BÁO cáo bài tập lớn đại số TUYẾN TÍNH giới thiệu phép biến đổi haar viết chương trình sử dụng phép biến đổi haar để nén dữ liệu

Trong đó “nén ảnh” là một phần của xử lí ảnh có ứng dụng to lớn trong truyền thông và trong lưu trữ, đã có rất nhiều phương pháp nén ảnh được ra đời và không ngừng được cải tiến để ngày

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 23

1 Giới thiệu phép biến đổi Haar

2 Viết chương trình sử dụng phép biến đổi Haar để nén dữ liệu

MT1007_L19_N09

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 23

1 Giới thiệu phép biến đổi Haar

2 Viết chương trình sử dụng phép

biến đổi Haar để nén dữ liệu

NHÓM 09 – ĐSTT(MT1007)_L19

MỤC LỤC

DANH SÁCH THÀNH VIÊN ……… 1

MỤC LỤC ……… 2

LỜI MỞ ĐẦU ……… 3

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I GIỚI THIỆU CHUNG ……… ………… 4

1 Sơ lược về thuật toán haar ……… 4

2 Tác dụng ….……… 4

II CÁCH GIẢI THUẬT TOÁN ……… ……… 4

1 Cách giải thuật toán ……… ……… 4

2 Nén mất dữ liệu …….……… 9

3 Nén không mất dữ liệu ……….……… 10

CHƯƠNG II: MATLAB I GIỚI THIỆU MATLAB ……… … 15

II CÁC LỆNH MATLAB ĐƯỢC SỬ DỤNG ……… 15

III ĐOẠN CODE MATLAB ……… 16

CHƯƠNG III: TỔNG KẾT I KIẾN THỨC ……… 17

II KĨ NĂNG ……… 17

III TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 17

LỜI CẢM ƠN ……… ……… 18

LỜI MỞ ĐẦU

Cuộc sống càng phát triển thì nhu cầu thông tin của con người càng phong phú, dẫn đến sự

phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật, các loại hình thông tin vô tuyến, các hình thức

xử lí tín hiệu, đặc biệt là công nghệ xử lí ảnh Xử lí ảnh là một ngành khoa học còn tương

đối mới mẻ so với nhiều ngành khoa học khác nhưng nó đang được tập trung nghiên

cứu và phát triển vì những ứng dụng thực tiễn của nó trong nhiều ngành, lĩnh vực khác

nhau Trong đó “nén ảnh” là một phần của xử lí ảnh có ứng dụng to lớn trong truyền thông

và trong lưu trữ, đã có rất nhiều phương pháp nén ảnh được ra đời và không ngừng được

cải tiến để ngày càng hoàn thiện đem lại hiệu quả nén cao và cho chất lượng ảnh tốt nhất

Nén ảnh là một kĩ thuật mã hóa các ảnh số hóa nhằm giảm số lượng các bit dữ liệu cần

thiết để biểu diễn ảnh Vấn đề này đặt ra yêu cầu ngày càng cao trong việc xử lí tín hiệu để

đảm bảo vừa có thể nén dữ liệu, tiết kiệm dung lượng trên đường truyền tín hiệu, vừa đảm

bảo trừ nhiễu tín hiệu và có khả năng khôi phục lại được tín hiệu với chất lượng tốt

Có rất nhiều phương pháp xử lí tín hiệu với rất nhiều thuật toán, biến đổi toán học đã được

nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Haar hiện nay đang được xem là một phép biến đổi mới,

có rất nhiều tiềm năng, đang phát triển khá mạnh mẽ với các ưu điểm vượt trội so với các

phép biến đổi truyền thống Haar cho phép phân tích tín hiệu cả trong miền thời gian và

tần số Do đó, hiện nay biến đổi Haar đang được ứng dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh

vực, từ y sinh tới công nghệ xử lí ảnh

Trong bài báo cáo này, chúng em xin phép được giới thiệu về: “Giới thiệu phép biến đổi

Haar và viết phương trình sử dụng phép biến đổi Haar để nén dữ liệu”

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I GIỚI THIỆU CHUNG

1 Sơ lược về thuật toán Haar

Biến đổi Haar là một trong những chức năng biến đổi lâu đời nhất, được đề xuất vào năm

