Vậy phép biến đổi Laplace thuận chuyển ánh xạ hàm gốc thực ft thành hàm ảnh Fp biến phức, phân bố trong không gian ảnh, tức là ta có quan hệ dóng đôi : ft ↔ Fp Biến đổi Laplace 16 -1 là
Trang 1CHƯƠNG 16 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE TÍNH QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ
MẠCH TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG
§1 Phép biến đổi Laplace
I Phép biến đổi Laplace thuận
Nếu hàm f(t) hàm biến thực thỏa mãn điều kiện Điriclet thì :
) p ( F dt e
)
t
(
0
pt =
∫
∞
−
Hàm f(t) như vậy gọi là hàm gốc Các phép tính lên hàm gốc là đạo hàm, tích
phân, phân bố trong không gian gốc là hệ phương trình vi phân theo t
Hàm F(p) gọi là hàm ảnh Laplace của gốc f(t), F(p) là hàm biến phức trong đó p
= α + jω
Vậy phép biến đổi Laplace thuận chuyển (ánh xạ) hàm gốc thực f(t) thành hàm
ảnh F(p) biến phức, phân bố trong không gian ảnh, tức là ta có quan hệ dóng đôi :
f(t) ↔ F(p)
Biến đổi Laplace (16 -1) là biến đổi một phía, ảnh của nó không phụ thuộc vào
hàm f(t) ở t < 0
II Phép biến đổi Laplace ngược :
Có công thức Rieman - Mellin để tìm hàm gốc f(t) theo hàm ảnh F(p) như sau :
∫ω
+ α ω
− α
π
j
pt
dp e ) p ( F j 2
1 )
t
công thức (16 -2) gọi là phép biến đổi Laplace ngược
III Các định lý, tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace Các định lý
ảnh gốc :
1 Tính chất tuyến tính :
Ảnh của tổ hợp tuyến tính các hàm fk(t) cũng là một tổ hợp tuyến tính của các
ảnh Fk(p) :
, ) 2 , 1 k , số hằng là a ( , ) p ( F a )
t ( f
a
) p ( F )
t
(
f
k k
k k k
k k
k k
=
↔
↔
∑
∑
2 Ảnh Laplace của đạo hàm hàm gốc :
[ ] [(t)'= 1(t) (t)]'↔? [ ]1(t)' (0)+1(t f'(t)↔? δ(t) (0)+f'(t)↔?
Tìm ảnh Laplace của δ(t):
⎩
⎨
⎧
≠
= δ
= δ δ
=
↔
∫e (t)dt vìe (t) 0(khit)khit t0 0 )
p ( F )
t
0 pt
nên : e (t)dt (t)dt 1 Vậy ảnh Laplace của
0 0
ptδ =∫δ =
∞
−
) t (
δ là 1
Trang 2t
(
δ ↔ 1 nên có δ(t).f(0) ↔ f(0)
0 pt 0
pt
) t ( d e dt e dt
) t ( df ) p ( dt
) t ( df ) t ( ' f Dùng phương pháp phân đoạn để thực hiện tích phân trên :
[ ]
) t ( f v và , dt pe du
có
nên
) t ( d dv còn , e u
Đặt
pt
pt
=
−
=
=
=
−
−
thay vào biểu thức tích phân ta được :
) p ( pF dt ) t ( e p dt ) t ( pe :
còn
) 0 ( 0 ) t ( e , dt ) t ( pe )
t ( e vdu uv
udv
0 pt 0
pt
0 pt 0
pt 0
pt 0
0 0
=
=
−
= +
=
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
∞
∞
Phát biểu là : Ảnh của đạo hàm hạng 1 lên gốc bằng tích p với ảnh hàm gốc đó
trừ đi sơ kiện của gốc (giống ảnh phức của đạo hàm hàm điều hòa bằng tích jω với ảnh
phức hàm điều hòa nào đó; có khác là ảnh phức gắn với bài toán xác lập hình sin nên
