On tap chuong ii hinh 7docx tjcdj

CHỦ ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG II Bài 1 Cho tam giác có , Lấy điểm trên cạnh AC của tam giác sao cho Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt tại a) Tính và b) Phân giác của góc cắt ở Chứng minh rằng c) Chứng min[.]

CHỦ ĐỀ: ÔN TẬP CHƯƠNG II

Bài 1: Cho tam giác ABC có A 600, C  400 Lấy điểm Dtrên cạnh AC của tam giác sao cho BDC  1200 Qua Dkẻ đường thẳng song song vớiBC , cắtAB tại E

a) Tính BED và BDE

b) Phân giác của góc BDC cắt BC ở F Chứng minh rằng DF/ /AB

c) Chứng minh rằng DF BE

d) Chứng minh rằng hai đoạn thẳng BD và EF cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó

Giải

O

D

C B

A

F E

a) Vì ED BC/ /  ADE C  400 (hai góc so le trong)

Xét AED có BED A ADE    (Định lí góc ngoài tam giác)

 60 0 40 0 100 0

BED

Xét BDC có DBC BDC C    1800 (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

 180 0    180 0 120 0 40 0 20 0

BDE DBC

   (hai góc so le trong và ED BC/ / )

b) Vì DF là phân giác BDC

FDC BAC

Mà hai góc ở vị trí đồng vị tạo bởi đường thẳng AC cắt hai đường thẳng ABvàDF

/ /

DF AB



c) Xét DEF và BFE có:

DEF EFB(hai góc so le trong và ED BC/ / )

FE là cạnh chung

EFD FEB (hai góc so le trong và DF/ /AB)

DEF BFE

   (g.c.g)

DF BE

  (hai cạnh tương ứng)

d) Theo câu c ta có: DEF BFE DE BF

Xét EODvà FOB có:

OED OFB (hai góc so le trong và ED BC/ / )

ED BF (chứng minh trên)

ODE OBF (hai góc so le trong và DE/ / BC)

EOD FOB

   (g.c.g)

O ;

OE F OD OB

   (các cặp cạnh tương ứng)

hay hai đoạn thẳng BD và EF cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó

Bài 2:

Cho tam giác ABC có AB = AC =10cm, BC = 12cm Vẽ AH vuông góc BC tại H

a) Chứng minh:ABC cân

b) Chứng minh AHBAHC , từ đó chứng minh AH là tia phân giác của góc A

c) Từ H vẽ HM AB (M AB)và kẻ HN AC (NAC)

Chứng minh : BHM =HCN

d) Tính độ dài AH

e) Từ B kẻ Bx AB, từ C kẻ Cy  AC chúng cắt nhau tại O Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?

Giải

a) Xét ABC có AB = AC =10cm (gt)

Vậy  ABC cân tại A

b) AHB và AHC có: AHB AHC   90 0

AB = AC (gt)

AH: cạnh chung

Do đó AHBAHC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> BAH CAH  => AH là tia phân giác của góc A

c) BHM và HCN có: BMH CNH   900

 

B C (ABC cân tại A)

BH = HC ( AHBAHC )

Do đóBHM =HCN (cạnh huyền-góc nhọn)

d) Ta có BH = HC=

12 6

BC

cm

AHB vuông tại H, theo Pytago ta có:

AB AH HB

Hay 102 AH2 62

2 10 2 6 2 100 36 64

AH     

=> AH = 64 8 cm

e)OBC có:

 90 0 

CBO  ABC

 90 0 

BCO  ACB

Mà ABCACB (  ABC cân tại A)

Do đó: CBO BCO  nên OBC cân tại O

Bài 3

Cho tam giác ABC có CA = CB = 13cm, AB = 10cm Kẻ tia phân giác CI của C (I AB)

a) Chứng minh: ABC cân (1đ)

b) Chứng minh ACI BCI từ đó suy ra CIA CIB   (2đ)

c) Chứng minh: CI  AB (1đ)

d) Tính độ dài IC (1đ)

e) Kẻ IH vuông góc với AC (H AC), kẻ IK vuông góc với BC (K BC)

So sánh IH và IK (1.5đ)

Giải

a) Xét ABC có CA = CB =13cm (gt) Vậy  ABC cân tại A

b) ACI và BCI có:

CA = CB (  ABC cân tại A)

ACI BCI (gt)

CI: cạnh chung

Do đó ACI = BCI (cạnh –góc- cạnh)

=> CIA CIB 

c)Ta có CIA CIB  (theo b))

Mà CIA CIB   1800 (kề bù)

Nên

90 2

CIA CIB  

Hay CI  AB

d) Ta có IA = IB=

10 5

AB

cm

ACI vuông tại I, theo Pytago ta có:

AC AI IC

Hay 132  52IC2

2 13 2 5 2 169 25 144

IC     

=> IC = 144 12  cm

e)CHI và CKI có:

  90 0

CHI CKI 

HCI KCI (CI là phân giác góc C)

CI : cạnh chung

Do đóCHI = CKI (cạnh huyền-góc nhọn)

