Bai tap on tap chuong ii hinh hoc 9 chon loc co loi giai

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II HÌNH HỌC 9 I CÂU HỎI 1 Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? Nếu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác, n[.]

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II HÌNH HỌC 9

I CÂU HỎI

1 Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? Nếu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

2 Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác, nêu các xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác

3 Chỉ rõ tâm đối xứng của đường tròn, trục đứng đối xứng của đường tròn

4 Chứng minh định lí: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

5 Phát biểu định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

6 Phát biểu định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ dây đến tâm

7 Nêu các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, tương ứng với mỗi vị trí đó, viết

hệ thức giữa d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) và R (bán kính của đường tròn)

8 Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn Phát biểu tính chất của tiếp tuyến và dấu

hiệu nhận biết tiếp tuyến Phát biểu các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

9 Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa đoạn

nối tâm d với các bán kính R, r

10 Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm?

Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm

Giải

1 Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tam cách đều đỉnh của tam giác Muốn xác định tâm của đườn tròn ngoại tiếp tam giác ta chỉ việc kẻ các đường trung trực của tam giác, giao điểm của các đường trung trực sẽ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

2 Đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác cách đều 3 cạnh của tam giác Muốn xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, ta kẻ các đường phân giác trong của tam giác, giao điểm

của các đường phân giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác

3 Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn Mỗi đường kính là một trục đối xứng của đường tròn

4 Chứng minh đường kính là dây lớn nhất của đường tròn

Chứng minh

Với đường tròn tâm O, bán kính R, dây AB không đi qua tâm O

Nối A và B với O ta có AOB

Theo định lí: “Trong một tam giác tổng số đo của hai cạnh bao giờ

cũng lớn hơn số đo của cạnh còn lại” Do đó: OA OB   R R AB mà R R Đường kính Vậy: bất kỳ đường kính nào cũng lớn hơn dây không đi qua tâm của đường tròn

5 Định lí về đường kính vuông góc với dây cung Trong một đường tròn, đường kính vuông

góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó

6 Trong một đường tròn: Hai dây không bằng nhau, dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và

ngược lại

7 Giữa đường thẳng vào đường tròn có 3 vị trí tương đối:

 Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung Trường

hợp này Rd là tức là OHR

AB là cát tuyết của đường tròn  O

 Đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung

Đường thẳng xy và đường tròn  O có số điểm chung là

A A là tiếp điểm, xy là tiếp tuyến của  O

OA d R

d R

 Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung

dOAOBBA R BA

 d R

7 Ba vị trí tương đối của hai đường tròn Hai đường tròn

không trùng nhau (phân biệt) có 3 vị trí tương đối:

 Hai đường tròn có hai điểm chung gọi là hai đường tròn

cắt nhau

   O  O A và B A và B gọi là giao điểm của  O và  O AB gọi là dây chung, OOlà đoạn nối tâm

 Hai đường tròn có một điểm chung

OO OA O A   R r OO  R r

8 Khi đường thẳng và đường tròn có chung một điểm thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến

cuả đường tròn, điểm chung giữa đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp điểm

Có 2 dấu hiệu để nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn

a) Nếu một đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

b) Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến một đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

Dấu hiệu nhận biết b) được phát biểu thành định lí:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn

Tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

 Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

 Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

 Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm

9 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm Hai giao điểm của

hai đường tròn cắt nhau thì đối xứng với nhau qua đường nối tâm

II BÀI TẬP

Bài 1: (41/128/SGK T1)

Cho đường tròn  O có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H Gọi E, F theo thứ

tự là chân đường vuông kẻ từ H đến AB và AC Gọi  I và  K theo thứ tự từ các đường tròn ngoại tiếp HBE, HCF

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn  I và  O ,  K và  O ,  I và  K

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức AE AB AF AC.

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  I và  K

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất

Giải

GT  O đường kính BC dây AD

ADBC

HEAB EAB

HFAC FAC

 I là đường kính BH

 K là đường kính HC

KL * Vị trí tương đối  I và  O ,  K và  O ,  I và

 K

* AFHE là hình chữ nhật

* AE AB AF AC.

* EF là tiếp tuyến chung của  I và  K

* Vị trí của H để EF lớn nhất

a) Xác định vị trí tương đối  I và  O

Đường nối tâm OIOBIB I tiếp xúc trong  O

Đường nối tâm của đường  O và  K là OKOCKC  R r  K tiếp xúc trong với  O

tại C

Đường nối tâm của  I và  K là IKKHIH  R r  I và  K tiếp xúc ngoài tại H

b) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật

Đường tròn  O ngoại tiếp có đường kính BC, tâm là trung điểm O thuộc cạnh BC của ABC

nên ABCvuông tại A (Theo định lí: Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của

đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông) EAF 90  1

Tương tự như trên ta có: HFC 90  AFH 90  (vì kề bù với HFC 90 )  2

Và HEA 90  (vì kề bù với BEH 90 )  3

Từ  1 ,  2 ,  3 ta có AFHE là hình chữ nhật ( Theo dấu hiệu: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật)

c) Chứng minh đẳng thức AE AB AF AC.