không quan tâm đến sơ kiện)
Có thể nói phép đạo hàm lên gốc dóng đôi với phép nhân với p ảnh của gốc đó
trừ đi sơ kiện :
[ ](t) n ↔ pnF(p)−pn−1f(0)−pn−2f'(0)−pn−3f"(0)− −fn−1(0)
Chứng minh được : f(0) = f(-0) nên có
Từ công thức thấy sơ kiện bài toán có trong ảnh của đạo hàm gốc, tức là thông
tin về sơ kiện có trong ảnh của đạo hàm và vì chỉ cần f(-0) nên không phân biệt bài
toán chỉnh hay không chỉnh khi giải quá trình quá độ bằng phương pháp toán tử
Vậy muốn xác định ảnh của đạo hàm gốc cần phải tính sơ kiện của bài toán
3 Ảnh của tích phân gốc :
p
) p ( F ) p ( nên ) p ( p ) p ( F dt
) t ( dt
d ) t (
mà
) p ( )
t
(
) p ( F )
t
(
t 0
t
0
= Φ Φ
=
↔
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Φ
↔
↔
∫
∫
Vậy :
p
) p ( F dt ) t (
t 0
↔
Ta có ảnh của tích phân hàm gốc bằng ảnh của gốc đó chia cho p, hay phép tích
phân lên gốc (ứng) dóng đôi với phép chia ảnh của hàm gốc đó cho p
Trang 34 Định lý dịch gốc (chậm trễ) :
Được mô tả bằng biểu thức (16 -9) :
) p ( F e ) t ( )
t
(
Phép dịch gốc thời gian τ ứng với phép nhân e-p τ
lên ảnh
5 Định lý dịch ảnh :
Được biểu diễn bằng biểu thức (16 -10) :
) p ( F ) t ( e
)
t
(
Phép nhân tlên gốc ứng với phép dịch ảnh một đoạn lên mặt phẳng phức
6 Định lý đồng dạng : Mô tả bởi biểu thức (16 -11) :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
↔
a
p F a
1 ) at
(
)
t
(
7 Định lý tích xếp : Mô tả bởi biểu thức (16 -12) :
) p ( F )
p ( F f
* f d ) t ( f t
(
t
0
2
∫
8 Định lý đạo hàm ảnh : Mô tả bởi biểu thức (16 -13) :
) t ( ) t ( ) p ( F dp
d ), , t ( ) t ( ) p
(
F
dp
n
n
−
↔
−
9 Định lý tích phân ảnh : Mô tả bởi biểu thức (16 -14) :
t
) t ( dp )
p
(
F
0
↔
∫
∞
10 Định lý về các giá trị bờ : Giá trị ở t = 0, t = ∞
) p ( pF lim
) t ( f lim
) p ( pF lim
) t ( lim
0 p t
p 0
t
→
∞
→
∞
→
→
=
=
IV Các dạng ảnh - gốc thường gặp :
1 δ(t) ↔1
2
p
1 dt ) t ( )
t
(
1
t 0
↔ δ
3
a p
1 e
)
t ( 1
−
↔
4
a p
1 e
)
t ( 1
+
↔
−
5
k
k t
p k
p p
A e
−
↔ (dạng ảnh - gốc rất hay gặp)
p
p t
cos
ω +
↔ ω
p t sin
ω +
ω
↔ ω
Từ :
ω
−
↔ ω
+
ω
−
j p
1 e
và j p 1
Trang 4Có : [ j t j t] 2 2
p
p j
p
1 j
p
1 2
1 e
e 2
1 t cos
ω +
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω +
+ ω
−
↔ +
=
p j
p
1 j
p
1 j 2
1 t sin
ω +
ω
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω +
− ω
−
↔ ω
t 0
2 2 t
2 p p
2 tdt
2 t p
1 p p
1 dt
) t ( 1
1 n t
a n 3 t
a
2
2 at
1 n n
4 3
) a p (
! n e
t
; ) a p (
2 e
t
) a p (
1 e
p
! n t
, , p
3 2 t
+
−
−
−
+
+
↔ +
↔
+
↔
↔
↔
at n
) a p (
1
! n
e t
+
−
+
↔
1 n 1
) a p (
A e
)!