1910 bởi nhà toán học người Hungary, Alfréd Haar Nó được tìm thấy hiệu quả trong các

ứng dụng như nén tín hiệu và hình ảnh trong kỹ thuật điện và máy tính vì nó cung cấp một

cách tiếp cận đơn giản và hiệu quả về mặt tính toán để phân tích các khía cạnh địa phương

của tín hiệu

Hàm biến đổi nén Haar là một cách đơn giản để thể hiện cả hai phương pháp nén mất dữ

liệu và nén không mất dữ liệu Nó phụ thuộc vào trung bình và các giá trị khác nhau trong

ma trận hình ảnh để mà tạo ra những ma trận thưa hoặc gần thưa Một ma trận thưa được

lưu trữ một cách hiệu quả, dẫn tới việc làm nhỏ đi kích cỡ của ma trận đó

2 Tác dụng

Việc sử dụng máy tính cho những công việc khác nhau đã tăng lên chóng mặt Với sự ra

đời của máy ảnh kĩ thuật số, một trong những ứng dụng phổ biến nhất là lưu trữ, thao tác

và truyền hình ảnh kỹ thuật số Tuy nhiên, các tệp bao gồm những hình ảnh này có thể khá

lớn và có thể nhanh chóng chiếm dung lượng bộ nhớ trên ổ cứng máy tính Một hình ảnh

tỷ lệ xám 256 x 256 pixel có 65.636 phần tử để lưu trữ hay một hình ảnh màu 640 x 480

điển hình có gần một triệu Kích thước của những tệp này cũng có thể khiến quá trình tải

xuống từ Internet trở nên lâu chậm hơn Biến đổi Haar wavelet đã cung cấp phương tiện

mà chúng ta có thể nén hình ảnh để rằng nó chiếm ít không gian lưu trữ hơn, và do đó

truyền điện tử nhanh hơn và ở mức độ chi tiết tăng dần

II CÁCH GIẢI THUẬT TOÁN

1 Cách giải thuật toán

Ở đây, chúng ta sẽ tập trung vào thước xám (Gray Scale được hiểu theo tiếng Việt có

nghĩa là thước xám hay còn được gọi là “xám chuẩn”, “thẻ xám”, là một dụng cụ giúp

kiểm tra, đánh giá độ bền màu của các sản phẩm như vải, sản phẩm nhuộm.); tuy nhiên,

những bức ảnh theo dạng rbg có thể kiểm soát bằng cách nén mỗi màu khác nhau theo

từng lớp riêng biệt khác nhau Phương pháp cơ bản nhất để bắt đầu với một ảnh A, ta có

thể xem như là một ma trận cỡ m n , với giá trị từ 0 đến 255 Trong matlab, nó sẽ là một

ma trận với 8-bit giá trị nguyên Chúng ta có thể chia nhỏ ảnh thành 8 8

Ví dụ : Dưới đây là hình ảnh thang độ xám 512 512 pixel của các trụ bay của Nhà thờ

Đức Bà Paris:

Và đây là ma trận 8 8 từ bức ảnh trên:

95 97 101 104 106 106 105 105

A



Chúng ta sẽ tập trung vào hàng đầu: r1 88 88 89 90 92 94 96 97

Quá trình chuyển đổi sẽ diễn ra trong 3 bước, với bước đầu tiên là nhóm theo cặp:

[88,88] ; [89,90]; [92,94]; [96,97]

Tiếp theo, thay thế 4 cột đầu tiên của r bằng giá trị nửa tổng và 4 cột cuối cùng của 1 r 1

bằng nửa hiệu của các cặp này Hàng mới được ký hiệu là r h : 1 1

r h    

4 mục đầu tiên được gọi là hệ số xấp xỉ và 4 mục cuối cùng được gọi là hệ số chi tiết Tiếp

theo, nhóm 4 cột đầu tiên của hàng mới này [88,89.5], [93,86.5] và thay thế 2 cột đầu

bằng nửa tổng của 2 cặp số và 2 cột sau bằng nửa hiệu của 2 cặp số đó Chúng ta giữ

nguyên 4 cột cuối cùng của r h Và sẽ biểu thị hàng mới thứ hai này là 1 1 r h h : 1 1 2

