi số có giá trị bằng tổng của hai số được ghi

ở hai đầu cung tương ứng Cứ tiếp tục quá trình như vậy, hỏi sau 2021 bước tổng các số được ghi trên đường tròn là bao nhiêu ?

Sau bước 1, trên đường tròn có 2 1số là 1;1 nênS    1 1 1 2 2.30

Sau bước 2, trên đường tròn có 2 2số là 1,2,1,2 nên S      2 1 2 1 2 6 2.31

Sau bước 3, trên đường tròn có 2 3số là 1,3, 2,3,1,3, 2,3nên S  3 18 2.32

Dự đoán sau nbước tổng là S n 2.3n1

 Ta sẽ chứng minh S n 2.3n1  *   n *

Thật vậy, với n 1thì (*) đúng

Giả sử  * đúng với n k k   *, nghĩa là sau k bước trên đường tròn đã cho có các số với tổng là S k 2.3k1



Do điểm chính giữa của mỗi cung này lại ghi tổng của hai số đã ghi ở hai đầu mỗi cung

Vậy S n 2.3n1

 với mọi n  *do đó S2021  2.32020

4) Cho ba số a b c, , không âm thỏa mãn a2b2c2  1.Chứng minh bất đẳng thức

2

a b b c c a

Ta có a b c a    2 b2 c2  a3 ab2  b3 bc2  c3 ca2  a b b c c a2  2  2 

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

a3 ab2  b3 bc2  c3 ca2 2a b b c c a2  2  2 

Do đó a b c a    2 b2 c2 3a b b c c a2  2  2  2 2 2 1 

3

Suy ra

3

Ta có: 1a2b2c2 ab bc ca   a2 1 a b c a    

Áp dụng bất đẳng thức Cosi – Schwwarz ta có

   

 

2

2

2 2 2 2

1

2 1

1

1

2

a b c a a b c a

a b c a

a

a

a b c a a b c a





Tương tự:

 

 

2 2 2 2

2 2 2 2

1

2

1

2

a b b c a b b c

c a b c c a b c

Từ (1), (2), (3) ta có :

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1 3

a b c  