1 n
(
t A
+
↔
−
−
−
11
p
E E ) t ( 1
12 E.δ(t) ↔E
0 2
0 0
p
cos sin
p ) t sin(
ω +
Ψ ω
+ Ψ
↔ Ψ + ω
0 2
0 0
p
cos sin
p ) t cos(
ω +
Ψ ω
− Ψ
↔ Ψ + ω
) a p ( t sin e
ω + +
ω
↔ ω
−
) a p (
p t
cos e
ω + +
↔ ω
−
V Tinh thần phương pháp toán tử Laplace giải bài toán quá trình quá độ :
Thực chất việc giải quá trình quá độ là giải hệ phương trình vi phân cho thỏa mãn sơ kiện Thay vì giải phương trình vi phân cho thỏa mãn sơ kiện ta vận dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace để chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ phương trình đại số với ảnh toán tử có chứa sơ kiện rồi giải hệ phương trình đại số này bằng các phương pháp đã học ở CSKTĐ I để cho ra nghiệm ảnh quá trình quá độ F(p) thông thường ta hay xét tính chất, dáng điệu của nghiệm qua phân bố thời gian vì vậy cần biến đổi ngược lại từ nghiệm ảnh vừa giải ra thành nghiệm gốc F(p) → f(t) Vậy theo phương pháp toán tử Laplace giải QTQĐ ta phải giải quyết các việc sau :
1 Chuyển từ gốc sang ảnh : gồm chuyển các kích thích e(t), j(t) và hệ phương trình vi phân mô tả QTQĐ với sơ kiện thành các ảnh Laplace E(p), J(p) và hệ phương trình đại số với biến toán tử có chứa sơ kiện
Trang 52 Giải hệ phương trình đại số với biến toán tử được nghiệm ảnh F(p)
3 Từ nghiệm ảnh F(p) tìm nghiệm gốc f(t) để xét tính chất nghiệm Trên thực
tế cũng có trường hợp yêu cầu thông tin không nhiều, có thể nhận biết qua phân bố
F(p) thì không nhất thiết phải tìm f(t)
Vậy với phương pháp toán tử Laplace là giải quyết vấn đề gốc → ảnh và ngược
lại ảnh → gốc Vấn đề ảnh → gốc là rất quan trọng, nó là khâu khó khăn nhất, không
giải quyết được vấn đề này thì phương pháp toán tử Laplace bất lực
VI Cách tìm gốc theo ảnh Laplace
Có 3 phương pháp để tìm nghiệm gốc theo nghiệm ảnh Laplace
1 Thực hiện phép tích phân ngược (Riman - Mellen) :
∫∞ +
∞
−
π
j a
pt
dp e ) p ( F j 2
1 )
t
(
Việc sử dụng trực tiếp công thức này để xác định hàm gốc f(t) theo hàm ảnh
F(p) nói chung không dễ dàng cho nên trong thực tế kỹ thuật điện hay dùng 2 phương
pháp sau đây :
2 Tra bảng ảnh gốc (có ở các cẩm nang toán, cẩm nang KTĐ)
Theo phương pháp này ta phải có bảng ảnh - gốc (xem phần phụ lục)
3 Dùng công thức khai triển Hêvisaid (định lý phân tích)
Trong trường hợp thông thường ta có nghiệm ảnh Laplace F(p) là một phân thức
hữu tỉ biến p, hệ số thực và bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số(m < n) dạng rút gọn
như :
) p ( F
) p ( F a
p a
p a p a
b p b
p b p b )
p
(
F
n m 0
1 1
n 1 n n n
0 1 1
m 1 m m
+ + + +
+ + + +
−
−
Vì F(p) là một phân thức hữu tỉ nên bằng cách phân tích phân thức hữu tỉ thành
tổng các phân thức tối giản mà mỗi phân thức tối giản dễ dàng tìm được gốc tương ứng
và như vậy sẽ xác định được gốc ứng với phân thức hữu tỉ
Để phân tích phân thức hữu tỉ (16 -16) thành các phân thức tối giản cần giải