=> IH = IK

BÀi 4:

Cho tam giácABCcóAB BC , lấyM là trung điểmBC

a) Chứng minh ABM ACM

b) Kẻ MEAB tạiE , kẻ MF AC tạiF Chứng mínhAEAF

c) GọiK là trung điểm củaEF Chứng minh ba điểmA,K ,M thẳng hàng

d) Từ C kẻ đường thẳng song song vớiAM cắt tiaBAtạiD Chứng minhA là trung điểm củaBD

Giải

a) Xét AMB và ACMcó:

AB AC(gt)

BM CM (do M là trung điểm củaBC )

ABM ACM c.c.c

b) Vì    90

o

E

Vì MF AC ( gt ) MFC 90o  MFC vuông tạiF

Vì ABM ACM cmt   B C   3

Từ      1 2, , 3 suy ra BME CMF

Xét EBM và FCMcó:

   

BME CMF

BM CM EBM FCM ( g.c.g )

B C









cmt cmt cmt  EB EC (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

AB AE EB AE AB EB

AC AF FC AF AC FC AE AF

AB AC ,EB EC







c) Xét AEKvà AFKcó:

AEAF cmt

EK FK (doK là trung điểm EF)

AEK AFK c.c.c

    EAK FAK (2 góc tương ứng)

 AKlà tia phân giác của EAF  AKlà tia phân giác của BAC

Vì ABM ACM cmt   BAM CAM (2 góc tương ứng) AM là tia phân giác của

BAC

Từ    4 , 5 ta suy ra tiaAKvàAM trùng nhau Ba điểmA,K ,M thẳng hàng

d) Ta có ABM ACMcmt  AMBAMC (2 góc t/ư)

Mà AMB AMC 180 (2 góc kề bù)

90 2





Có AM BC,CD / / AM  CDBC.

Từ A kẻ AI CD I CD   Ta có:

 

AI CD

BC CD gt





IAC ACB slt

AI BC

DAI ABC dv







Mà ACBABC cmt  IAC DAI 

Xét AIC & AID có

90o AIC AID

AI chung AIC AID g.c.g AC AD

IAC DAI cmt









Vì ABM ACM cmt  AB AC mà ACAD  AB AD mà A CD (gt)

A

 là trung điểm của BD

Bài 5:

Cho hình vẽ bên, biết ∆ABC vuông tại A, AHBC (HBC)

AB = 9cm, AH = 7,2cm, HC = 9,6cm

a/ Tính cạnh AC

b/ Chứng minh tích các cạnh : AH.BC = AB.AC

Giải

a/ Ta có : ∆AHC vuông tại H

theo định lý Pytago có

2 2 2 7, 2 2 9,6 2 144

144 12

AC AH HC

AC

b/ ABC vuông tại A, có:

9,6

9 7,2

H

A

2 2 2

9 12 225

225 15

BC AB AC

BC

Có AH.BC = 7,2.15 = 108

AB.AC = 9.12 = 108

Vậy AH.BC = AB.AC

Bài 6

Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ BD vuông góc với AC (DAC) Kẻ CE vuông góc với

AB (EAB) BD và CE cắt nhau tại I

a Chứng minh rằng: BDC = CEB

b So sánh IBE ICD 

c Đường thẳng AI cắt BC tại H Chứng minh rằng: AI vuông góc với BC tại H

d Chứng minh rằng: ED // BC

Giải

B

A

H

I

C

a Hai tam giác vuông BDC và CEB có:

BC cạnh chung ;

C = B( ABC cân tại A)

=> BDC = CEB ( cạnh huyền ,góc nhọn)

b Hai tam giác vuông ADB và AEC có:

AB = AC( ABC cân tại A) ; A chung

=>ADB = AEC ( cạnh huyền ,góc nhọn)

 ABD ACE  (hai góc tương ứng)

Hay IBE ICD 

c.Hai tam giác vuông AEI và ADI có:

AI : cạnh chung, AE = AD( ADB = AEC)=> AEI = ADI

( cạnh huyền, cạnh góc vuông)  A =A 2  2( hai góc tương ứng)

AHB = AHC có: A =A ;  2  2 B=C( ABC cân tại A) =>   AHB=AHC 

Mà AHB+AHC = 180  0 (hai góc kề bù)

Suy ra AHB=AHC= 90  0 Vậy AH  BC

d Ta có: AE = AD( ADB = AEC) => ADE cân tại A

=>

 180 - A0 

AED =

2 (1) Mà ABC cân tại A nên

 180 - A0  ABC =

2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ADE = ABC 

Bài 7

Cho  ABC cân tại A Phân giác AM (M  BC), Vẽ BH  AC (H  AC), CK  AB (K

 AB)

a Chứng minh rằng  AMB =  AMC

b Chứng minh rằng BH = CK

Giải

a) Xét  AMB và  AMC có:

AB = AC (gt)

 

1 2

A A (gt)

AM chung

  AMB =  AMC (c.g.c)

b) Xét  ABH và  ACK có

AHB AKC 

AB = AC (gt)

