013_Đề Hsg Toán 9_Hà Nội_21-22.Docx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2021 2022 Môn TOÁN Ngày thi 24 tháng 3 năm 2022 Thời gian làm bài 150 phút Bài I (5,0 điểm) 1) Giải ph[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ

Năm học 2021-2022 Môn : TOÁN

Ngày thi : 24 tháng 3 năm 2022

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài I (5,0 điểm)

1) Giải phương trình : x 3 3x  1 x 3

2) Cho a b c, , là các số thực khác 0, thỏa mãn a2ab c 2bcvà a2ac b 2bc

Tính giá trị của biểu thức 1 1 1

K

        

Bài II (5,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số tự nhiênm n, thỏa mãn 3m 2022 2

n

2) Tìm tất cả số nguyên tố pđể phương trình x3y3 3xy 1 pcó nghiệm

nguyên dương

Bài III (2,0 điểm) Với các số thực a b c, , thỏa mãn 0a b c, , 1và a b c  2,tìm

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1

P

Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn AB AC , nội tiếp đường tròn  O

Các đường cao AD BE CF, , của tam giác ABCđồng quy tại trực tâm H Gọi K Q, lần

lượt là giao điểm của đường thẳng EF với hai đường thẳng AH AO,

1) Chứng minh AQE90

2) Gọi I là trung điểm của AH.Chứng minh IE2 IK ID.

3) Gọi R J, lần lượt là trung điểm của BE CF, Chứng minh JRvuông góc với

QD

Bài V (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số nguyên a b, sao cho số a3 b b  3 alà lập phương của một

số nguyên tố

2) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222 2gồm 2022chữ số 2 Mỗi bước ta chọn

22chữ số liên tiếp nào đó có chữ số ngoài cùng bên trái bằng 2, rồi biến đổi

các chữ số được chọn theo quy tắc: chữ số 2 đổi thành chữ số 0 còn chữ số 0

đổi thành chữ số 2

a) Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số bước hữu

hạn bước

b) Giả sử sau khi thực hiện được nbước thì không thể thực hiện được thêm bước nào nữa Chứng minh nlà số lẻ

ĐÁP ÁN Bài I (5,0 điểm)

3) Giải phương trình : x 3 3x  1 x 3

ĐKXĐ:

1 3

x 

Phương trình đã cho đưa về

  2 2

3 2

3 1 2

x

x



 



4) Cho a b c, , là các số thực khác 0, thỏa mãn a2ab c 2bcvà a2ac b 2bc

Tính giá trị của biểu thức 1 1 1

K

        

Từ giả thiết suy ra    ;    

b c c a a b

a a b c b c a a c b b c

Th1: a b c   0 a b c b c;  a c a;  b

P

Th2:

0 b c 1 c a 1 a b 1 a b c a b c a b c

P

        

Bài II (5,0 điểm)

3) Tìm tất cả các số tự nhiênm n, thỏa mãn 3m  2022 n2

Giả sử m n, là hai số tự nhiên thỏa mãn 3m  2022 n2

1: 0

Th m  (loại) vì n  2 30 2022 2023  không phải là một số chính phương

2 : 1: 3 2022 2025 45 45

Th m n     n

Th3: m 2 Khi đó 2 3m 2022 3 3

n     n Dẫn tới n29hay3m2022 9

Điều này vô lý vì 3 9, 2022m không chia hết cho 9

Vậy m1,n45

4) Tìm tất cả số nguyên tố pđể phương trình x3y3 3xy 1 pcó nghiệm nguyên dương

Biến đổi được p x 3 y3  3xy  1 x y  1 x2 y2   1 xy x y  

Nhận xét plà số nguyên tố , còn x y  1 1nên dẫn tới

2 2

2

2

0

2

0

y

y

x y













Vậy số nguyên tố pcần tìm là p 5

Bài III (2,0 điểm) Với các số thực a b c, , thỏa mãn 0a b c, , 1và a b c  2,tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1

P

Tìm giá trị lớn nhất

Ta có :

3

3 3

P



Tìm giá trị nhỏ nhất

Không mất tính tổng quát, giả sử 1   a b c 0

Vì 0a b c, , 1nên  1  1 0 1 1 1

a b

ab





Chứng minh tương tự : 1 1 1 3

a b b c c a

a b c a b c a b c P

1 1 1 3 3 5

a b c

 

Nên ta có :

3

   

Vậy

1

1, 0 2

MinP  a b  c

Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn AB AC , nội tiếp đường tròn  O Các đường cao AD BE CF, , của tam giác ABCđồng quy tại trực tâm H Gọi K Q, lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với hai đường thẳng AH AO,

T

S

I

Q K

H F

E

D

O A

B

C

4) Chứng minh AQE90

Dễ chứng minh AEF∽ ABC c g c( ) AEF ABC

Kẻ đường kính APcủa (O) Dễ chứng minh tứ giác BHCPlà hình bình hành nên

BH CP Ta có BHD∽ACD g g . 