nghiệm của đa thức mẫu Fn(p) = 0, được gọi là các điểm cực Trong trường hợp đa thức
có bậc lớn hơn 2 thì việc tìm các điểm cực rất khó khăn Đây chính là hạn chế của
phương pháp toán tử Dưới đây dẫn ra công thức tìm gốc cho ba trường hợp thông
thường của các điểm cực giải từ Fn(p) = 0
a Trường hợp Fn(p) = 0 có n nghiệm thực, đơn : p1, p2, , pk thì :
=
− + +
−
+
−
=
=
k k
k 2
2 1
1 n
m
p p
A p
p
A
p p
A p
p
A )
p ( F
) p ( F )
p
(
Từ phân thức ảnh tối giản
k
k
p p
A
t p k
k
e
A (định lý ảnh - gốc)
−
t p k t
p 2 t p 1 t p k k
p p
A
(16 -18)
Cần phải xác định Ak (gồm A1, A2, , Ak) và với pk đã có khi giải Fn(p) = 0, ta
lắp được gốc Akepkt Có thể xác định Ak bằng phương pháp cân bằng hệ số bất định
Song ta có thể bằng công thức sau đây :
Trang 6Ta nhân 2 vế phương trình (16 -17) với (p - pk) rồi cho p tiến đến pk :
k
k k
2
k 2
1
k 1
k n
m
p p
) p p ( A
p p
) p p ( A p
p
) p p ( A ) p p ( )
p
(
F
)
p
(
F
−
− +
+
−
− +
−
−
=
−
Khi cho p → pk ở vế phải chỉ còn số hạng cuối bằng Ak còn các số hạng trước
đều bằng 0
0
0 lim ) p p ( ) p ( F
) p ( F lim
n
m p p
nghiệm của Fn(p) = 0 nên cho p → pk thì Fn(p) = 0 và p - pk = 0
Dùng quy tắc Lopital để khử dạng vô định ta có :
) p ( ' F
) p ( F ) p ( ' F
) p ( F lim
A
) p ( ' F
) p ( F ) p p ).(
p ( ' F lim )
p ( ' F
' ) p p )(
p ( F lim
A
k n
k m n
m p p k
n
m k m
p p n
k m
p p k
k
k k
=
=
+
−
=
−
=
→
→
→
(16 -19)
) p ( ' F
) p ( F ) p ( ' F
) p ( F lim
A , ) p ( ' F
) p ( F ) p ( ' F
) p ( F lim A
2 n
2 m n
m p p 2
1 n
1 m n
m p p
Vậy khi Fn(p) = 0 có các nghiệm đơn p1, p2, , pk thì
) p ( F
) p ( F ) p ( F
n
m
t p k n
k m t
p 2 n
2 m t p 1 n
1
) p ( ' F
) p ( F
e ) p ( ' F
) p ( F e
) p ( ' F
) p ( F )
t
b Khi F2(p) = 0 có nghiệm phức liên hợp : pk = - α ± jω0 ta coi như hai nghiệm
đơn : pk = - α + jω0 và p*
k = - α - jω0 Aïp dụng công thức trường hợp trên cho hai nghiệm pk và ta xác định được
gốc theo dạng (16 -20) :
∗ k
p
t p k n
k m t p k n
k m n
e ) p ( ' F
) p ( F e
) p ( ' F
) p ( F ) p ( F
) p ( F )
p
(
∗
+
↔
Vì pk và p*
k là liên hợp phức với nhau nên :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∗
∗
t p k n
k m t
p k n
k m t p k n
k
) p ( ' F
) p ( F Re 2 e
) p ( ' F
) p ( F e
) p
(
'
F
) p
(
F
k k k
n
k m
e A A ) p ( ' F
) p ( F
nên được :
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α
− α
−
Ψ + ω α
− ω
α
− Ψ
t cos e A 2 t
sin j t
cos e
A
Re
2
e e A Re 2 e
e e A Re 2 e
) p ( ' F
) p ( F Re
2
0 t
k 0
0 t
k
t j t k t
j t j k t
p k n
k
Vậy khi Fn(p) = 0 có nghiệm phức liên hợp : pk = - α ± jω0 thì có gốc f(t) là :
(ω +Ψ)
=
t cos e A 2 ) t ( )
p
(
c Khi F2(p) = 0 có nghiệm bội : pk bội r
Lúc này phân tích
) p ( F
) p ( F
n m
thành các số hạng tối giản sau đây :
Trang 7r k
kr 1
r k
1 kr 2
r k
2 kr 2
k 2 k
1 n
m
) p p (
A )
p p (
A )
p p (
A
) p p (
A )
p p
(
A
)
p
(
F
)
p
(
F
−
+
−
+
− + +
−
+
−
−
−
(16 -22)
Ta đã có dạng ảnh - gốc :
t p 1 r kr r
k
)!