1 1 2 88.75 94.75 0.75 1.75 0 0.5 1 0.5

r h h      

Cuối cùng, nhóm 2 mục đầu tiên của r h h lại với nhau 1 1 2 [88.75,94.75] và thay thế cột đầu

tiên của r h h bằng nửa tổng và cột thứ hai của 1 1 2 r h h bằng nửa hiệu của cặp số trên Ta 1 1 2

giữ nguyên 6 cột cuối cùng của r h h Ta ký hiệu hàng mới cuối cùng này là 1 1 2 r h h h 1 1 2 3

1 1 2 3 91.75 3 0.75 1.75 0 0.5 1 0.5

r h h h       

Ta lặp lại quy trình này cho các hàng còn lại của A Sau đó, lặp lại quy trình tương tự cho

các cột của A, nhóm các hàng theo cùng một cách với các cột Ma trận kết quả là:

0



Lưu ý rằng ma trận kết quả này có một số mục nhập 0 và hầu hết các mục nhập còn lại gần

bằng 0 Điều này là kết quả của sự khác biệt và thực tế là các pixel liền kề trong một hình

ảnh nói chung không khác nhau nhiều

Bây giờ, ta sẽ thảo luận về cách thực hiện quá trình này bằng cách sử dụng phép nhân ma

trận dưới đây, ma trận biến đổi Haar wavelet

Nếu ta có:

1

H











thì AH tương đương với bước đầu tiên ở trên được áp dụng cho tất cả các hàng của A 1

AH





Tương tự, xác định H bằng: 2

2

H







Sau đó, AH H1 2 tương đương với hai bước trên được áp dụng cho tất cả các hàng của A:

1 2

AH H 

Cuối cùng, ta sẽ xác định:

H





Sau đó AH H H1 2 3 tương đương với ba bước trên được áp dụng cho tất cả các hàng của A

Cụ thể là:

1 2 3

AH H H



Nếu ta đặt H là tích của 3 ma trận này, thì:

1 2 3

H H H H





















































Để áp dụng quy trình cho các cột, chỉ cần nhân A ở bên trái với T

H Ma trận kết quả là:

96 2.0312 1.5312 0.2188 0.4375 0.75 0.3125 0.125

T

H AH





Phần quan trọng của quá trình này là phép biến đổi nghịch đảo được Đặc biệt, H là một

ma trận khả nghịch Nếu như T

BH AH thì  T 1 1

A H  BH Vậy B chính là kết quả ảnh nén của A Hơn nữa, vì H khả nghịch nên đây là phép nén không mất dữ liệu

2 Nén mất dữ liệu

Phép biến đổi Haar có thể biểu diễn ma trận nén mất dữ liệu để giữ lại chất lượng hình

ảnh Đầu tiên, tỷ lệ nén của hình ảnh là tỷ lệ của các phần tử khác 0 trong ảnh gốc với các

phần tử khác 0 trong ảnh nén

Gọi A là một ma trận dạng 8 8 và H AH là ảnh nén của A qua phép biến đổi Haar T

wavelet H AH chứa nhiều hệ số chi tiết gần bằng 0 Chọn những số có trị tuyệt đối trong T

phạm vi từ 0 đến  biến thành số 0 Ma trận này hiện có nhiều giá trị 0 hơn và thể hiện

một hình ảnh được nén nhiều hơn Khi chúng ta giải nén hình ảnh này bằng cách sử dụng

biến đổi Haar wavelet ngược, chúng ta thu được kết quả với một hình ảnh gần với bản gốc

Ví dụ, với ma trận A của chúng ta lấy từ ví dụ, nếu chọn  0.25, sẽ có kết quả với ma

trận:









Ma trận này đại diện cho một tỉ lệ nén là 48 1.7

27  (phần tử số 48 tức là số trên cùng 96 chia đôi và phần mẫu số là 27 số khác 0 của ma trận trên)

Các ảnh dưới đây là một ví dụ về hình ảnh ban đầu, được nén theo các tỷ lệ khác nhau:

3 Nén không mất dữ liệu

Ví dụ: Xét một phép nén dữ liệu dựa trên biến đổi Haar Giả sử ta có đoạn dữ liệu

tìm nửa tổng a và nửa hiệu d của các cặp Khi đó ta được dãy

theo là nửa hiệu của các cặp

Có thể dùng ma trận để mô tả quá trình này như sau:

