Phương pháp toán tử Laplace pot

phương trình vi phân„ Hệ phương trình vi tích phân viết theo các luật Kirchhoff cho mạch hệ phương trình mô tả mạch tại một thời điểm bất kỳ.. „ Rút gọn hệ phương trình mô tả mạch theo m

6.2 Phương pháp tích phân kinh điển

6.2.1 Phương trình mạch và nghiệm phương trình vi

phân 6.2.2 Điều kiện đầu (Sơ kiện)

6.2.3 Phương trình đặc trưng của mạch quá độ

6.2.4 Khảo sát quá độ bằng tích phân kinh điển trên

một số mạch đơn giản 6.2.5 Một số ví dụ khác.

phương trình vi phân

„ Hệ phương trình vi tích phân viết theo các luật Kirchhoff cho mạch (hệ phương trình mô tả mạch) tại một thời điểm bất kỳ.

„ Rút gọn hệ phương trình mô tả mạch theo một biến y(t) nào đó , ta có phương trình vi phân tổng quát bậc

ƒ Nghiệm theo tích phân kinh điển

phương trình vi phân cổ điển có dạng :

y(t) = ycb(t) + ytd(t)

Trong đó :

ƒ y cb (t) : nghiệm cưỡng bức (nghiệm xác lập y xl (t) )

ƒ y td (t) : nghiệm phương trình thuần nhất (nghiệm

tự do)

ƒ Xác định nghiệm xác lập yxl(t)

„ Với vế phải của phương trình vi phân (1) có dạng bất kỳ, nghiệm này thường xác định theo phương pháp hệ số bất định

„ Với tác động lên mạch là tín hiệu DC, AC hay xếp chồng của chúng : ta có thể áp dụng các phương pháp giải mạch xác lập đã học trong môn học Mạch điện I.

ƒ Xác định nghiệm tự do ytd(t)

„ Về mặt toán học , nghiệm này được xác định từ phương trình đặc trưng của mạch Phương trình đặc trưng (PTĐT) xác định từ (1) có dạng :

(2)

Các trường hợp nghiệm của phương trình đặc trưng sẽ cho ta biểu thức của nghiệm tự do Các trường hợp đó là :

ƒ Các trường hợp nghiệm PTĐT

„ Nghiệm thực , phân biệt :

p 1 ,p 2 …, p n

„ Nghiệm bội : p 1 bội r , còn lại là thực, đơn.

„ Nghiệm phức: p 1,2 = - D r jE, còn lại là thực, đơn

y t eD K E t  K E t  ¦ K e

6.2.2 Điều kiện đầu (Sơ kiện)

„ Với phương trình đặc trưng bậc n, các hệ số K i có thể xác định nếu ta biết được các điều kiện đầu (sơ kiện) : y(0 + ) ; y’(0 + ) ; … ; y (n-1) (0 + ) ø.

„ Sơ kiện có hai loại:

„ Sơ kiện độc lập : u c (0 + ) và i L (0 + )

„ Sơ kiện phụ thuộc : các sơ kiện còn lại.

chỉnh

„ Bài toán chỉnh : dùng luật liên tục của dòng qua cuộn dây và áp trên tụ , còn gọi là luật đóng mở (switching laws) :

„ Các giá trị tại t = 0 - được xác định từ việc giải mạch khi t

ƒ Xác định sơ kiện phụ thuộc

„ Thông thường xác định từ ba cơ sở :

„ Sơ kiện độc lập.

„ Giá trị tác động tại t = 0 +

„ Hệ phương trình mô tả mạch tại t = 0 +

„ Quan hệ các sơ kiện phụ thuộc và độc lập.

sơ kiện.

ƒ Quan hệ giữa các sơ kiện phụ thuộc

C





ƒ Bài toán xác định sơ kiện

1 Dựa vào điều kiện làm việc của mạch ở t < 0

(trạng thái năng lượng trước đó ) , xác định các giá trị u C (0 - ) và i L (0 - )

2 Xác định sơ kiện độc lập.

3 Xác định sơ kiện phụ thuộc.

0 0

0 0



 o

­

°

®

°¯

6.2.3 Phương trình đặc trưng mạch

mạch :

„ Viết hệ phương trình vi tích phân

„ Rút gọn theo biến y(t) cần tìm, ta có phương trình vi phân (1)

„ Suy ra phương trình đặc trưng

„ NX: Phương pháp tuy phức tạp và đòi hỏi kinh nghiệm rút gọn mạch nhưng tổng quát cho tất cả các dạng mạch

ƒ Phương pháp đại số hóa sơ đồ để tìm

phương trình đặc trưng

„ Triệt tiêu nguồn độc lập

„ Thay thế : L -> pL ; M -> pM ; C -> 1/pC

„ Do tác động của sơ đồ đại số là 0, nhưng nghiệm tự

do phải khác không , nên đòi hỏi:

„ Z v (p) của một nhánh bằng 0 : đối với dòng điện.

„ Y v (p) giữa hai nút bằng 0 : đối với điện áp.

„ Z ml (p) hay Y n (p) bằng 0 : đối với các dòng mắc lưới hay thế nút.

Đây chính là phương trình đặc trưng

ƒ Lưu ý khi dùng phương pháp đại số hóa

sơ đồ để tìm phương trình đặc trưng

dùng cho áp hay dòng đó.