1 r
A )
p
p
(
−
↔
k
2 t
p 1 k
p p
A
; e A p
p
−
↔
− Cần phải xác định Akr Ta nhân 2 vế (16 -22) với (p - pk)r rồi cho p → pk ta được
biểu thức (16 -23) như sau :
kr 1
r k
r k 1
kr 2
r k
r k 2
kr 2
k
r k 2
k
r k 1
r k
n
) p p (
) p p ( A )
p p (
) p p ( A
) p p (
) p p ( A )
p p (
) p p ( A ) p
p
(
)
p
(
F
)
p
(
−
− +
−
− +
+
−
− +
−
−
=
−
−
kr k
1 kr 2 k 2
kr 2 r k 2
1 r k 1
r k
n
)
p
(
F
)
p
(
Cho p → pk vế phải chỉ còn Akr còn các số hạng khác bằng 0 nên ta có :
r k n
m p p
) p ( F
) p ( F lim
Để xác định Akr-1, ta đạo hàm cả 2 vế phương trình (16 -23) theo p, ta có :
0 A
) p p
(
2
A
) p p )(
2 r A )
p p )(
1 r A )
p
p
(
)
p
(
F
)
p
(
F
1 kr k
2
kr
3 r k 2
2 r k 1
/ r k n
m
+ +
−
+
+ +
−
− +
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
(16 -25)
Cho p → p1, vế phải của biểu thức (16 -25) chỉ còn Akr-1, còn các số hạng khác
bằng 0 nên ta có :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
n
m p
p 1
) p ( F
) p ( F dp
d lim
A
Để xác định Akr-2 ta đạo hàm cả 2 vế của (16 -25) theo p ta có :
0 2 A ) p p (
2 3 A
) p p )(
3 r
)(
2
r
A
) p p )(
2 r )(
1 r A )
p
p
(
)
p
(
F
)
p
(
F
2 kr k
3 kr 4
r k 2
3 r k 1
/ r k n
m
+ +
− +
+
−
−
−
+
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
Cho p → p1, vế phải của biểu thức (16 -27) chỉ còn 2.Akr-1, còn các số hạng khác
bằng 0 nên ta có :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
r k n
m 2
2 p p 2
) p ( F
) p ( F dp
d 2
1 lim A
Để xác định Akr-3 ta đạo hàm tiếp phương trình (16 -27) theo p ta có :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
r k n
m 3
3 p
p 3
) p ( F
) p ( F dp
d
! 3
1 lim A
cứ như vậy tìm các hệ số tiếp theo cho đến :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
k n
m 1 r
1 r p
p
) p ( F
) p ( F dp
d )!
1 r
1 lim
A
Sau khi có các Akr rồi ta xác định gốc là :
Trang 8Vì lr r 1 p t
r 1
)!
1 r
A )
p
p
(
−
↔
t p 1 r kr 2
3 2
1
t p 1 r kr t
p 2 3 t
p 2 t
p 1
k
k k
k k
e t )!
1 r
A
t
! 2
A t
!
1
A
A
e t )!
1 r
A
e t
! 2
A e
! 1
A e
!