Câu này thuộc thể loại chứng minh tích nọ bằng tích kia Có nhiều cách chứng minh tích nọ bằng tích kia

 Vận định lí Ta – lét

 Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác

 Vận dụng định lí về ba trường hợp đồng dạng của tam giác

 Vận dụng các dịnh lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông

Muốn chứng minh AE AB AF AC.

Muốn chứng minh được dạng thức này ta sử dụng định lí trong hệ thức lượng trong tam giác vuông “Trong một ta giác vông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền

và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền”

AHB

 vuông tại H nên 2

.

AH AB AE  4

AHC

 vuông tại H (giả thiết) nên 2

.

AH  AC AF  5

Từ  4 và  5 ta có AE AB AF AC.

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  I và  K

Muốn chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  I và  K ta phải vận dụng hai dấu hiệu nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn:

a Nếu một dường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn

b Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

Vận dụng dấu hiệu này để chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  I và  K

ta phải chứng minh được IEEFvà KFEF Viết IEEF và KFEF là chưa chuẩn xác,

mà phải viết là EFIEvà EFKFmới chuẩn xác Các cháu học hãy giải thích vì sao vậy?

Có nhiều cách chứng minh EFIE Với giả thiếtAH BC(vì AH là tiếp tuyến của  I và

 K a chứ minh IEQ (Q là giao điểm của AH và EF) bằng IHQ

IEQ

 và IHQcó

 

(v× cïng b¸n kÝnh cña )

(c¹nh chung)

(hai nöa ®­êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AFHE)

IQ IQ

EQ HQ









    (c.c.c)

IEQ IHQ

  (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau

mà IHQ 90 nên IEQ 90  hay EFIE  6

Chứng minh tương tự cũng được KFQ KHQ

90

KFQ KHQ EF KF

Từ  6 và  7 ta có EF là tiếp tuyến chung ngoài của  I và  K (Dấu hiệu nhận biết)

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất

Muốn xác định được vị trí của H để đoạn EF có độ dài lớn nhất ta phải sử dụng những kiến thức cơ bản nói về lớn nhất: có khá nhiều kiến thức nói lên sự so sánh độ dài Ví dụ:

* Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất

* Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính v.v…

Với bài này ta nên dùng định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

Do AFHE là hình chữ nhật (chứng minh trên) nên EF AH (Tính chất đường chéo của hình chữ nhật: Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau) Mà AHOA R (R là nửa của

đường kính là dây lớn nhất)

Do đó EF lớn nhất EFOA R không đổi AHOA Bất đẳng thức này xảy ra đường kính là dây lớn nhất)

Do đó EF lớn nhất EFOA R không đổi AHOA Bất đẳng thức này xảy ra đẳng thức AHOA R HO

Vậy khi ADBCtại O thì EF có độ dài lớn nhất

Bài 2: (42/128/SGK T1)

Cho hai đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B O ,

 

C O Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M Gọi E là giao điểm OM và AB, F là giao điểm của OM và AC

a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật

b) Chứng minh tính ME MO MF MO 

c) Chứng minh OO là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO

Giải

GT  O tiếp xúc  O tại A

OO OA O A  

BC là tiếp tuyến chung ngoài

của  O và  O

Tiếp tuyến chung trong tại A cắt

BC tại M

OMABE

O M ACF

KL * AEMF chữ nhật

* ME MO MF MO 

* OOlà tiếp tuyến của M MB; 

* BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO

a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật

Có 4 cách chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật

Cách 1:

AM và BM là hai tiếp tuyến của đường tròn  O nên MO là tia phân giác của AMB

Tương tự cũng MOcó là tia phân giác của AMC Mà và AMClà hai góc kề bù nên MOMO (Theo định lí: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau) EMF 90  1

AOB

 có OAOB (bán kính của một đường tròn  AOB cân tại O (Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân) mà MO là tia phân giác của AOB (Theo định lí: Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm) nên OM lại là đường cao thuộc đáy AB

90

AEM

    2

Chứng minh tương tự cũng được AFM  90  3

Từ  1 ,  2 ,  3 ta được AEMF là hình chữ nhật (Theo dấu hiệu 1: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật)

Cách 2:

MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn  O cắt nhau tại M nên theo định lí:

“Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

* Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

* Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

* Tia kẻ từ tõm đi qua điểm đú là tia phõn giỏc của gúc tạo bởi hai bỏn kớnh đi qua tiếp điểm

Do đú MO là tia phõn giỏc của AMB, MOcú là tia phõn giỏc của AMC Mà AMBvà AMClà hai gúc kề bự nờn MO MO

AOB

 cõn tại O (vỡ OAOBR) nờn tia phõn giỏc OM lại là đường cao thuộc đỏy AB)

// AB (cùng vuông góc với OM)

Tương tự cũng có EM // AF

MO





AEMF

 là hỡnh bỡnh hành (Theo dấu hiệu 3: Hỡnh bỡnh hành cú 1 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật)

Cỏc chỏu học sinh hóy chứng minh AEMF là hỡnh chữ nhật bằng hai cỏch cũn lại

b) Chứng minh đẳng thức ME MO MF MO 

Cú nhiều cỏch chứng minh tớch này bằng tớch kia như đó điểm ở cỏc bài trờn

Bài này dựa vào giả thiết: “Tiếp tuyến”, đó cú tiếp tuyến là cú vuụng gúc, từ vuụng gúc này dẫn đến sự liờn hệ giữa cỏc yếu tố trong tam giỏc vuụng

AOM

 vuụng tại A (Định lớ về tiếp tuyến) cú AE là đường cao ứng với cạnh huyền OM nờn

ta cú:

2

.

