Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao; Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange. Mời các bạn cùng tham khảo!

trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)

Dạng toàn phương trong R thường được ghi ở dạng

Cho dạng toàn phương với f x ( )  x Ax , x  ( x x1 2 x3)

Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D: A  PDPT

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương

trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P

Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạng

toàn phương về dạng chính tắc

dạng chính tắc bằng cách chéo hóa trực giao

Dạng toàn phương luôn luôn có thể đưa vềf x ( )  x A xT

( ) T

f y  y Dy

ma trận A của dạng toàn phương

Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về chính tắc khác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổi

sơ cấp)

Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn còn làm việc với cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P)

Bước 1 Viết ma trận A của dạng toàn phương (trong chính tắc) Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao

Bước 2 Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi

2 Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (đã làm ở ví dụ trước)

4 0

18

2 3 1/ 3

2 3

Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange

Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Nhược điểm của phép biến đổi này là ta sẽ làm việc với dạng chính tắc trong một cơ sở thường là không trực chuẩn

Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến

nếu ma trận P là ma trận không suy biến

Phép biến đổi này rất dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp, không cần tìm TR, VTR của ma trận

Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange

Bước 2 Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương

Bước 1 Chọn một thừa số khác không của hệ số x k2

Lập thành hai nhóm: một nhóm gồm tất cả các hệ số chứa , nhóm còn lại không chứa số hạng này

Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số x k2

đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số x xi j

(   k i j , ) : y k  x k ; x i  y i  y j ; x j  y i  y j

Đổi biến:

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi

2 3

7 3

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi

Dạng toàn phương f (x) = xTAx được gọi là:

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:

1 Nếu , thì dạng toàn phương xđ dương (   k 1, , ) : n k  0

f y   y   y    y

2 Nếu , thì dạng toàn phương xđ âm (   k 1, , ) : n k  0

3 Nếu và , thì nửa xđ dương (   k 1, , ) : n k  0  k  0

4 Nếu và , thì nửa xđ âm (   k 1, , ) : n k  0  k  0

5 Nếu , thì dạng toàn phương không xác định dấu  1  0; 2  0

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:

f y   y   y    y

Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính

Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính

Luật quán tính

Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toàn phương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Tồn tại rất nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Các dạng chính tắc này thường khác nhau

Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượng các hệ số âm

và số lượng các hệ số dương là không thay đổi

Tất cả các định thức con tạo nên dọc theo đường chéo chính

được gọi là định thức con chính cấp 1, 2,…, n

1

Cho dạng toàn phương f (x) = xTAx

Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester)

1 xác định dương khi và chỉ khi (   i 1, ) : n  i 0

Với giá trị nào của m thì dạng toàn phương sau đây xác định

Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi các định thức

con chính đều dương

Tìm m để dạng toàn phương không xác định dấu

Đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange

Dạng toàn phương không xác định dấu khi và chỉ khi có ít nhất