0
A
)
t
(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− + + +
+
=
− + + +
+
=
−
−
Ta thường gặp Fn(p) bậc 2 nên Fn(p) = 0 có thể có nghiệm kép pk (bội r = 2) Lúc này
nghiệm ảnh là
k
22 k
21 2
1
p p
A p
p
A ) p ( F
) p ( F ) p ( F
−
+
−
=
= Tính được :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
−
=
→
→
2 k 2
1 p
p 21 2
k 2
1
p
p
) p ( F
) p ( F dp
d lim A
và ) 32 16 ( ) p p ( ) p ( F
) p ( F
lim
A
k k
(16 -33)
22 21
k
e
)
t A A ) t
) 3 p ( p
) 2 p ( ) p (
+
+
3 p
kép nghiệm và
, 0 p đơn nghiệm 0
) 3 p ( p )
p
(
) 3 p ( p 2 ) 3 p ( )
p
(
'
- Khi F2(p) = 0 có nghiệm đơn p1= 0 tương ứng có gốc dạng:A1ept = A1e0.t = A1
Xác định
9
2 ) 3 p ( p 2 ) 3 p (
2 p lim
) p ( ' F
) p ( F lim
2
1 0 p
+ +
+
+
=
- Khi F2(p) = 0 có nghiệm kép p2,3 = -3(p = -3, bội r = 2) Xác định :
9
2 p
) 2 p ( p lim
) p p ( ) p ( F
) p ( F dp
d lim
A
3
1 3
2 3 )
3 p ( ) 3 p ( p
2 p lim
) p p ( ) p ( F
) p ( F lim
A
2 3
p r
l 2
1 p
p 1
l
2 2
3 p r
l 2
1 p p 2
l
l
l
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
=
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ +
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
−
→
→
−
→
→
2 l t 3 1
l e A e
e 3
1 e
9
2 9
2 ) t (
Ví dụ 2 : Xác định gốc u(t) của ảnh :
34 p 6 p
4 p 4 )
p (
+ +
+
=
) ' 50 21 t 5 cos(
e 3 , 4 ) ' 50 21 t 5 cos(
e A 2 ) t ( u
:
gốc
Được
' 50 21 15 , 2 j
10
j 20 8 ) p ( ' F
) p ( F
A
Tính
j 20 8 4 ) 5 j 3 ( 4 ) p ( F , 10 6 ) 5 j 3 ( 2 ) p ( ' F , 6 p
2
)
p
(
'
F
5 j 3 p
được 34 p 6 p 0 )
p
(
F
Giải
o t
3 o
t 3 k
o 1
2
1 1 k
1 1 1
2 2
2 , 1 2
2
+
= +
=
〈
= +
−
=
=
+
−
= + +
−
=
= + +
−
= +
=
±
−
= +
+
=
=
−
−
§2 Nội dung phương pháp toán tử Laplace tính quá trình quá độ mạch
tuyến tính :
Trang 9Từ tinh thần phương pháp toán tử Laplace đã nêu ở mục trên, ta thấy có thể giải
QTQĐ theo các bước :
1 Chuyển nguồn kích thích thời gian và hệ phương trình vi phân mô tả quá
trình quá độ với sơ kiện thành hệ phương trình đại số ảnh toán tử có chứa sơ kiện Việc
làm này thực chất là vận dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace để đại số hóa hệ
phương trình vi phân
2 Giải hệ phương trình đại số với ảnh toán tử bằng các phương pháp cơ bản đã
học như phương pháp dòng nhánh, dòng điện vòng, thế đỉnh hoặc biến đổi tương
đương để tính các nghiệm ảnh
3 Tìm các nghiệm gốc tương ứng các nghiệm ảnh
Theo trình tự trên ta thấy cần phải lập hệ phương trình vi phân môt tả QTQĐ rồi mới
đại số hóa nó thành hệ phương trình đại số với ảnh toán tử Để tránh việc phải viết hệ
phương trình vi phân và sử dụng được tính ưu việt của mô hình mạch là có thể vẽ ra
các sơ đồ mạch để biểu diễn và từ đó lập ngay hệ phương trình đại số tính mạch, ta đưa
