Chương 5 Đại số tuyến tính nâng cao

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NÂNG CAO LỚP CAO HỌC LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THÔNG KÊ TOÁN KHÓA 27 CHƯƠNG 5 – KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài 1 Xét hai vectơ Các biểu thức dưới đây có thể là tích vô hướng trong không? Giải th.

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NÂNG CAO LỚP: CAO HỌC LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THÔNG KÊ TOÁN KHÓA 27

CHƯƠNG 5 – KHÔNG GIAN EUCLIDE

Bài 1 Xét hai vectơ ( ) ( ) 3

1, ,2 3 , 1, ,2 3

có thể là tích vô hướng trong ¡ 3 không? Giải thích?

    ,với  ,   và với mọi u v, , wV

a) Biểu thức u v, :=u v1 1+u v3 3 không thể là tích vô hướng vì chỉ thoả tính chất TVH1, TVH2,

TVH3, không thỏa tính chất TVH4

Xét u=(0,1,0) Khi đó u u, =0 nhưng u¹ q

b) Biểu thức u v, :=u v12 12+u v22 22+u v32 32 không thể là tích vô hướng vì không thỏa tính chất (TVH1)

của tích vô hướng

ï

c) Biểu thức u v, : 2= u v1 1+u v2 2+4u v3 3 là tích vô hướng vì thỏa mãn 4 tính chất của tích vô hướng

Với mọi a b Î ¡, và với mọi u v w, , Î V

d) Biểu thức u v, :=u v1 1- u v2 2+u v3 3 không thể là tích vô hướng vì không thỏa mãn tính chất

TVH4 của tích vô hướng

⟨x , y⟩=x1y1+10 x2y2+6 x1y2+λx3y3−x2y3−x3y2

Vậy ánh xạ đã cho không phải là tích vô hướng λ

Bài 3 Cho V M m n,   , với A B V,  , ta định nghĩa:

, : x , Tr T

Chứng minh V là không gian Euclide

Giải

* Chứng minh V là không gian véc-tơ

(Ta dễ dàng kiểm tra 8 tiên đề của không gian véc-tơ)

* Chứng minh <,> là một tích vô hướng trên V

Với mọi A B C V, ,  giả sử

n n

ij i

Vậy V là không gian Euclide

Bài 4 Cho không gian vector M R gồm các ma trận vuông cấp n trên trường số thực n  

T ij

Vậy , là một tích vô hướng trong M R n 

Bài 5 Chứng minh rằng tích vô hướng trong V thỏa:

Suy ra ta có hệ phương trình thuần nhất sau

Bài 7 Trong ¡ 3 xét tích vô hướng Euclide Hãy áp dụng quá trình Gram-Smidt để biến cơ sở

{u u u1, ,2 3}thành cơ sở trực chuẩn:

a)u1=(1;1;1 ,) u2= -( 1;1;0 ;) u3=(1;2;1) b) u1=(1;0;0 ,) u2=(3;7; 2 ,- ) u3=(0;4;1)

Giải a) Áp dụng quá trình trực giao hoá Gram-Smidt để biến cơ sở {u u u1, ,2 3}thành cơ sở trực chuẩn.Đặt v1=u1=(1,1,1)

2 1 2

3

u v v

3

3 2 2 2

u v v

1

u v v

3 2 2 2

u v v

Bài 8 Xét tích vô hướng Eulide trong 4 tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn của

không gian con U trong 4 trong các trường hợp:

a) U  u u u1, ,2 3 với u 1 1,1,0,0 , u 2 1,1,1,1, u 3 0, 1,0,1 

b) U  u u u1, ,2 3 với u 1 1, 2, 2, 1  , u 2 1,1, 5,3 , u 3 3, 2,8, 7 

c)

0, , ,

v v

1 0,0,1,0 0,0,1,01

v w

v

3 3 3

62

v w

Vậy cơ sở trực giao của U là v v và cơ sở trực chuẩn của U là 1, 2 e e 1, 2

Bài 9 Xét tích vô hướng Euclide trong R4 Hãy bổ sung chúng để được một cơ sở trực giao của4

