Phép biến đổi Fourier Với hàm ft tuyệt đối khả tích, đặc biệt là hàm giải tích của biến p trên trục ảo.. Tích phân Fourier chính là trường hợp giới hạn của chuỗi Fourier đối với các hà
Trang 1CHƯƠNG 17 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FOURIER TÍNH QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ
§1 Phép biến đổi Fourier và các đặc tính phổ
I Phép biến đổi Fourier
Với hàm f(t) tuyệt đối khả tích, đặc biệt là hàm giải tích của biến p trên trục ảo
Lúc đó có thể thay p = jω ta có :
là phép biến đổi Fourier thuận (17-1) )
j ( F dt e
)
t
(
0
t
∫
∞
ω
−
2
= ω ω
π ∞∫
∞
−
ω
−
là phép biến đổi Fourier ngược (17-2) Phép biến đổi Fourier là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace (ta đã
nói đến cách phân tích hàm chu kỳ ra chuỗi Fourier, tức là xác định các thành phần
phổ của hàm gốc các biên độ, các pha các thành phần điều hòa Tích phân Fourier
chính là trường hợp giới hạn của chuỗi Fourier đối với các hàm không chu kỳ)
II Phổ tần - mật độ phổ của hàm f(t)
2
π ∫∞
∞
−
ω
−
ta thấy f(t) là tổng vô hạn những hàm điều hòa có tần số liện tục - ∞ ≤ ω ≤ ∞ (tần số phủ kín cả dải tần số trên)
) j ( dF d
) j (
F
2
1
ω
= ω ω
dF(jω) là phổ của hàm f(t) nó là phổ liên tục, phân bố dày đặc trên trục ω, gọi là
phổ đặc nếu f(t) không chu kỳ, khác với phổ của hàm chu kỳ là phổ vạch, rời rạc
Để tiện tính toán, biểu diễn ta đặc trưng phổ đó bằng hàm ảnh Fourier F(jω) của
gốc f(t)
) j ( F d
d 2 )
j
(
ω π
=
Hàm F(jω) là hàm phức, biến thực ω, thường hữu hạn và phân bố liên tục dày
đặc trên trục số -∞ ≤ ω ≤ ∞
Vậy ảnh Fourier của một hàm f(t) - là mật độ phổ của hàm gốc đó Mật độ phổ
F(jω) có thể biểu diễn dưới các dạng sau đây :
1 Phổ tần biên pha : được biểu diễn dưới dạng
) ( ) ( F e
) ( F )
j
(
(17-5)
F(ω) là phổ biên độ, với f(t) là hàm thực thì F(ω) là hàm chẵn : F(-ω) = F(ω)
ψ(ω) = argF(jω) là phổ pha, nó là hàm lẻ : ψ(-ω) = -ψ(ω)
2 Phổ tần thực - ảo : được biểu diễn dưới dạng
F1(ω) phổ thực, hàm chẵn
Trang 2F2(ω) phổ ảo, hàm lẻ
e ) t ( = − , hãy tìm ảnh Fourier và biểu diễn dưới dạng thực, ảo, biên, pha
a
arctg a
1 a
j a
a a
j
1 e
)
t
(
2 2 2
2 2
2
+ ω
= + ω
ω
− + ω
= + ω
↔
biểu diễn ảnh Fourier dưới dạng thực, ảo như hình 1a,b), dưới dạng biên, pha như hình
(h.17-1c, d)
ω
0 ω
0 ω
0 ω
0
ψ F
F2
F1
h.(17-1d) h.(17-1c)
h.(17-1a) h.(17-1b)
3 Biểu thức quan hệ giữa gốc thời gian và phổ tần
Từ F(jω) = F1(jω) + j F2(jω)
∞
−
ω
ω π
2
1 ) t
0
t j
dt e ) t ( ) j ( F
0 2
0
1( ) (t)cos tdt, F ( ) f(t)sin tdt
F
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
ω ω ω
+ ω ω π
+ ω ω ω
− ω ω
π
=
ω ω +
ω ω
+ ω π
=
d ) t cos ) ( F t sin ) ( F ( 2
1 d ) t sin ) ( F t cos ) ( F (
2
1
)
t
(
d ) t sin j t (cos ) ( jF ) ( F
2
1
)
t
(
2 1
2 1
2 1
2
1
2
π ∫∞
∞
−
(vì hàm lẻ) nên còn :
∫
∞
∞
−
ω ω ω
− ω ω π
2
1
)
t
∫
∞
ω ω ω
− ω ω
π
=
0
2
1( )cos t F ( )sin t)d
F
(
1
)
t
(
2
1
)
t
(
0
2
π
=
0 2 0
F
Như vậy hàm f(t) có thể xác định qua phần thực :
∫
∞
ω ω ω π
=