A chung

Suy ra  ABH =  ACK (cạnh huyền – góc nhọn)

 BH = CK

Bài 8

Cho tam giác ABC có góc A= 1200 , phân giác AD Từ D kẻ những đường thẳng vuông góc với AB và AC lần lượt cắt AB ; AC ở E và F Trên EB và FC lấy các điểm K và I sao cho EK = FI

a) Chứng minh DEF đều

b) Chứng minh DIK cân

c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại M

Chứng minh MAC đều Tính AD theo CM = m và CF = n

a)

 DEA =  DFA (Cạnh huyền - góc nhọn)

 DE = DF ; D1  D2 30  0  EDF = 600

  DEF đều

b)

DEK = DFI  DK = DI  DIK cân

c) M A1  600(đồng vị)

C A2= 600 (so le trong)   AMC đều

CM = CA = m  AF = CA – CF = m – n

AF = AD  AD = 2AF = 2(m – n)

Bài 9 : Cho Ot là tia phân giác của góc xOy (xOy là góc nhọn) Lấy I bất kỳ thuộc

Ot Qua I kẻ IA vuông góc với Ox tại A và AI cắt Oy tại D Qua I kẻ IB vuông góc với

Oy tại Bvà IB cắt Ox tại C

a/ Chứng minh rằng : OIA =OIB

b/ Chứng minh rằng : OIC =OID và OC = OD

c/ OICD

d/ Cho xOy 600 ; OI = 8cm Tính OA

Giải

a/ Chứng minh rằng: OIA =OIB (Ch- gn)

b/ Chứng minh rằng : OIC =OID và OC = OD

-Chứng minh được góc OIC = góc OID

- Chứng minh OIC =OID (g-c-g)

Và chỉ ra OC = OD (Cạnh tương ứng) (0.5đ)

c/ OICD

B

M

D

E

F

K

I

2

1

- Chứng minh OKC =OKD (c-g-c)

- Chỉ ra được góc OKC = góc OKD

- Chứng minh được Góc K vuông và kết luận OI vuông với CD

d/ Cho xOy 600 ; OI = 8cm Tính OA

- Chỉ ra được góc ACI = 300

- Suy ra IA=1/2 IC = 4cm

- Áp dụng Pitago tính được OA = OI2 IA2  82  42  64 16 = 50cm

BÀI 9

Cho tam giác ABC vuông tại B, có BAC 650 Trên cạnh AC lấy M sao cho ABAM Goi I

là trung điểm của BM, AI cắt BC tại K

a) Tính số đo của ACB

b) Chứng minh: ABI = AMI và AK BM

c) Chứng minh: KA là tia phân giác của BKM

d) Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BDMC Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

, ,

M K D

Giải

a) Xét ABC có:

ABC BAC ACB   1800 (Tổng ba góc trong tam

giác)

Thay 900 650ACB 1800

1550ACB 1800

ACB 250 Vậy ACB 250

b) * Xét ABI và AMI có:

AB AM (gt)

BI IM (do I là trung điểm của BM)

ABI AMI c c c

Vì ABI AMI  AIBAIM (2 góc tương ứng)

Mà AIB AIM  1800(kề bù)

90 2

AIB AIM

AK BM

c) Vì ABI AMI  BAI MAI (2 góc tương ứng) hay BAK MAK 

Xét ABKvà AMK có

ABAM (gt)

BAK MAK  (cmt)

AK chung

ABK AMK c g c

      BKA MKA  (2 góc tương ứng)

Hay KA là tia phân giác của BKM

Vì ABK AMK  BK MK (2 cạnh tương ứng) và ABK AMK (2 góc tương ứng)

Mà ABK 900  AMK  90 0 hay CMK  900

Xét BKD và MKCcó:

BK MK

BD MC

(gt) KBD CMK   900

BKD MKC c g c

      BKD MKC  (2 góc tương ứng)

Mà MKC MKB   1800 BKD MKB  1800  3 điểm M K D, , thẳng hàng (đpcm)

BÀI 10 :

Cho tam giác ABC có ABAC Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC

a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác ACM bằng nhau

b) Lấy D là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AM Chứng minh: DB DC 

c) Lấy I sao cho M là trung điểm của DI Chứng minh: CB là phân giác của góc . DCI .

Giải

a) Xét ABM và ACM có:

ABAC (gt)

MB MC (vì M là trung điểm của BC )

AM chung

ABM AC M c c c

b) Vì ABM ACM (cmt)  BAM CAM (hai góc t/ư)

Hay BAD CAD 

I

M

A

D

Xét ABD và ACD có:

 

chung

gt

BAD CAD ABD ACD c g c

A

AB C

D











DB DC

  (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

c) Vì ABM = ACM (cmt) nên BMA CMA  (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

Mà BMA CMA  1800(hai góc kề bù)

 BMA CMA   900

 AM BC tại M DMC IMC  900

Xét DMC và IMC có

 

gt

chung

MD

D

MI

MC IMC

CM















DMC IMC c g c

DCM ICM

  (Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

CB

 là phân giác của góc DCI (đpcm)