R

a) u1 1,1,1,1 ,  u2 1,0, 1, 0  

b)u1 0,0,1,1 ,  u2 1,1,1, 1  

Giải a) Ta bổ sung 2 véctơ u 3 0,0,1, 0 và u 4 0,0,0,1 để hệ u u u u1 , , , 2 3 4 là một cơ sở của R4 Xây dựng cơ sở trực giao v v v v1 , , , 2 3 4

u v

v v

Bài 10 Xét tích vô hướng Euclide trong  Hãy tìm hình chiếu trực giao của vectơ 4. x

lên không gian con U của 4 với

a) x1; 1;1;0 ,  U  u u u1, ,2 3 ;u11,1,0,0 , u2 1,1,1,1 , u30, 1,0,1 

01,0,1, 2 , , , ,

Suy ra cơ sở trực giao của U v: 11,1,0,0 , v2 0,0,1,1 , v3 1, 1, 1,1   

Suy ra cơ sở trực giao của U v: 1 0,1,0,1 , v2 2,1,2, 1  

Xét không gian Rnvới tích vô hướng Euclide

Với x=( ,x x1 2, ,x n) được lấy tùy ý, ta chọn y= (1,1, ,1).

Bài 12.Xét không gian Euclide ¡ 3 với tích vô hướng chính tắc

a) Cho P là mặt phẳng trong ¡ 3 được xác định bởi phương trình x1- 2 x2 + = x3 0 và p là

phép chiếu trực giao của ¡ 3 xuống P Hãy viết ma trận biểu diễn của p trong cơ sở chính tắc.

b) Cho các vectơ u1= ( 1,0,1 , ) u2 = ( 2,1,0 , ) u3= ( 1,1,1 ) Chứng minh rằng B = { u u u1, ,2 3} là cơ

sở của ¡ 3 Xét xem B có phải là cơ sở trực chuẩn không Nếu B không phải là cơ sở trực chuẩn

thì hãy sử dụng quá trình trực chuẩn hoá Gram – Schmidt để xây dựng từ B một cơ sở trực chuẩn

Giải a) Ta thực hiện qua các bước sau:

1- Tìm cơ sở của P.

2- Sử dụng quá trình Gram- Smidt để tìm cơ sở trực chuẩn của P.

3- Tìm hình chiếu của các vectơ trong cơ sở chính tắc lên mặt phẳng P, từ đó xác định    B0

Bước 1 : Tìm cơ sở của P.

P được xác định bởi x1 2 x2  x3  0 Û

1 2 3

5

u v u

Bước 3: Tìm hình chiếu của các vectơ trong cơ sở chính tắc lên mặt phẳng P

Ta có u u1; 2 = ¹2 0 nên B không phải là cơ sở trực chuẩn

*Xây dựng cơ sở trực chuẩn B 1 :

u a a

a

e

a

.b) Cho ¿(5,5 ,−3,1) ϵ R4 Tìm hình chiếu trực giao prW(u) của u lên W và tính khoảng cách d u , W

từ u đến W

Giải a) Lập ma trận A là ma trận vectơ dòng của hệ {u1,u2,u3}

5

; ,42

ïï

=ïïî

¡

{( 5 ,6 2 , 4 , 2 ) | , } (1,6, 4,0),( 5, 2,0, 2)

Hệ B' = {(1,6, 4,0),( 5, 2,0, 2)} - độc lập tuyến tính nên nó là cơ sở của W^

b) Tìm cơ sở trực chuẩn của W

Đặt v1= =u1 (2;1; 2;4- )

Ta có v2= +u2 l v1; sao cho v2^v1 Ta suy ra :

2 1 2 1

,

|| ||

u v v

Vậy cơ sở trực chuẩn của W là 1 2

Bài 14 Cho A M K n , chứng minh rằng:

a) A trực giao khi và chỉ khi A trực giao T

b) A trực giao khi và chỉ khi A1

Trong không gian đa thức P3 ta có:

2 1

Suy ra A chéo hoá được.

A có 2 trị riêng  1 (nghiệm kép bội 2) ;  1 (nghiệm đơn)

Gọi S u u u1, ,2 3 là cơ sở 3sao cho ma trận của trong cơ sở chính tắc của S là J

Trực giao hoá cơ sở S=u u u1, ,2 3

2 2 2

3 3 3

Ta thấy đa thức đặc trưng P  không phân rã trên A  ¡ Do đó ma trận A không có dạng có dạng

chính tắc Jordan