ra khái niệm về sơ đồ toán tử Laplace mô tả QTQĐ của mạch điện Việc dẫn ra sơ đồ
toán tử này chính là đại số hóa trên sơ đồ để hệ phương trình viết theo sơ đồ này là hệ
phương trình đại số
I Sơ đồ toán tử của mạch :
R
Chúng ta đã biết quan hệ giữa 2 biến u và i trên
một vùng năng lượng - chính là định luật Ohm - nói lên
phản ứng của vùng năng lượng đó Vậy quan hệ giữa ảnh
điện áp U(p) với ảnh dòng điện I(p) của vùng năng lượng
chỉ rõ phản ứng toán tử của vùng năng lượng Ta dẫn ra
phản ứng của các vùng năng lượng được đặc trưng bởi các
phần tử R, L, C
U(p) I(p)
h.16 -1
1 Với điện trở R :
Từ phương trình trạng thái theo thời gian là : uR(t) = R.iR(t) chuyển sang ảnh
toán tử Laplace:
) p ( I )
t
(
i
) p ( U )
t
(
u
R R
R R
↔
↔
Có phương trình trạng thái ảnh toán tử :
) p ( U g R
) p ( U ) p ( hay ) p ( I R ) p
(
R
Vậy điện trở trong sơ đồ toán tử vẫn là R như
biểu diễn hình học như hình (h.16 -1) hoặc có thể biểu
diễn bằng điện dẫn
R
1
L
UL(p)
IL(p)
LiL(-0)
2 Với điện cảm L :
dt
di L
Trang 10) p ( I )
t
(
i
) p ( U )
t
(
u
L L
L L
↔
↔
Có phương trình ảnh toán tử :
[pI (p) i ( 0)] Lp.I (p) Li ( 0) L
)
p
(
Sơ đồ thay thế mạch nghiệm đúng phương trình trên chính là sơ đồ toán tử của
cuộn cảm L, có L.iL(-0) là lượng đã biết nó như nguồn áp gọi là nguồn sơ kiện Nó là
tin tức nói lên quá trình cũ tác động vào mạch sau đóng mở Biểu diễn ở hình (h.16 -2)
Sơ đồ trên giống như sơ đồ nguồn áp Têvênin, như vậy có thể xác định sơ đồ
nguồn dòng Norton tương ứng
Thật vậy giải phương trình (16 -36) IL(p) theo UL(p) ta có :
p
) 0 ( i Lp
) p ( U )
p
(
L
− +
p
) 0 (
iL −
đã biết như là nguồn dòng gọi là nguồn dòng sơ kiện, sơ đồ toán tử như hình (h.16 -3)
pL
iL(-0) /p
IL(p)
UL(p)
Vậy có thể biểu diễn L dưới dạng sơ đồ toán tử nối
tiếp hay song song, chỉ cần ta thay L bằng pL rồi nối tiếp
với nguồn áp sơ kiện LiL(-0) Hay thay L bằng pL nối
song song với nguồn dòng sơ kiện
p
) 0 (
iL −
(Lưu ý : chiều của các nguồn sơ kiện cùng chiều dòng IL(p))
h.16 -3
C
1/pC
UC(p) h.(16 -4a)
uC(-0)
IC(p)
3 Với điện dung C :
Từ phương trình trạng thái thời gian :
dt
du C
Chuyển sang dạng ảnh :
) p ( I ) t ( i
) p ( U ) t ( u
C C
C C
↔
↔
Được phương trình trạng thái ảnh theo dòng điện là :
[pU (p) u ( 0)] pCU (p) Cu ( 0)
C
)
p
(
Trong đó CuC(-0) là nguồn sơ kiện, sơ đồ toán tử như hình (h.16 -4a)
Phương trình trạng thái ảnh theo điện áp là :
p
) 0 ( u pC
) p ( I ) p
(
C
− +
p
) 0 (
uC −
là nguồn sơ kiện sơ đồ toán tử
UC(p)
IC(p)
Để có sơ đồ toán tử của tụ C, ta thay C bằng 1/pC
nối song song với nguồn dòng CuC(-0) Hoặc thay C
bằng 1/pC nối tiếp với nguồn áp sơ kiện
p
) 0 (
uC −
( Chú ý nguồn sơ kiện có chiều ngược chiều dòng IC(p))
h.(16 -4b)