0.5 0.5 0 0 0 0 0 0

A









Các cột của A tạo nên họ trực giao Nếu ta chia mỗi cột cho độ dài của chúng ta được họ

trực chuẩn và ma trận tương ứng là ma trận trực giao H như sau:









Khi đó nghịch đảo của H là T

H Ta dùng ma trận H để nén dữ liệu thay cho A Ta có

Y HX Giải nén dữ liệu ta được, X0 H Y T 1 Phép biến đổi trực giao H có tính chất

quan trọng là nó bảo toàn khoảng cách và góc Thực vậy, ta có:

HX  HX HX  X H HX  X X  X

Tức là độ dài vectơ X và độ dài vectơ HX như nhau

Ngoài ra góc giữa hai vectơ u và v thỏa  ,

cos

u v

u v

Qua phép biến đổi H, góc giữa hai vectơ H và u H v thỏa

 ,       ,

Hay góc giữa hai vectơ u và v bằng với góc giữa hai ảnh của nó là Hu và Hv

Phép biến đổi trực giao H bảo toàn góc và khoảng cách nên nó không làm thay đổi hình

dạng của ảnh trong quá trình nén

Tiếp tục quá trình nén ở trên như sau

Vector Y1 H X1 0  2 152 154 160 154 2 2 0 2T

Với H là ma trận H ở ví dụ trước, có 4 phần tử sau nhỏ còn 4 phần tử đầu là những số lớn 1

Giữ bốn số sau của dãy lại Đối với bốn số đầu, ta chia làm hai cặp, tìm nửa tổng và nửa

hiệu của các cặp ta được Y2 H Y2 1 306 314 2 6 2 2 2 2 0 2 2T, với

2

H



Tiếp tục quá trình trên, giữ 6 số cuối của Y lại Hai số đầu được thay bởi nửa tổng và nửa 2

T

H

Tóm lại ta có Y3 H H H X3 2 1 0  Y3 QX0

Véctơ Y chứa 7 số sau nhỏ 3

Giải nén dãy dữ liệu Y tìm lại dãy 3 X0 Q Y1 3  X0 Q Y T 3, với

Q









Dưới đây là ảnh minh họa cho phép biến đổi nén không mất dữ liệu:

Ảnh gốc Ảnh sau 1 lần biến đổi

CHƯƠNG II: MATLAB

I GIỚI THIỆU MATLAB

MATLAB là môi trường tính toán số và lập trình, được thiết kế bởi công ty MathWorks

MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực

hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính

viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác MATLAB giúp đơn giản hóa việc giải quyết các

bài toán tính toán kĩ thuật so với các ngôn ngữ lập trình truyền thống như C, C++, và

Fortran

MATLAB được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm xử lý tín hiệu và ảnh, truyền

thông, thiết kế điều khiển tự động, đo lường kiểm tra, phân tích mô hình tài chính, tính

toán sinh học, bên cạnh đó, MATLAB còn được sử dụng để phát triển thuật toán Với

hàng triệu kĩ sư và nhà khoa học làm việc trong môi trường công nghiệp cũng như ở môi

trường hàn lâm, MATLAB là ngôn ngữ của tính toán khoa học

Thông qua bài báo cáo này chúng em đã tìm hiểu về ứng dụng của MATLAB trong Đại số

tuyến tính, cụ thể hơn là tìm hiểu về phép biến đổi Haar ứng dụng vào việc nén dữ liệu,