BD BH CP

ABD APC c g c

AD AC AC  ∽ 

Điều này chứng tỏ

5) Gọi I là trung điểm của AH.Chứng minh IE2 IK ID.

Xét tam giác AEH vuông tại E có IE IA IH  nên tam giác AIEcân tại I

Suy ra IEAIAE Tương tự MECMCE

Từ IE IF ME MF ,   MI là đường trung trực của EF,dẫn đến MI EF

N là giao điểm của EF MI,  IE2 IN IM.

IN IK INK IDM g g

ID IM

Suy ra IN IM IK ID  IE2 IK ID.

6) Gọi R J, lần lượt là trung điểm của BE CF, Chứng minh JRvuông góc với QD

Gọi S là điểm đối xứng với F qua Q, gọi T là điểm đối xứng với C qua D

Chứng minh được TAF CAS, dẫn tới TAF CAS c g c( ) FT CS

Mặt khác , theo tính chất đường trung bình

1

2

JQ SC

và

1 2

JD FT  JD JQ

Chứng minh tương tự ta có RD RC ,suy ra JRlà đường trung trực của

DQ JRQD

Bài V (2,0 điểm)

3) Tìm tất cả các số nguyên a b, sao cho số a3 b b  3 a

là lập phương của một số nguyên tố

Giả sử a b, là hai số nguyên dương thỏa mãn a3 b b  3 a p3với p là số nguyên

tố Rõ ràng a b vì nếu a b thì p3 a3 a2

vô lý do plà số nguyên tố Không mất tổng quát, giả sử a b  a3 b b3a

Với chú ý Ư

3 1; ; 2 ; 3 3

a b p

p ab

  



 



Vì a p b3   p b 33 b p2  b9  b p  b b  1 b 1 b2  1 b4  1p

Ta có p b 3 1 b2    1 b 1 b 0.Do đó còn 2 trường hợp 4

1 1

b









Th1: b 1 a3 1 a12 a2,p3

Th2: b4 1 p Rõ ràng b b 3 a  b4  1p ab 1 p

(Vô lý vì 0ab 1 p)

Kết luận

2; 1; 3 1; 2; 3





4) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222 2gồm 2022chữ số 2 Mỗi bước ta chọn 22chữ số liên tiếp nào đó có chữ số ngoài cùng bên trái bằng 2, rồi biến đổi các chữ số được chọn theo quy tắc: chữ số 2 đổi thành chữ số 0 còn chữ số 0 đổi thành chữ số 2

c) Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số bước hữu hạn bước

Sau mỗi bước, số thu được giảm đi một số nguyên dương đơn vị Mặt khác số thu được là số không âm Vì vậy quá trình phải dừng lại sau hữu hạn bước

d) Giả sử sau khi thực hiện được nbước thì không thể thực hiện được thêm bước nào nữa Chứng minh nlà số lẻ

Đếm từ phải sang trái, ta đánh dấu các chữ số có thứ tự là bội của 22 Như vậy có

91 chữ số được đánh dấu ở các vị trí 22, 44, 66, , 2002 tính từ phải sang trái Gọi S là số chữ số 2 trong các chữ số được đánh dấu Ban đầu S = 91, là số lẻ

Trong 22 chữ số liên tiếp luôn có đúng một chữ số được đánh dấu, do đó mỗi bước S tăng 1 hoặc giảm 1, tức là mỗi bước S thay đổi tính chẵn lẻ Cụ thể là, sau

số lẻ bước thay thì S chuyển từ lẻ thành chẵn; sau số chẵn bước thay thì S chuyển

từ chẵn thành lẻ

Nếu S > 0, tồn tại ít nhất một dãy 22 chữ số liên tiếp có chữ số ngoài cùng bên trái là 2, tức là ta còn có thể thực hiện được ít nhất một bước nữa Do đó để ta không thể thực hiện được bước nào nữa thì S = 0 Từ đó số bước đã thực hiện đến lúc dừng lại phải lẻ, hay n lẻ