được cho tất cả các tín hiệu trong mạch

tương hỗ (do không thỏa mãn nguyên lý lập luận của phương pháp này)

hoặc áp trên cửa.

kinh điển trên một số mạch đơn giản

1 Mạch quá độ cấp I - RC

Đóng nguồn áp DC , giá trị E , tại t

= 0 , vào tụ điện C thông qua điện

trở R Tìm điện áp trên tụ u C (t) và

dòng qua tụ i C (t) khi t > 0 ?

ƒ Mạch quá độ cấp I – RC (tt)

„ Nghiệm tự do : Đại số hóa sơ đồ , tìm

ƒ Nhận xét trên mạch cấp I - RC

„ Hằng số thời gian (thời hằng)

mạch RC :

W = RC [s] = [ :].[F]

„ Thời gian quá độ t qđ :

Về mặt lý thuyết , t qđ bằng f

nhưng trên thực tế người ta

2 Mạch quá độ cấp I - RL

„ Đóng nguồn áp DC , giá trị E

vào mạch RL tại t = 0 , ta có :

u L (t) = Ee (-t/ W)

i L (t) = E/R(1- e (-t/ W) )

mạch RL Và thời gian quá độ

3 Mạch quá độ cấp II–RLC nối tiếp

„ Đóng nguồn áp DC , giá trị

E , tại t = 0 , vào mạch RLC

nối tiếp , tìm điện áp trên tụ

u C (t) và dòng qua tụ i C (t) khi

ƒ Mạch quá độ cấp II–RLC (tt)

„ Nghiệm tự do : Đại số hóa sơ đồ , ta có PTĐT :

p2 + (R/L)p + 1/LC = 0 Giả sử PTĐT có 2 nghiệm :

C C



ƒ Dạng tín hiệu ở mạch quá độ cấp II

1 ln

p t

p

ƒ Nhận xét trên mạch cấp II - RLC

„ Điện trở tới hạn Rth ( :):

„ Các chế độ của mạch cấp II

„ Chế độ không dao động (R >

R th )

„ Chế độ tới hạn (R = R th )

„ Chế độ dao động (R < R th )

2

th

L R

C

ƒ Đo điện trở tới hạn Rth

bên:

mạch ở chế độ dao

động.

„ Tăng dần dần VR để có

dạng sóng tới hạn Giá

trị điện trở tới hạn :

R th = VR

VR

C

Máy phát sóng

Dao động ký

L

6.2.5 Một số ví dụ khác

„ Ví dụ 1: Cho mạch điện như

trên hình ,khóa K đóng lúc t

< 0 và mở ra tại t = 0 , xác

định và vẽ dạng điện áp u c (t)

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 1 (tieáp theo 1)

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 2

„ Ví dụ 2: Cho mạch điện như

trên hình , khóa K mở lúc t < 0

và đóng lại tại t = 0 , xác định

và vẽ dạng điện áp u c (t) khi t >

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 2 (tiếp theo 1)

„ Nghiệm tự do : PTĐT là

N ghiệm : p 1 = - 3 ; p 2 = -4 (1/s)

Nghiệm tự do có dạng :

u ctd = K 1 e -3t + K 2 e -4t Nghiệm quá độ toàn phần sẽ là :

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 2 (tieáp theo 2)

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 3

„ Cho khóa K mở lúc t < 0 và

đóng lại tại t = 0 , xác định

và vẽ dạng các dòng điện

60 :

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 3 (tiếp theo 1)

„ Nghiệm tự do : Đại số hóa sđ

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 3 (tieáp theo 2)

„ Sô kieän :

i 1 (0 + ) = i 1 (0 - ) = 2 A.

i 2 (0 + ) = i 12 (0 - ) = 0 A.

' 1 ' 2

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 3 (tieáp theo 3)

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 4

„ Cho K1 chuyển tại t = 0 và

K2 đóng lại t = 0,4(s) ,xác

e(t)

10 V

K2t=0,4 s

( ) 20 2 sin( 45 )o

0 2

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 4 (tieáp theo 1)

2,5 2

1 2

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 4 (tiếp theo 2)

„ Nghiệm tự do : Mạch RC và mạch

( 0,4 )

t t

e(t) 5

0 -5

10

t(ms)

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 5 (tieáp theo 1)

e(t) 5

0 -5

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 5 (tieáp theo 2)

t C

t ms C

_ t=0

1 PF

4i i

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 6 (tiếp theo 1)

Vậy nghiệm xác lập:

„ Nghiệm tự do : Đại số hóa sơ đồ :

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 6 (tieáp theo 2)

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 7 (tiếp theo 1)

„ Khi t > 0 :

„ Nghiệm xác lập : Từ mạch phức

„ Nghiệm tự do : mạch RL

4 1

2 ( ) sin(10 45 )

5

o xl

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 7 (tiếp theo 2)

„ Sơ kiện : Bài toán không chỉnh do

có tập cắt cảm.

(0 ) (0 )

0, 01( 2)

0, 4( )

0, 05

L i i

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 8 (tieáp theo 1)

j I

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 8 (tiếp theo 2)

„ Nghiệm tự do : Đại số hóa sđ

ƒ PP TPKĐ : Ví dụ 8 (tiếp theo 3)

„ Sơ kiện: Bài toán không

chỉnh do hệ số hỗ cảm k = 1

Và:

*

* L

ƒ PP TPKÑ : Ví duï 8 (tieáp theo 4)