AM MO ME(Theo định lớ 1: Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương mỗi cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền và hỡnh chiếu của cạnh gúc vuụng đú trờn cạnh huyền)

2 Chứng minh tương tự cũng được AM O M MF

2 (cùng bằng AM )

ME MO MF MO

c) Chứng minh OO là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh BC

Do AEMF là hỡnh chữ nhật nờn BAC 90   ABCvuụng tại A Lại cú MAMB MC (Theo định lớ về hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm) = A, B, C cỏch đều M nờn A, B, C nằm trờn đường trũn tõm M bỏn kớnh MA Mà OO MA (vỡ MA là tiếp tuyến chung trong của  O và  O ) OOlà tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh BC (Theo định

lớ “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường trũn và vuụng gúc với bỏn kớnh đi qua điểm đú thỡ đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường trũn)

d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh OO

Gọi I là trung điểm của đoạn OO thỡ I là tõm đường trũn đường kớnh OO

Muốn chứng minh được BC là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh OOta phải chứng minh

BCIMtại M

OMO

 vuụng tại M (chứng minh trờn) Do I là trung điểm của cạnh huyền OOnờn MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền OOnờn MI trung tuyến ứng với cạnh huyền OO’ nờn

, ,

MIMOMO O M Ocỏch đều I nờn O M O, , nằm trờn đường trũn  I

Muốn chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh OOta phải chứng minh được

BCIM

Muốn chứng minh ta lợi dụng giả thiết “Tiếp tuyến chung”

Do BC là tiếp tuyến của  O và  O nên ta có:

BCOBvà BCO C  OB // O C  (cùng vuông góc với BC)

BCOO 

 là hình thang

Hình thang BCOO có M là trung điểm của cạnh bên BC (Theo định lí….)

I là trung điểm của cạnh bên OO(cách vẽ)

MI

 là đường trung bình của hình thang nên:

// OB // O C MI BC

MI    (vì OBBC) BClà tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO

Bài 3: (43/128/SGK T1)

Cho hai đường tròn O R;  và O r ;  cắt nhau tại A và B Rr Gọi I là trung điểm của OO

kẻ đường vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt đường tròn O R;  và O r ; theo thứ tự tại C và D

a) Chứng minh rằng ACAD

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Chứng minh rằng KBAB

Giải

GT   ;O R  O r ;  Avµ B

IO IO

IAIK

t¹i A

CDIA

C  O R;

D O r

KL * ACAD

* KBAB

a) Chứng minh rằng ACAD

Làm thế nào để chứng minh được đoạn AC

bằng đoạn AD?

Thông thường muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng đó bằng nhau

Câu a) dùng phương pháp thông minh tam giác có chứa đoạn AC bằng tam giác có chứa đoạn AD dẫn đến bài toán khá phức tạp

Ta lợi dụng giả thiết “vuông góc” và giả thiết “trung điểm” Từ vuông góc ta tạo ra song song Có song song có hình thang Đã có hình thang và có trung điểm lại tạo ra trung điểm khác, từ trung điểm này tạo ra đoạn thẳng bằng nhau

Từ O hạ OE ACthì được EA EC (Theo định lí: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy (dây không qua tâm)

Từ O hạ O F ADFAFD Nếu ta chứng minh được AEAFthì dĩ nhiên AC AD

Muốn chứng minh được AE AFta sử dụng yếu tố vuông góc để tạo ra song song , có song song là hình thang, có hình thang lại có trung điểm sẽ có trung điểm thứ hai

Ta có OE // O F  (cùng vuông góc với CD)  OEFO là hình thang (Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang)

Hình thang OEFOcó I là trung điểm của cạnh bên OO(giả thiết) và IA // OE // O F  (cùng vuông góc với CD) nên AE AF (Theo định lí: Trong một hình thang, đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai)

Do AE AF mà

2

AC

AE và

2

CD

AF nên AC AD

b) Chứng minh rằng KBAB

Muốn chứng minh KBABvận dụng giả thiết “đối xứng” Do K đối xứng với A qua I là trung điểm của đoạn AK

Lại có H là trung điểm của đoạn AB (Theo định lí: Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây chung) IHlà đường trung bình của ABK IH // AB mà

IHABthì KBAB (Theo định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường kia)

Vậy KBAB

Bài 4:

Cho đường tròn O R; và M là điểm di động trên đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn  O Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với  O (A và B là các tiếp điểm) Gọi H là hình chiếu của O trên d, dây cung AB cắt OH tại I và cắt OM tại K

OI OHOK OMR

b) Chứng minh AB luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên d

Giải