đồng thời viết chương trình MATLAB sử dụng phép biến đổi Haar để nén hình ảnh

II CÁC LỆNH MATLAB ĐƯỢC SỬ DỤNG

imread( 'filename' ) Đọc hình ảnh từ tệp đồ họa

rgb2gray(image) Chuyển đổi hình ảnh hoặc bản đồ màu RGB

sang thang độ xám imresize(A,[NUMROWS NUMCOLS]) Thay đổi kích thước hình ảnh

imagesc( ) Hiển thị hình ảnh với màu sắc được chia tỷ lệ

im2double( ) Chuyển đổi hình ảnh thành độ chính xác gấp

đôi imwrite(A, 'filename' ) Xuất ảnh A thành tệp đồ họa

colormap gray Đặt bản đồ màu của ảnh hiện tại thành bản

đồ màu xám axis off Không hiển thị các đường trục và nền

axis square

Sử dụng các đường trục có độ dài bằng nhau

Điều chỉnh gia số giữa các đơn vị dữ liệu cho phù hợp

title( 'text' ) Thêm tiêu đề cho ảnh

length(X) Kích thước mảng lớn nhất

norm( ) Độ dài vector hoặc hàng / cột của ma trận

zeros(N) Tạo ma trận 0 có kích thước NN

subplot(2,1,n) Chia figure window thành 2 phần theo chiều

ngang, ảnh hiển thị ở phần thứ n

III ĐOẠN CODE MATLAB

clc

clear all

close all

IM = imread( 'anh.jpg' );

coverIM = rgb2gray(IM);

s=size(coverIM);

coverIM = imresize(im2double(coverIM),[s(1,1)/2 s(1,1)/2]);

subplot(2,1,1);

figure(1)

imagesc(coverIM)

colormap gray

title( 'Hinh anh ban dau' )

axis off

axis square

dim=length(coverIM);

m=dim/2;

At=zeros(dim);

for i=1:m

At(i,2*i-1)=1/2;

At(i,2*i)=1/2;

At(i+m,2*i-1)=1/2;

At(i+m,2*i)=-1/2;

end

for i=1:dim

H1(:,i)=At(:,i)/(norm(At(:,i)));

end

Y=H1*coverIM;

figure(1)

subplot(2,1,2);

imagesc(Y)

colormap gray

title( 'Hinh anh sau khi bien doi Haar' )

axis off

axis square

imwrite(Y, 'anh_sau.jpg' )

CHƯƠNG III: TỔNG KẾT

I KIẾN THỨC

- Dựa vào các kiến thức lí thuyết đã được học để thực hiện phép biến đổi Haar

- Tìm hiểu và sử dụng phần mềm Matlab viết chương trình sử dụng phép biển dổi Haar để

nén dữ liệu

II KĨ NĂNG

Sau thời gian làm việc chung, nhóm đã đạt được kết quả sau:

+ Nhóm hoạt động ổn định, có tổ chức, tôn trọng lẫn nhau, thường xuyên tương tác, trao

đổi qua lại giữa các thành viên

+ Thành viên có trách nhiệm, tham gia tất cả các cuộc bàn luận và hoàn thành nhiệm vụ

được phân công

+ Mọi công việc đều rõ ràng nên nhóm đã hoạt động một cách tối ưu và đạt được hiệu quả

công việc cao

+ Các thành viên đã nâng cao được kĩ năng làm việc nhóm như khả năng giao tiếp, thảo

luận với nhau, đưa ra quan điểm cá nhân,…

+ Giữa các thành viên có sự thống nhất, mọi người đều có tính kỷ luật, tuân theo nội quy

của nhóm

III TÀI LIỆU THAM KHẢO

Đặng Văn Vinh, Giáo trình Đại Số Tuyến Tính, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí

Minh, 2020

David R Bull and Fan Zhang, Intelligent Image and Video Compression Comunicating

Pictures, Second Edition

Greg Ames, Image Compression, 07/12/2002

https://web.archive.org/web/20110125080404/http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/dar

nold/laproj/Fall2002/ames/paper.pdf

Help Center for MATLAB, Simulink and other MathWorks products

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên với tình cảm chân thành nhất, chúng em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến tất cả

các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học

tập và nghiên cứu đề tài này Trong thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay,

chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô và bạn bè

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, chúng em xin gửi lời cảm ơn đến thầy Bùi Anh Tuấn đã

truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em trong thời gian học môn Đại số tuyến tính

Nhờ có những lời hướng dẫn, giảng dạy của Thầy nên đề tài bài tập lớn của chúng em mới

có thể được hoàn thành Bản báo cáo thực hiện trong khoảng thời gian ngắn nên còn hạn

chế và chúng em còn nhiều bỡ ngỡ, không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được

những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy Cô và các bạn để kiến thức của chúng em

được cải thiện đồng thời có điều kiện bổ sung, nâng cao các kĩ năng của mình

Chúng em xin chân thành cảm ơn!