0
1( )cos td F
2 )
t
f(t) cũng có thể xác định qua phần ảo của mật độ phổ :
Trang 3∞
ω ω ω π
−
=
0
2( )sin td F
2 )
t
Đây là hai công thức cơ sở cho ta phương pháp xác định gốc thời gian f(t) khi
biết phổ tần thực hay ảo của ảnh Biết F1(ω), F2(ω) rồi tính các tích phân bằng phương
pháp gần đúng sẽ cho ra f(t)
III Đặc tính tần truyền đạt :
1 Đặc tính tần truyền đạt :
Khi sơ kiện cũ triệt tiêu, với kích thích ảnh F(jω) sẽ có đáp ứng ảnh X(jω)
Chúng quan hệ tuyến tính với nhau qua hàm truyền đạt :
) j ( F
) j ( X )
j
(
K
ω
ω
=
K(jω) ↔ K(t) : Đặc trưng cho sự truyền đạt từ f(t) đến x(t) Nó chính là đặc tính
tần truyền đạt đã quen ở quá trình chu kỳ K(jω) chỉ phân bố trên trục ảo, nó chỉ tính
chất lựa chọn tần số của mạch Có thể bố trí thí nghiệm để vẽ đặc tính tần của một
mạch cần xét bằng cách cho tác động vào hệ xét kích thích điều hòa có tần số f khác
nhau rồi đo lấy đáp ứng sẽ có đặc tính tần ở các f khác nhau như mô hình ở h.(17-2)
Trong đó hệ xét có thể là những hộp đen
MF âm tần
h.(17-2)
) ( jK ) ( K e
) ( K )
j
(
Đặc tính tần K(jω) chứa tin tức về tính chất, dáng điệu của quá trình trong hệ
nên có thể từ sự phân bố của K(jω) khảo sát quá trình quá độ
2 Quan hệ giữa đặc tính tần truyền đạt với đặc tính thời gian của mạch
Có thể từ quan hệ thời gian với đặc tính tần đã biết xác định được hàm thời gian
tương ứng :
∫
∞
ω ω ω π
−
= ω ω ω
π
=
0 2 0
K
2 )
t
(
K
Biết K1(ω) hoặc K2(ω) có thể thực hiện các phép tích phân gần đúng cho ra K(t)
§2 Về phương pháp toán tử Fourier giải quá trình quá độ
Toán tử Fourier là trường hợp riêng của toán tử Laplace khi thay p = jω Nên có
thể làm hoàn toàn tương tự như phương pháp Laplace để cho ra nghiệm ảnh Fourier
Song nếu chỉ có vậy thì phương pháp Fourier không có gì khác phương pháp Laplace
Có khi còn khó khăn hơn vì bảng ảnh gốc Fourier rất hiếm nên việc xác định gốc khó
khăn Như vậy cái khó khăn của phương pháp Laplace là giải Fn(p) = 0 (trường hợp
Fn(p) bậc cao) cũng sẽ không khắc phục được bởi phương pháp Fourier (Luôn cần
phải giải p vì nếu không cần tìm gốc thì cũng phải xét tính chất nghiệm qua p) Vì vậy
phương pháp Fourier không theo nghĩa là trường hợp riêng của phương pháp Laplace
Trang 4Cái hay của ảnh Fourier là qua ảnh Fourier F(jω) của gốc f(t) ta thấy ảnh Fourier là phân bố theo tần số của gốc Đây chính là cơ sở để ta đưa ra phương pháp vẽ quá trình quá độ theo các phổ tần
∫
∞
ω ω ω π
−
= ω ω ω π
=
0 2 0
F
2 )
t
Từ đó ta có nội dung tinh thần phương pháp Fourier như sau :
Bằng cách nào đó (thường bằng thực nghiệm) đo vẽ được đường cong phổ tần thực F1(ω) hoặc ảo F2(ω) của quá trình
Nếu để nguyên đường cong F1(ω) hoặc F2(ω) thì thực hiện phép tích phân chỉ ra gốc f(t) khó, nên người ta chia F1(ω) hoặc F2(ω) thành tổng những đường cong dạng hình thang vuông, mà mỗi hình đó dễ dàng ứng với một thành phần nghiệm xi(t) có thể tra bảng (người ta lập trước bảng tra) Tổng các xi(t) sẽ là nghiệm x(t) cần tìm